电路分析第六章

1、电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.1 任务任务1 电路的过渡过程电路的过渡过程 【教学目标】【教学目标】 通过本项目的学习，理解动态元件通过本项目的学习，理解动态元件L、C的特的特性，并能熟练应用于电路分析；了解电路的过渡过性，并能熟练应用于电路分析；了解电路的过渡过程，掌握换路定律；弄懂动态电路方程的建立及解程，掌握换路定律；弄懂动态电路方程的建立及解法；掌握换路定则及初始值和稳态值的求法；掌握法；掌握换路定则及初始值和稳态值的求法；掌握动态电路的特点、零输入响应、零状态响应、全响动态电路的特点、零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义，并掌握它们的分析计算方法；

2、应的概念和物理意义，并掌握它们的分析计算方法；熟练掌握一阶线性电路分析的三要素法。熟练掌握一阶线性电路分析的三要素法。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项目导入与项目分析项目导入与项目分析 在电容与电阻串联电路中，接通或断开直流电源时，在电容与电阻串联电路中，接通或断开直流电源时，电路往往产生由一种状态过渡到另一种状态的过渡过程。电路往往产生由一种状态过渡到另一种状态的过渡过程。如汽车启动到匀速行驶的过程，它是由一种稳态如汽车启动到匀速行驶的过程，它是由一种稳态(汽车不动，汽车不动，速度为零速度为零)到另一种稳态到另一种稳态(汽车匀速行驶汽车匀速行驶)的变化过程，这些的变化过

3、程，这些过程的规律在电子技术中及生产生活实践中得到了广泛的过程的规律在电子技术中及生产生活实践中得到了广泛的应用。例如人们利用过渡过程规律制作渐变灯、延时开关应用。例如人们利用过渡过程规律制作渐变灯、延时开关等。等。 本任务由小灯泡、二极管、电容、电阻组成。需要开本任务由小灯泡、二极管、电容、电阻组成。需要开灯时，只要用手指摸一下触摸电极，电灯自动开启点亮，灯时，只要用手指摸一下触摸电极，电灯自动开启点亮，然后小灯泡逐渐变暗，延时然后小灯泡逐渐变暗，延时1min左右后会自动熄灭。该操左右后会自动熄灭。该操作简单，实用节能。作简单，实用节能。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项

4、目必备知识项目必备知识6.1.1 动态元件1电容元件 电容是一种能储存电荷的元件，电容元件是电容的理想化模型，电容是一种能储存电荷的元件，电容元件是电容的理想化模型，电容所带电量电容所带电量Q与电容两极板间的电压与电容两极板间的电压U的比值，称为电容的电容量，的比值，称为电容的电容量，用用C表示。表示。C= ，电容量表征导体在单位电压作用下储存电荷的能力，电容量表征导体在单位电压作用下储存电荷的能力，是由电容本身的性质是由电容本身的性质(如导体大小、形状、相对位置及电介质如导体大小、形状、相对位置及电介质)决定的，决定的，与电容是不是带电无关。与电容是不是带电无关。 (a) 电容元件电路符号电

5、容元件电路符号 (b) 线性非时变电容特性曲线线性非时变电容特性曲线 QU电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2电容元件的电压和电流的关系 当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与与u关系为关系为q(t)=Cu(t)，C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为为关联方向时，据电流强度定义有关联方向时，据电流强度定义有 (6-1) 当当u，i为非关联时，有为非关联时，有 (6-2) 电容元件的电压、电流关系说明：任一时刻电容元件电流的电容元件的电压、电流关系说明：任一时刻电容元件电流的大小取决

6、于电压对时间的变化率，而与该时刻电压的数值大小无大小取决于电压对时间的变化率，而与该时刻电压的数值大小无关。只有电压变化时，电容元件两端才有电流，因此，电容元件关。只有电压变化时，电容元件两端才有电流，因此，电容元件也称动态元件。在直流激励的电路中，达到稳定状态后，电容元也称动态元件。在直流激励的电路中，达到稳定状态后，电容元件电压保持不变，其电流为零，相当于开路。件电压保持不变，其电流为零，相当于开路。ddddquiCttddddquiCtt 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 电容的伏安关系还可写成：电容的伏安关系还可写成： (6-3) 式中，式中，u(0)是在是在t=0

7、 时刻电容已积累的电压，称为时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压，以后电容上形成的电压，它体现了在它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻由此可知：在某一时刻t，电容电压，电容电压u不仅与该时不仅与该时刻的电流刻的电流i有关，而且与有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。以前电流的全部历史状况有关。因此，电容是一种记忆元件，有因此，电容是一种记忆元件，有“记忆记忆”电流的作用。电流的作用。000111( )()d( )d(0)( )dttu tiiuiCCC电路分析综合项目综合项目6

8、电容的充放电电容的充放电3电容元件电容元件的电场能量 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为时功率为 (6-4) 瞬时功率可正可负，当瞬时功率可正可负，当p(t)0时，说明电容是在吸时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当p(t) 0时，表示电感供出能量，释放磁场能量。时，表示电感供出能量，释放磁场能量。d ( )( )( ) ( )( )di tp tu t i tLi tt电路分析综合项目综合项目6 电容的充放

9、电电容的充放电 对式对式(6-12)从从到到t进行积分，即得进行积分，即得t时刻电感上的储时刻电感上的储能为能为所以有所以有 (6-13) 由式由式(6-13)可知：电感在某一时刻可知：电感在某一时刻 t 的储能仅取决的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能大于等于零。就有储能，且储能大于等于零。 ( )22()1( )( )d( )d ( )( )()2()0ti tLiLw tpLiiL i tiw 21( )( )2Lw tLi t电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.1.2 电容的串并

10、联1. 电容的串联 如图如图6-3所示三个电容串联后外加电压为所示三个电容串联后外加电压为Us，则根，则根据据KCL有有 图6-3 电容的串联s123UUUUQCU312s123123QQQUUUUCCC由于由于，所以所以。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 而串联时，与电源相连的两个极板充有等量异号的而串联时，与电源相连的两个极板充有等量异号的电荷量电荷量Q，中间各极板因静电感应也充有等量异号的，中间各极板因静电感应也充有等量异号的电荷量电荷量Q，每个电容上的电量都和总的电荷量相同，每个电容上的电量都和总的电荷量相同，即即所以有所以有从而得到电容量为从而得到电容量为 (6-

11、14) 123QQQQ123QQQQCCCC1231111CCCC电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2电容的并联 如图如图6-4所示，电容并联时，相当于电极的面积加所示，电容并联时，相当于电极的面积加大，电容量也就加大了。并联时的总容量为各电容量大，电容量也就加大了。并联时的总容量为各电容量之和。并联时等效电容的电量为之和。并联时等效电容的电量为 图6-4 电容的并联123QQQQ电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 而电压而电压 因为因为C= ，所以有，所以有 (6-15) 当单独一个电容的电容量不能满足电路要求，而当单独一个电容的电容量不能满足电路要求，而

12、耐压满足要求时，需要并联。但应注意：每个电容均耐压满足要求时，需要并联。但应注意：每个电容均承受着外加电压，每个电容的耐压均应大于外电压。承受着外加电压，每个电容的耐压均应大于外电压。否则一个电容被击穿，整个并联电路就被短路，会对否则一个电容被击穿，整个并联电路就被短路，会对电路造成危害。电路造成危害。s123UUUUQU123CCCC电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.1.3 电路的换路定律1过渡过程 含有像电容和电感这样动态元件的电路称为动态含有像电容和电感这样动态元件的电路称为动态电路。由于动态元件是储能元件，其电路。由于动态元件是储能元件，其 VCR是对时间变是对时

13、间变量量t的微分和积分关系，因此在动态电路中，当电路状的微分和积分关系，因此在动态电路中，当电路状态发生改变时态发生改变时(换路换路)需要经历一个变化过程才能达到新需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。电的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。电路中之所以出现过渡过程，是因为电路中有电感、电路中之所以出现过渡过程，是因为电路中有电感、电容这类储能元件的存在。容这类储能元件的存在。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 图图6-5(a)中，当接通电源的瞬间，电容中，当接通电源的瞬间，电容C两端的电压两端的电压并不能即刻达到稳定值并不能即刻达到

14、稳定值U，而是有一个从合闸前的，而是有一个从合闸前的 逐渐增大到逐渐增大到 (见图见图6-5(b)的过渡过程。否则，的过渡过程。否则，合闸后的电压将有跃变，电容电流合闸后的电压将有跃变，电容电流 将为无穷大，将为无穷大，这是不可能的。这是不可能的。0Cu CuUddCCuiCt图6-5 RC串联电路电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 同样，对于电感电路同样，对于电感电路(见图见图6-6(a)，当电源接通后，当电源接通后，电路的电流也不可能立即跃变到电路的电流也不可能立即跃变到 ，而是从，而是从 逐渐逐渐增大到增大到 (见图见图6-6(b)这样一个过渡过程。否则，这样一个过渡过

15、程。否则，电感内产生的感生电动势电感内产生的感生电动势 将为无穷大，也是将为无穷大，也是不可能的。不可能的。UR0Li LUiRddLieLt 图6-6 RL串联电路电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 过渡过程产生的实质是由于电感、电容元件是储能过渡过程产生的实质是由于电感、电容元件是储能元件，能量的变化是逐渐的，不能发生突变，需要一元件，能量的变化是逐渐的，不能发生突变，需要一个过程。而电容元件储有的电场能个过程。而电容元件储有的电场能 ，电感元，电感元件储有的磁场能件储有的磁场能 ，所以电容两端电压，所以电容两端电压 和通和通过电感的电流只能是连续变化的。因为能量的存储和

16、过电感的电流只能是连续变化的。因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容或电感的电路存在过释放需要一个过程，所以有电容或电感的电路存在过渡过程。渡过程。212CwCu212LwLiCuLi电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2换路定律 电路工作状态的改变如电路的接通、断开、短路、电路工作状态的改变如电路的接通、断开、短路、改路及电路元件参数值发生变化等，称为换路。由以改路及电路元件参数值发生变化等，称为换路。由以上分析可知，换路瞬间，电容两端的电压上分析可知，换路瞬间，电容两端的电压uC不能跃变，不能跃变，流过电感的电流流过电感的电流iL不能跃变，这即为换路定律。用不能跃变，

17、这即为换路定律。用 -表示换路前的终了瞬间，表示换路前的终了瞬间， +表示换路后的初始瞬间，表示换路后的初始瞬间，则换路定律表示为则换路定律表示为 (6-16)0t 0t (0 )(0 )(0 )(0 )CCLLuuii电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 换路定律只说明电容上电压和电感中的电流不能换路定律只说明电容上电压和电感中的电流不能发生跃变，而流过电容的电流、电感上的电压以及电发生跃变，而流过电容的电流、电感上的电压以及电阻元件的电流和电压均可以发生跃变。阻元件的电流和电压均可以发生跃变。 换路定律的解释是自然界物体所具有的能量不能换路定律的解释是自然界物体所具有的能量

18、不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以电容突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以电容C存储的电场能量存储的电场能量 不能突变，使得不能突变，使得 不能突不能突变；同样，电感变；同样，电感L储存的磁场能量储存的磁场能量 不能突变，不能突变，使得使得 不能突变。不能突变。212CWCuCu212LLWLiLi电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 从电路关系分析从电路关系分析(以图以图6-5为例为例)： 若若 发生突变，发生突变， ，这是不可能的。，这是不可能的。 根据换路定律可以确定换路后过渡过程的初始值，根据换路定律可以确定换路后过渡过程的初始值，其步骤如下。其步骤如

19、下。(1) 分析换路前分析换路前( )电路，求出电容电压、电感电流，电路，求出电容电压、电感电流，即即 、 。(2) 由换路定律确定由换路定律确定 及及 。(3) 进而计算出换路后进而计算出换路后( )电路的各参数，即过渡过电路的各参数，即过渡过程的初始值。程的初始值。ddCCCuEiRuRCutCuddCuit 0t(0 )Cu(0 )Li(0 )Cu(0 )Li0t电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电任务实施任务实施1.任务目的任务目的(1) 学习如何通过实验方法研究有关学习如何通过实验方法研究有关RC串联电路的暂态过串联电路的暂态过程。程。(2) 通过研究通过研究RC串联

20、电路暂态过程，加深对电容特性的认串联电路暂态过程，加深对电容特性的认识和对识和对RC串联电路特性的理解。串联电路特性的理解。(3) 掌握触摸延时开关电路的工作原理和设计方法。掌握触摸延时开关电路的工作原理和设计方法。2.完成任务需要准备的器材与设备完成任务需要准备的器材与设备本任务需要的器材与设备如表本任务需要的器材与设备如表6-1所示。所示。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电表6-1 器材与设备表序序 号号名名 称称型号与规格型号与规格数数 量量1可调节大电可调节大电容或电阻容或电阻12电源电源160250V13万用表万用表14二极管二极管15灯泡灯泡1电路分析综合项目综合

21、项目6 电容的充放电电容的充放电3任务内容及步骤1) 延时电路的设计延时电路的设计如图如图6-7所示，所示，S闭合后，闭合后，VS和和VD2轮流导通，轮流导通，HL正常点正常点亮。亮。S断开后，断开后，C上的存储电压经上的存储电压经R放电来维持放电来维持VS的导的导通，同时因通，同时因VD2被断开，故处于半波供电状态的被断开，故处于半波供电状态的HL发发光较暗。当光较暗。当C放电完毕后，放电完毕后，VS在交流电过零时关断灯在交流电过零时关断灯泡。泡。 图6-7 简单的按键式延时渐暗灯电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2) 延时电路工作原理延时电路工作原理(1) RC电路的放电

22、过程。当电容已有电压电路的放电过程。当电容已有电压U0时，且二极时，且二极管无正偏截止时，电容立即对电阻进行放电，放电开管无正偏截止时，电容立即对电阻进行放电，放电开始时的电流为始时的电流为 ，放电电流的实际方向与充电时相反，放电电流的实际方向与充电时相反，放电时的电流放电时的电流 与电容电压与电容电压 随时间均按指数规律衰随时间均按指数规律衰减为零，电流与电压的数学表达式为减为零，电流与电压的数学表达式为 0URiCu01etRCCuU0etRCUiR电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 式中，式中， 为电容的初始电压。放电时为电容的初始电压。放电时 和和 的变化的变化曲线如

23、图曲线如图6-8所示。所示。 图6-8 RC放电时电压和电流的变化曲线0UiCu 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电(2) RC电路的时间常数。电路的时间常数。RC电路的时间常数用表示，电路的时间常数用表示，t=RC，的大小决定了电路充放电时间的快慢。对于充，的大小决定了电路充放电时间的快慢。对于充电而言，时间常数时电容电压电而言，时间常数时电容电压 从零增长到从零增长到63.2%Us所需的时间；对于放电而言，所需的时间；对于放电而言， 是电容电压是电容电压 从从 下下降到降到36.8% 所需的时间。所需的时间。 R的阻值为的阻值为250kW，C为为100MF，则有，则有 。

24、 所以所以 =250kW100mF=25s，即延迟时间为，即延迟时间为25s。CutCu0U0UtRCtRC电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电(3) 延迟时间的可优化性。在电路中，电路的延迟时间是延迟时间的可优化性。在电路中，电路的延迟时间是由电阻和电容协调控制的，因此，可以通过改变电容由电阻和电容协调控制的，因此，可以通过改变电容和电阻的值来延长或缩短延迟时间。譬如说在一个小和电阻的值来延长或缩短延迟时间。譬如说在一个小区中，可以通过先调查小区内居民的平均年龄，合理区中，可以通过先调查小区内居民的平均年龄，合理地装置延迟时间不同的照明灯。地装置延迟时间不同的照明灯。4注意事

25、项(1) 电源电压可在电源电压可在160250V范围，电流范围，电流0.5A，最大负载，最大负载60W。(2) 严禁负载短路。严禁负载短路。(3) 调节电容或电阻，可改变延时时间。调节时间调节电容或电阻，可改变延时时间。调节时间30s5min。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.2 任务2 一阶动态电路的充电电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项目导入与项目分析项目导入与项目分析 电容是一种重要的电学元件，有着广泛的应用。电容的基本作电容是一种重要的电学元件，有着广泛的应用。电容的基本作用就是充电与放电，由这种基本充放电作用所延伸出来的许多电用就是充电与放电

26、，由这种基本充放电作用所延伸出来的许多电路现象，使得电容器有着种种不同的用途。而在电子电路中，电路现象，使得电容器有着种种不同的用途。而在电子电路中，电容器不同性质的用途尤多，虽有截然不同之处，但其作用均系来容器不同性质的用途尤多，虽有截然不同之处，但其作用均系来自充电与放电。电容的充电过程，与水容器自充电与放电。电容的充电过程，与水容器(如水桶如水桶)的蓄水过程的蓄水过程非常相似，将它们进行比较，便于形象地理解电容的充电过程。非常相似，将它们进行比较，便于形象地理解电容的充电过程。 将电容两极板分别接到电源的正负极上，使电容两极板分别带将电容两极板分别接到电源的正负极上，使电容两极板分别带上

27、等量异号电荷，这个过程称为电容的充电过程。随着电容两极上等量异号电荷，这个过程称为电容的充电过程。随着电容两极板上所带的电荷量的增加，电容两端电压逐渐增大，充电电流逐板上所带的电荷量的增加，电容两端电压逐渐增大，充电电流逐渐减小，当充电结束时渐减小，当充电结束时，电流为零，电容两端电压电流为零，电容两端电压UC =E。本任。本任务是观察电容充放电过程，掌握电容充放电的特性，理解这一过务是观察电容充放电过程，掌握电容充放电的特性，理解这一过程中电路中的电流和电压的变化规律。程中电路中的电流和电压的变化规律。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项目必备知识 一阶电路就是只含有一个具

28、有独立的初始状态一阶电路就是只含有一个具有独立的初始状态的动态元件的电路，用一阶微分方程描述其变量。的动态元件的电路，用一阶微分方程描述其变量。6.2.1 动态电路的方程 分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。电路中有储能元件电路中有储能元件(电容或电感电容或电感)时，因这些元件的时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数电压和电流的约束关系是通过导数(或积分或积分)表达的。表达的。根据根据KCL、KVL和支路方程式和支路方程式(VAR)所建立的电路所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分积

29、分方程，求解此常微分方程，即可得到所求电路变量方程，求解此常微分方程，即可得到所求电路变量在过渡过程中的变化规律。在过渡过程中的变化规律。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 现以图现以图6-9所示电路为例说明求解过程。图中开所示电路为例说明求解过程。图中开关关S在在 时刻闭合，换路前电路处于稳态，即电时刻闭合，换路前电路处于稳态，即电容电压为常数。容电压为常数。 图图6-9 一阶动态电路一阶动态电路 按图示电压电流参考方向，根据按图示电压电流参考方向，根据KVL列出回路列出回路的电压方程为的电压方程为0 tsRCuuu电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 由元

30、件的由元件的VCR，有，有 代入电压方程，得代入电压方程，得 (6-17) 对线性时不变电路，式对线性时不变电路，式(6-17)是一个以电容电是一个以电容电压压 为未知量的一阶线性非齐次常微分方程。人们为未知量的一阶线性非齐次常微分方程。人们把用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。式把用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。式(6-17)的通解的通解 等于该方程的任一特解等于该方程的任一特解 和与该方程和与该方程相对应的齐次微分方程的通解相对应的齐次微分方程的通解 之和，即之和，即RuRiddCuiCtsddCCuRCuutCuCuCpuChuCCpChuuu电路分析综合项目综合项目6 电容的充

31、放电电容的充放电 式中，特解式中，特解 的函数形式取决于电源的函数形式取决于电源 ，通解，通解 的的函数形式取决于电路参数。式函数形式取决于电路参数。式(6-17)所对应的齐次所对应的齐次微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 由此求得方程的特征根由此求得方程的特征根 ，因此该齐，因此该齐次微分方程的通解为次微分方程的通解为 即电路换路后的电容电压为即电路换路后的电容电压为 (6-18) 根据电路的激励及初始条件即可求得式根据电路的激励及初始条件即可求得式(6-18)中的待定系数中的待定系数A，从而确定一阶电路的过渡过程的，从而确定一阶电路的过渡过程的性态。性态。CpusuChu10RC p

32、 RCp1eptChuAeptCCpuuA电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.2.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 若在一阶电路中若在一阶电路中, 换路前动态元件的换路前动态元件的 均为零的情况，称为零状态。均为零的情况，称为零状态。 后由电路中外加后由电路中外加输入激励作用所产生的响应称为零状态响应。用经输入激励作用所产生的响应称为零状态响应。用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。)0()0(LCiu、0t 电路分析综合项目

33、综合项目6 电容的充放电电容的充放电1RC电路的零状态响应电路的零状态响应 如图如图6-10所示一阶所示一阶RC电路，电容先未充电，电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励时开关闭合，电路与激励Us 接通，试确定接通，试确定S闭合闭合后电路中的响应。在后电路中的响应。在S闭合瞬间，电容电压不会跃闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律变，由换路定律 ，t=0+ 时电容相时电容相当于短路，即当于短路，即 ，故有，故有 (6-19) 电容开始充电后，随着时间的推移，电容开始充电后，随着时间的推移， 将逐渐将逐渐升高，升高，uR则逐渐降低，则逐渐降低， (等于等于 ) 逐渐减小。当逐渐减小。当

34、 时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流流 ， ， 。(0 )(0 )0CCuus(0 )RuUs(0 )(0 )RRUuiRRCuRiCit ()0Ci()0Rus()CuU电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电图6-10 RC电路的零状态响应由由KVL有有 而而 代入上式可得到以代入上式可得到以 为变量的微为变量的微分方程，即分方程，即 (6-20)sRCuuUddCRRCuuRiRiRCtCusd (0)dCCuRCuUtt电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 初始条件为初始条件为 式式(6-20)为一阶常

35、系数非齐次微分方程，其解由为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是该齐次微分方程的通解两部分组成：一部分是该齐次微分方程的通解 ，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解解 ，即，即 由于式由于式(6-20)相应的齐次微分方程与相应的齐次微分方程与RC零输入零输入响应式完全相同，因此其通解应为响应式完全相同，因此其通解应为(0 )0CuCCpChuuueettRCChuAAChuCpu电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 式中，式中，A为积分常数。特解为积分常数。特解 取决于激励函数，当取决于激励函数，当激励为常量

36、时特解也为一常量，可设激励为常量时特解也为一常量，可设 ，代入，代入式式(6-20)得得 式式(6-21)的解的解(完全解完全解)为为 (6-21) 将初始条件将初始条件 代入式代入式(6-21)，得出积分，得出积分常数常数 。故有。故有CpuCpuksCpukUsetRCCChCpuuuAU(0 )0CusAUssse1ettRCRCCuUUU 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 由于稳态值由于稳态值 ，故上式可写成：，故上式可写成： (6-22) 由式由式(6-22)可知，当时可知，当时 ， ，当，当时时 ， ，即在零状态响应，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值中，电

37、容电压上升到稳态值 的的63.2%所需的时间是所需的时间是 。而当。而当 时，时， 上升上升到其稳态值到其稳态值Us的的98.17%99.3%，一般认为充电，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为过程即告结束。电路中其他响应分别为 (6-23) (6-24) (6-25)s()CuU()(1e) 0tRCCCuut0t (0)0Cut1ss( )(1e )63.2%CuUUs()CuU4t 5Cusde 0dtCCuUiC ttRse 0tRCUiitRse 0tRRuRiUt电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2RL电路的零状态响应电路的零状态响应 对于图对于图6-1

38、2所示的一阶所示的一阶RL电路，电路， 为直流电压为直流电压源，源， 时，电感时，电感L中的电流为零。中的电流为零。 时开关时开关S闭闭合，电路与激励合，电路与激励 接通，在接通，在S闭合瞬间，电感电流闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有不会跃变，即有 ，该电路实质上，该电路实质上就是电感从电源吸收能量转换为磁场能储存起来的就是电感从电源吸收能量转换为磁场能储存起来的响应过程。选择响应过程。选择 为首先求解的变量，由为首先求解的变量，由KVL有有 将将 ， ，代入上式，代入上式 ，可得，可得 (6-26)sU0t 0t sU(0 )(0 )0LLiiLisRLuuULddLiuLtRLuRisd

39、0dLLiLRiUtt电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 初始条件为初始条件为 图图6-12 一阶一阶RL电路的零状态响应电路的零状态响应 式式(6-26)也是一阶常系数非齐次微分方程，其也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解解同样由齐次方程的通解 和非齐次方程的特解和非齐次方程的特解 两部分组成，即两部分组成，即(0 )0LiLhiLpiLLhLpiii电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 其齐次方程的通解也应为其齐次方程的通解也应为 式中，时间常数式中，时间常数 ，与电路激励无关。非齐次方，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，

40、由于激励为直流电压程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解源，故特解 为常量，令为常量，令 得得 因此完全解为因此完全解为 代入代入t = 0时的初始条件时的初始条件 得得ee 0tRtLLhiAAt1RLpiLpiksLpUikRsetLUiAR(0 )0LisUAR 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电于是于是由于由于 的稳态值的稳态值 ，故上式可写成：，故上式可写成： (6-28)电路中的其他响应分别为电路中的其他响应分别为 (6-29) (6-30) (6-31)ssse1ettLUUUiRRR Lis()LUiR() 1e 0tLLiitsde 0dtL

41、LiuLUtts1e 0tRLUiitRs1e 0tRRuRiUt电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电任务实施任务实施1任务目的任务目的(1) 理解电容的充电过程。理解电容的充电过程。(2) 研究一阶研究一阶RC电路的零输入响应的变化规律和特点。电路的零输入响应的变化规律和特点。(3) 了解电路参数对时间常数的影响。了解电路参数对时间常数的影响。2任务器材与设备任务器材与设备本任务需要的器材与设备如表本任务需要的器材与设备如表6-2所示。所示。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电表表6-2 器材与设备表器材与设备表序序 号号名名 称称型号与规格型号与规格数数 量

42、量1电流表电流表12电压表电压表13低压直流电低压直流电源源14电容电容15充放电电路充放电电路板板16开关开关17导线导线若干若干电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电3任务内容及步骤1) 电容的充电过程电容的充电过程 如图如图6-14(a)所示，开关置所示，开关置1，白炽灯开始较亮，白炽灯开始较亮，然后逐渐变暗，直至灯泡不亮了。电流表指针由大然后逐渐变暗，直至灯泡不亮了。电流表指针由大变小直至变小直至0。电压表指针由。电压表指针由0逐渐增大到逐渐增大到Us 图6-14 电容的充放电 用万用表电阻挡检测电容，可以看到指针向右用万用表电阻挡检测电容，可以看到指针向右偏转，然后慢慢

43、向左偏转，指针偏幅度较大，偏转，然后慢慢向左偏转，指针偏幅度较大，C的的充电过程反映充电过程反映C的电容量大小。的电容量大小。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电2) 实验原理与说明实验原理与说明 含有动态元件的电路，其电路方程为微分方程。含有动态元件的电路，其电路方程为微分方程。用一阶微分方程描述电路，为一阶电路。图用一阶微分方程描述电路，为一阶电路。图6-15所所示为一阶示为一阶RC电路。首先将开关电路。首先将开关S置于置于1使电路处于零使电路处于零状态。在状态。在t=0时刻由时刻由1扳向扳向2，电路对激励，电路对激励Us的响应为的响应为零状态响应，有零状态响应，有 这一暂

44、态过程为电容充电的过程，充电曲线如这一暂态过程为电容充电的过程，充电曲线如图图6-14(b)所示。电路的零状态响应与激励成正比。所示。电路的零状态响应与激励成正比。ss( )etRCCutUU电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 本任务所用的实验器材有检流计一块、伏特表本任务所用的实验器材有检流计一块、伏特表一块、低压直流电源一台、充放电线路板、导线若一块、低压直流电源一台、充放电线路板、导线若干。检流计要串联接入线路中，若右偏，说明电流干。检流计要串联接入线路中，若右偏，说明电流由由“+”极流入，从极流入，从“-”极流出；左偏反之。要把伏极流出；左偏反之。要把伏特表并联接在电

45、容的两边，注意特表并联接在电容的两边，注意“+”极接高电位，极接高电位，“-”极接低电位，测量前估计检流计和伏特表的量极接低电位，测量前估计检流计和伏特表的量程，实验前电容不要带电。程，实验前电容不要带电。 图6-15 一阶RC电路电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 当电容接通电源以后，在电场力的作用下，与电当电容接通电源以后，在电场力的作用下，与电源正极相接电容极板的自由电子将经过电源移到与源正极相接电容极板的自由电子将经过电源移到与电源负极相接的极板下，正极由于失去负电荷而带电源负极相接的极板下，正极由于失去负电荷而带正电，负极由于获得负电荷而带负电，正、负极板正电，负极

46、由于获得负电荷而带负电，正、负极板所带电荷大小相等，符号相反。电荷定向移动形成所带电荷大小相等，符号相反。电荷定向移动形成电流，由于同性电荷的排斥作用，所以开始电流最电流，由于同性电荷的排斥作用，所以开始电流最大，以后逐渐减小，在电荷移动过程中，电容极板大，以后逐渐减小，在电荷移动过程中，电容极板储存的电荷不断增加，电容两极板间电压储存的电荷不断增加，电容两极板间电压UC等于电等于电源电压源电压U时电荷停止移动，电容相连接的电路电流时电荷停止移动，电容相连接的电路电流由最大减小到零。此过程中电流表指针偏转由最大由最大减小到零。此过程中电流表指针偏转由最大一直减小到零，电压由零增加到电源电压，且

47、电流一直减小到零，电压由零增加到电源电压，且电流与电压方向一致，如图与电压方向一致，如图6-16和图和图6-17所示。所示。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电图6-16 电容的充电过程 图6-17 电容充电完成 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电3) 充放电的特点及规律充放电的特点及规律 根据上面所得到的电容的充电时根据上面所得到的电容的充电时UC、IC的数的数据和曲线，可以归纳出几点很有实用价值的规律。据和曲线，可以归纳出几点很有实用价值的规律。(1) 电容的充放电是需要时间的。这是由于电容的充放电容的充放电是需要时间的。这是由于电容的充放电过程，实质是电

48、容上电荷的积累和消散的过程，电过程，实质是电容上电荷的积累和消散的过程，由于电荷量的变化是需要时间的，所以充放电也是由于电荷量的变化是需要时间的，所以充放电也是需要时间的。需要时间的。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电(2) 在充电的开始阶段，充电电流较大，在充电的开始阶段，充电电流较大，UC上升较快，上升较快，随着随着UC的增加，充电电流逐渐减小，且的增加，充电电流逐渐减小，且UC的上升的上升速度变缓，而向着电源电压速度变缓，而向着电源电压E趋近。从理论上来说，趋近。从理论上来说，要使电容完全充满，完成充电的全过程是需要无限要使电容完全充满，完成充电的全过程是需要无限长的时

49、间的。实际上当长的时间的。实际上当t=45t时，已经可以认为电时，已经可以认为电容基本上充满，充电过程已基本上结束。容基本上充满，充电过程已基本上结束。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电(3) 在电容刚刚开始充电或刚刚开始放电的瞬间，电容在电容刚刚开始充电或刚刚开始放电的瞬间，电容的端电压的端电压UC及储存的电荷及储存的电荷Q都将保持着充放电开始都将保持着充放电开始之前的数值。例如，充电前电容的电压之前的数值。例如，充电前电容的电压UC0V，则开始充电的瞬间则开始充电的瞬间UC仍保持为仍保持为0V；而放电前如果；而放电前如果电容器的电容器的UCE，则放电开始瞬间，则放电开始瞬

50、间UC仍保持为仍保持为E。即电容的端电压即电容的端电压UC在充放电开始的瞬间是不能突变在充放电开始的瞬间是不能突变的，电容的这一特点非常重要，必须牢记。的，电容的这一特点非常重要，必须牢记。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电4注意事项(1) 注意充电电压不应超过电容的额定值。注意充电电压不应超过电容的额定值。(2) 电子仪器的调节，动作要平缓，用力要适度，以避电子仪器的调节，动作要平缓，用力要适度，以避免仪器损坏。免仪器损坏。(3) 在实验连线中、检查实验连线时以及实验结束后拆在实验连线中、检查实验连线时以及实验结束后拆线时，均应切断电源，在断电状态下操作。线时，均应切断电源

51、，在断电状态下操作。(4) 实验完毕，拆线时用力不要过猛，以防拔断导线，实验完毕，拆线时用力不要过猛，以防拔断导线，最好是轻轻地旋拔。做完实验后，收拾好实验设备最好是轻轻地旋拔。做完实验后，收拾好实验设备与器材。与器材。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电6.3 任务3 一阶动态电路的放电电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项目导入与项目分析项目导入与项目分析 电容的基本作用就是充电与放电，由这种基本充放电作用电容的基本作用就是充电与放电，由这种基本充放电作用所延伸出来的许多电路现象，使得电容有着种种不同的用途，所延伸出来的许多电路现象，使得电容有着种种不同的用

52、途，例如在照相闪光灯中，用它来产生高能量的瞬间放电。电容的例如在照相闪光灯中，用它来产生高能量的瞬间放电。电容的放电过程，与水容器放电过程，与水容器(如水桶如水桶)的放水过程也非常相似，将它们的放水过程也非常相似，将它们进行比较，便于形象地理解电容器的放电过程。进行比较，便于形象地理解电容器的放电过程。 用一根导线将电容两极板相连，两极板上正负电荷中和，用一根导线将电容两极板相连，两极板上正负电荷中和，电容失去电量，这个过程称为电容的放电过程。手动放电时，电容失去电量，这个过程称为电容的放电过程。手动放电时，最好是外接电阻，不可以短路放电，尤其是大电容。短接放电，最好是外接电阻，不可以短路放电

53、，尤其是大电容。短接放电，电流大，容易烧毁元件。本任务是通过演示电容的放电过程，电流大，容易烧毁元件。本任务是通过演示电容的放电过程，比较具体地了解电容的作用；利用电流传感器观察电容的充、比较具体地了解电容的作用；利用电流传感器观察电容的充、放电，以便形成放电，以便形成“电容电容”概念，并了解电容在日常生活中的应概念，并了解电容在日常生活中的应用；掌握电容放电的特性，理解这一过程中电路中的电流和电用；掌握电容放电的特性，理解这一过程中电路中的电流和电压的变化规律。压的变化规律。电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电项目必备知识项目必备知识 无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应

54、，无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应，称为零输入响应。此过渡过程即为能量的释放过程。称为零输入响应。此过渡过程即为能量的释放过程。1RC电路的零输入响应电路的零输入响应 在图在图6-18所示电路中，设开关闭合前电容已充所示电路中，设开关闭合前电容已充电到电到 ，现以开关动作时刻作为计时起点，现以开关动作时刻作为计时起点，令令 ，开关闭合后，即，开关闭合后，即 时，根据时，根据KVL可得可得 将将 及及 代入上式，有代入上式，有 0CuU0t 0t0CRuuRuRiddCuiCt d0dCCuRCut电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电此式为一阶齐次微分方程，相应的特征方程

55、为此式为一阶齐次微分方程，相应的特征方程为 特征根为特征根为故微分方程的通解为故微分方程的通解为 (6-32) 图6-18 RC电路的零输入响应 10RC p 1pRC eetptRCCuAA电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电换路瞬间电容电流为有限值，所以换路瞬间电容电流为有限值，所以 ，以此代，以此代入式入式(6-32)，可得积分常数，可得积分常数因此得到时电容电压的表达式为因此得到时电容电压的表达式为 (6-33)电阻上的电压、电流分别为电阻上的电压、电流分别为 (6-34) (6-35) 0(0 )(0 )CCuuU0(0 )CAuU0(0 )eettRCRCCCuuU

56、0etRCRCuuU0dedtCRCuUiCtR 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 、 和和 随时间的变化曲线如图随时间的变化曲线如图6-19所示。所示。 图6-19 、和随时间变化的曲线CuRui电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 从上述分析可见，从上述分析可见，RC电路的零输入响应电路的零输入响应 、 、 都是按照同都是按照同样的指数规律衰减的。最终衰减为零，说明样的指数规律衰减的。最终衰减为零，说明RC电路的零输入响电路的零输入响应实质上就是已充电的电容对电阻放电电路的响应。刚开始放应实质上就是已充电的电容对电阻放电电路的响应。刚开始放电时电流最大，

57、为电时电流最大，为 ，电容电压在衰减的过程中，其储存的电，电容电压在衰减的过程中，其储存的电场能通过电阻转换为热能而消耗完毕。场能通过电阻转换为热能而消耗完毕。 当当R的单位为的单位为W，C的单位为的单位为F时，令时，令 ，其中，其中R为由电为由电容两端看过去的戴维南等效电阻，由下式可知：容两端看过去的戴维南等效电阻，由下式可知：CuRuii0URRC伏 特库 仑库 仑安 培秒欧 姆法 拉秒安 培伏 特安 培安 培电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 t的单位为秒，因此将的单位为秒，因此将t称为称为RC串联电路的时间串联电路的时间常数，时间常数只取决于电路的参数，与电路的初常数

58、，时间常数只取决于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入始情况无关。引入t后，电容电压后，电容电压 可表示为可表示为 (6-36)表表6-3列出了电容电压在列出了电容电压在t=0，t=，t=2时刻的值。时刻的值。Cu(0 )etCCuu电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电te0( )tCutU0U00.368U00.135U00.05U00.018U00.007U01t2 t3 t4 t5 t0表6-3 时间为t的倍数时的的值 电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容的充放电 从理论上讲从理论上讲 时，时， 才能衰减到零值，电才能衰减到零值，电路才能达到稳态。但实际上一般认

59、为换路后经过时路才能达到稳态。但实际上一般认为换路后经过时间间 ，响应已衰减到初始值的，响应已衰减到初始值的5%0.67%，暂态过程结束，电路已达到新的稳态。暂态过程结束，电路已达到新的稳态。 从表从表6-3可见，时间常数可见，时间常数t就是响应从初始值衰就是响应从初始值衰减到初始值的减到初始值的36.8%所需的时间。事实上，在过渡所需的时间。事实上，在过渡过程中从任意时刻开始算起，经过一个时间常数过程中从任意时刻开始算起，经过一个时间常数t后后响应都会衰减响应都会衰减63.2%。例如在。例如在 时时 ，响应为，响应为t Cu3 5t0tt 000( )etCutU电路分析综合项目综合项目6

60、电容的充放电电容的充放电 经过一个时间常数经过一个时间常数t，即在，即在 +t时，响应变化时，响应变化为为 即经过一个时间常数即经过一个时间常数t后，响应衰减了后，响应衰减了63.2%，也即衰减到原值的也即衰减到原值的36.8%。可以证明，响应曲线上。可以证明，响应曲线上任一点的次切距都等于时间常数任一点的次切距都等于时间常数t，如图，如图6-20(a)所示。所示。工程上可用示波器观测工程上可用示波器观测 等曲线，并利用作图法测等曲线，并利用作图法测出时间常数出时间常数t。0tt 0010000()eee .( )ttCCutUUut 0 368Cu电路分析综合项目综合项目6 电容的充放电电容