第5章正弦稳态分析

1、1 1第5章 正弦稳态分析5.1基尔霍夫定律的相量基尔霍夫定律的相量5.2欧姆定律的相量式、阻抗及导纳欧姆定律的相量式、阻抗及导纳5.3简单交流电路的计算简单交流电路的计算5.4交流电路的功率交流电路的功率5.5 正弦稳态的功率传输正弦稳态的功率传输5.6 正弦电路中的谐振正弦电路中的谐振2 25.1 基尔霍夫定律的相量式基尔霍夫定律的相量式在交流电路中，对任何一瞬时而言，基尔霍夫定律都成立，用瞬时值表示为 (5.1)0KVL0KCLui例如对图5.1中的节点A而言，应有i1i2+i3=0由于在正弦交流电路中，所有激励和响应都是同频率的正弦时间函数，因而上式可以用相应的相量表示为 Im(İ1m

2、ejt)Im(İ2mejt)Im(İ3mejt)03 3式中İ1m、İ2m和İ3m分别是i1、i2和i3的相量形式，ejt是旋转因子。根据复数运算法则可知：各正弦电流旋转相量的虚部的代数和等于所有旋转相量的代数和的虚部，于是上式可改写成：Im(İ1mİ2mİ3m)ejt0上式对任何一瞬时都成立的条件是İ1mİ2mİ3m0显然这就是节点电流瞬时值的相量式，其推广后的一般表示式为 (5.2)0I式(5.2)即为基尔霍夫电流定律的相量式，它表明流入电路中任一节点电流相量的代数和恒等于零。4 4同理可得到基尔霍夫电压定律的相量式：(5.3)0U它表明沿任意回路绕行一周，各部分电压相量的代数和恒等于零。

3、图5.1 节点电流5 55.2 欧姆定律的相量式、阻抗及导纳欧姆定律的相量式、阻抗及导纳1. 单参数交流电路的欧姆定律及阻抗单参数交流电路的欧姆定律及阻抗元件C和L上的电压电流瞬时值关系式为tiLutuCiLCdddd及可见电容和电感元件不存在类似电阻元件所具有的欧姆定律的关系。R、L、C用相量式表示的欧姆定律分别为(5.4)(5.5)LLLLCCCCRRXUIIXULXUIIXUCRUIIRURjj:jj:或或或(5.6)6 6上式各分母项都具有阻碍电流通过的作用，它们的单位都是欧姆。为了统一表示上述关系，我们引入复数Z，称为复数阻抗，简称复阻抗。对于不同的电路，复阻抗具有不同的意义。例如，

4、对电阻元件Z=R，对电容元件Z=jXC，对电感元件Z=jXL，于是式(5.4)、式(5.5)和式(5.6)可统一表示为(5.7)ZIUZUI或式(5.7)就是单参数交流电路欧姆定律的相量表示式。7 72. 多参数交流电路的欧姆定律及阻抗多参数交流电路的欧姆定律及阻抗实际电路往往由若干不同性质的元件组成,下面以图5.2所示的RLC串联电路为例,推导出其欧姆定律的相量式及阻抗表达式。由KVL知u=uR+uL+uC相量式为CLRUUUU把式(5.4)、式(5.5)和式(5.6)代入上式，得到ZIXRIXXRIXIXIRIUCLCL)j()j()j()(j(5.8)8 8图5.2 RLC串联电路(a)

5、 电路图；(b) 相量模型图9 9上式中XRZXXXCLj(5.9)其中感抗XL和容抗XC之差用符号X表示，称为电抗，它视XL和XC的大小可正可负，也可为零。Z称为复阻抗，它的实部是电阻R，虚部是电抗X，式(5.9)是电抗和复阻抗的一般表示式。有时需要把复阻抗写成指数形式:Z=R+jX=zejj (5.10)上式中(5.11)RXXRzarctan22j1010由式(5.11)知R、X及Z三者之间的关系可用直角三角形表示，如图5.3所示。图5.3 阻抗三角形1111由式(5.11)知R、X及Z三者之间的关系可用直角三角形表示，如图5.3所示。图5.3所示的三角形称为阻抗三角形。式(5.11)中

6、小写字母z表示复阻抗的辐模，简称阻抗；j是复阻抗的辐角，或称为阻抗角。 若电压相量是，电流相量是，则复阻抗uUUjjeiIIjjejjjj)j(eezIUIUZiu(5.12)可见复阻抗的辐模z还可表示为电压和电流的有效值之比，而辐角j是电压与电流的相位差角，但它表明的是总电压超前于电流的相位角。1212当电抗值不同时，电路呈现出以下三种不同的特征：当X0时，表明感抗大于容抗，电路呈现电感性，j0，此时电压相位超前于电流；当X0时，表明容抗大于感抗，电路呈现电容性，j0，此时电流相位超前于电压；当 X=0时，表明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，电压与电流同相，j=0，此时电路如同纯电阻电路

7、一样，这样的情况称为谐振，有关谐振问题将在后面讨论。1313【例【例5.1】 电路如图5.2(b)所示，已知其中R=4 ，XL=3 ，XC=6 ，电源电压 U =1000V，试求电路的电流相量及各元件上的电压，并画出相量图。解解 复阻抗Z=R+j(XLXC)=4+j(36)=4j3=536.9电流 A9 .36209 .3950100ZUI各元件上的分电压İR2036.948036.9V jİXL2036.939060126.9VjİXC2036.969012053.1VRULUCU1414各元件的相量和为8036.960126.912053.1(64j48)(36j48)(72j96)100

8、0V以上各量可用简化相量图表示，如图5.4所示。在画相量图时，选初相位为零的相量为参考相量比较简便。CLRUUUU1515图5.4 例5.1相量图(a) 电压电流相量关系；(b) 各电压相量；(c) 阻抗三角形16163. 导纳导纳在交流串联电路中应用阻抗计算比较方便，在并联电路中应用阻抗的倒数导纳计算比较方便。下面根据图5.5所示的RLC并联电路引出导纳的概念及关系式。图5.5 RLC并联电路1717设外加正弦电压为u=Um sin(t+ju)若各支路电流分别为iR、iL和iC，则总电流i为i=iR+iL+iC上式对应的相量式为CCLLRXUIXUIRUIj,j,CLRIIII因为所以181

9、8YUIUYUBGUBBGUCLRXUXURUICLCL)j()j(1j1jj(5.14)(5.15)即式(5.15)是欧姆定律的又一种相量表示式。式(5.14)中几个符号的名称和关系分列于下，其单位都是西门子(S)。1919电导 电感电纳电容电纳电纳复导纳复导纳Y不是相量，所以符号上不加圆点，只用大写字母表示。BGYCLBBBCXBLXBRGCLCCLLj1111112020复导纳的指数形式表示为YGjByejj (5.16)(5.17)式中 GBBGyarctan22j由式(5.17)可知G、B和Y三个量的关系也可用直角三角形表示，称为导纳三角形，如图5.6所示。图中小写字母y是复导纳Y的

10、幅模，简称导纳，j是复导纳的幅角或称导纳角。2121图5.6 导纳三角形2222复阻抗和复导纳是电路参数的两种不同的表达形式。就一段无源支路而言，既可以用复阻抗表示，也可以用复导纳表示。一段无源支路在同样电压下取得相同电流时，复导纳与复阻抗互为倒数，即有 (5.18)ZY1从式(5.18)可以看出 j= j (5.19)即阻抗角和导纳角等值异号。还要注意，虽然Z与Y互为倒数，但是在一般情况下R和G以及B和X并不互为倒数，只有在特殊情况下，例如=0时G=1/R, R=0时B=1/X。应用阻抗与导纳的等效变换，可对串联和并联两种电路进行等效变换，从而简化电路。23235.3 简单交流电路的计算简单

11、交流电路的计算在正弦交流电路中，可以用阻抗(或导纳)代表电路的基本元件，并仍用矩形符号表示。阻抗的串联、并联以及串并联电路都属于简单电路，下面分别讨论它们的分析方法。1. 阻抗串联电路阻抗串联电路如图5.7所示，有n个复阻抗串联，若每个阻抗元件的参数是： Z=R1+jX1 Z=R2+jX2 Z=Rn+jXn2424图5.7 阻抗串联电路2525每个阻抗元件都应服从欧姆定律的相量形式：nnZIUZIUZIU2211ZIXRIXXXRRRIZZZIUUUUnnnn)j()j()(21212121由KVL得到总电压：2626从式(5.20)知总电阻、总电抗和总阻抗分别为 nkknnkknnkknZZ

12、ZZZZXXXXZRRRR121121121(5.21)串联电路中各元件上的电压分别是：(5.22)nnnnnnZZZZUZIUZZZZUZIUZZZZUZIU2122122121112727【例【例5.2】 电路如图5.8所示，已知电流相量İ =50 A, 电容电压UC=25 V，阻抗Z1=(7.07+j12.07)。求电路的总阻抗Z与端电压。解解 电路中的容抗为 U5525IUXCC电路中的总阻抗为 Z=jXC+Z1=j5+7.07+j12.07=7.07+j7.07=1045电压相量为 Zİ104550V5045VU2828图5.8 例5.2电路图 29292. 阻抗并联电路阻抗并联电路

13、若n个阻抗并联，如图5.9所示，每个阻抗的参数分别是：Z1R1jX1 Z2R2jX2 ZnRnjXn每个阻抗元件上的电压电流关系都应服从欧姆定律，即nnZUIZUIZUI22113030图5.9 阻抗并联电路3131由KCL得到 UYUYYYUZZZZUZUZUIIIInnnn)()111(21212121nkknYYYYY121(5.23)式中的Y为并联电路总的复导纳： (5.24)当只有两个复阻抗并联时，(5.25)21212121212111ZZZZZZZZZZZYYY32323. 阻抗串并联电路阻抗串并联电路对于由阻抗组成的串并联电路，计算过程往往比较复杂，先要把并联支路化为等效串联支

14、路然后计算，其计算方法与直流电路电阻串并联的计算方法相似，有时利用复数的基本性质也可在一定程度上简化求解过程。下面用例题说明。【例【例5.3】 如图5.10(a)所示电路中, L=20 mH, C=10F, R1=50 ，R2=30 ， =1500V，=1000 rad/s。求各支路电流并画出相量图。U3333图 5.10 例5.3电路图 (a) 电路； (b) 相量图3434解解 容抗和感抗为10010101000116CXC20j40100j50)100j(50j)j(111CCXRXRZXLL10002010320 并联支路阻抗 串联支路阻抗 Z2R2jL30j20 总阻抗 Z=Z1+Z

15、2=(30+j20)+(40j20)=70 3535各支路电流为 A014. 2700150ZUIA4 .6396. 0014. 2100j5050jA6 .2692. 1014. 2100j50100jjj11211IXRRIIXRXICCC相量图如图5.10(b)所示。36364. 相量分析法的一般解题步骤相量分析法的一般解题步骤应用相量法分析正弦稳态电路的一般步骤为：(1) 将已知电压、电流写成相应的相量形式。为了运算或画图方便起见，一般选取初相为零的相量为参考相量；若各相量的初相均不为零，可根据题意任选一相量为参考相量。(2) 把电路参数写成相应的复阻抗或复导纳形式，并画出它们的相量模

16、型电路图。一般对串联电路或仅含有两条支路的并联电路，用复阻抗形式表示比较简便，而多支路并联电路以复导纳形式表示比较简便。3737(3) 根据相量模型电路图，应用基尔霍夫定律的相量式，列出相应的相量方程进行相量运算。在运算中，若能画出它们的相量图，可以帮助我们了解各相量之间的几何关系，从而简化计算过程。(4) 将求解出的相量式变换成相应的正弦函数的瞬时值表达式。(5) 复杂交流网络的分析求解需要用第2章所讲的定理和方法，例如支路电流法、网孔电流法、叠加原理、电压源与电流源的等效变换以及戴维南定理，等等。38385.4 交流电路的功率交流电路的功率5.4.1 基本元件的功率基本元件的功率1. 电阻

17、元件的功率电阻元件的功率设电阻元件R上的端电压u为u=Um sin(t+j)则流过R的电流为i=Im sin(t+j) 那么电阻R上的瞬时功率p为p=ui=UmIm sin2(t+j) =UI1cos2(t+j) =UIUI cos2(t+j)3939由上式可以看出，瞬时功率由两部分组成，一部分为有效值U和I的乘积，它是恒定分量；另一部分为UI cos2(t+ j)，它以电压(或电流)的二倍角频率振荡，功率变化的波形如图5.11所示。由于u和i同相，因而瞬时功率恒为正，这表明电阻是个耗能元件。用瞬时功率在一个周期的平均值衡量电阻元件消耗功率的大小，称为平均功率或有功功率，单位是瓦(W)或千瓦(

18、kW)，用大写字母P表示，即RURIUIPUIttUIUITtpTPTT2200d)(2cos1d1j或(5.27)(5.26)4040图5.11 电阻元件的功率(a) 电路模型； (b) 波形图41412. 电感元件的功率电感元件的功率设电感元件中的电流和端电压分别为i=Im sint2sinmtUutUItIUttIUuipmsin2sin2212sinsinmmm则电感元件的瞬时功率为其波形如图5.12(b)所示。4242图5.12 电感元件的功率(a) 电路模型； (b) 波形图 4343电感元件的平均功率0d10TtpTP上式表明电感元件不是耗能元件，而是储能元件，且它和电源有能量的

19、交换。为了衡量能量交换的规模，取其瞬时功率的最大值来表示，称为无功功率，单位是乏(Var)或千乏(kVar)， 用字母QL表示，即QL=ULI=I2XL (5.29) 必须说明，无功功率并非无用功率，许多感性负载(如电动机)就是靠与电源的能量交换进行工作的，而无功功率正是用于说明这种能量交换的规模的大小。4444从第3章式(3.12)知电感的储能为tLILItILLi(t)WL2cos2121)sin2(212122222av21LIWL平均储能为 (5.30)45453. 电容元件的功率电容元件的功率电容元件的分析过程和电感元件相同。设电容元件中的电流和端电压分别为uC=UCm sinttU

20、ItIUttIUuiPCsin2sin221 2sinsinmCmmm2sinmtIiC则电容元件的瞬时功率为其波形如图5.13(b)所示。4646图5.13 电容元件的功率(a) 电路模型； (b) 波形图4747电容元件的平均功率(5.31)0d10TtpTP上式说明电容元件不是耗能元件，而是储能元件，它和电源也有能量交换。为了衡量能量交换的规模，取其瞬时功率的最大值来表示，称为无功功率，单位也是乏(Var), 用字母QC表示, 即QC=UCI=I2XC (5.32) 由第3章式(3.6)知电容的储能为tCUCUtUCCu(t)WC2cos2121)sin2(212122222av21CU

21、WC平均储能为(5.33)48485.4.2 二端网络的功率和功率因数二端网络的功率和功率因数图5.14(a)为一线性无源二端网络的电路模型。 图5.14 无源二端网络的功率(a) 电路模型； (b) 波形图4949为讨论问题简便起见，设i=Im sint u=Um sin(t+j) 二端网络的瞬时功率为p=ui=UmIm sint sin(t+j) =UIcosj (1cos2t)+sinj (sin2t) =UI cosj (1cos2t)+UI sinj (sin2t) (5.34)式(5.34)表明二端网络的瞬时功率为两个分量的叠加，第一项始终为正，它表示二端网络从电源吸取的功率(其实

22、就是电路中所有电阻R上消耗的功率之和)，其平均值为(5.35)jjcosd)2cos1 (cos10UIttUITPPTR5050上式是计算正弦交流电路有功功率的一般公式。cosj称为功率因数，j角称为功率因数角，其大小由电路的参数、频率和结构决定。对于纯电阻电路，j=0，cosj=1，P=UI ；对于纯电容或纯电感电路，j=/2，cosj=0，P=0；一般情况下，0j，cosj1，PUI。式(5.34)的第二项表示二端网络中的电抗元件与电源之间能量交换的速率，其振幅为UI sinj，它表示二端网络与外电路能量交换的规模，定义其为无功功率，用Q表示: Q=UI sinj (5.36)电路中总的

23、无功功率等于各电感元件和各电容元件的无功功率的代数和，即Q=QL+QC=I2XLI2XC=I2(XLXC)=I2X (5.37)5151在交流电路中把电压有效值与电流有效值的乘积UI称为视在功率或设备容量，用字母S表示，单位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，即 S=UI (5.38) 二端网络的有功功率P与视在功率S的关系为P=UI cosj=S cosj (5.39)cosj=P/S (5.40) 一般交流用电设备，如发电机、变压器等都是按照安全运行规定的额定电压UN和额定电流IN运行的，因此我们把UN和IN的乘积称为额定视在功率，用SN表示，即SN=UNIN (5.41) 5252图5.1

24、5 功率三角形5353SN表示电源设备可能提供的最大有功功率，该功率也称为额定容量，简称容量。有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系可用图5.15所示的三角形表示，称为功率三角形。从功率三角形可看出： (5.42)PQQPSQPSSUIQSUIParctansinsincoscos22222jjjjj54545.4.3 复功率复功率若把功率三角形放在复平面里，用复数来表示的功率称为复功率，用表示。S*)j(j)j(jeeee)sinj(cosjIUIUUIUIUIQPSiuiu jjjjjjj(5.43)式中İ*Iej(ji)，它是Iej(ji)的共轭复数。上式把视在功率、有功功率、无功

25、功率和功率因数统一表示在一个式子里，使得功率的计算更加简便。5555【例【例5.4】电路如图5.16所示，电源频率为50 Hz，电压为220 V。求:(1) 电路的功率因数cosj，电路消耗的有功功率P，无功功率Q；(2) 在电路a、b端并入一个80 F的电容后，电路的功率因数。解解 (1) 电路的阻抗为4522020j2020j164Z功率因数为cosj=cos45=0.7075656图5.16 例5.4电路图5757设电源电压相量=2200 V，则电路的电流为A4578. 7452200220ZUIU有功功率P为P=UI cosj=2207.780.707=1210 W无功功率Q为Q=UI

26、 sinj=2207.780.707=1210 Var(2) 并入一个80 F的电容后，电容的阻抗为40j10805014. 321j21j1j6fCCZC5858电路的总阻抗变为3 .1189.438 . 8j4340j20j16)40j)(20j16(4Z功率因数cosj为 cosj=cos11.3=0.98 通过计算我们发现，在感性负载两端并联电容后，可以提高电路的功率因数。这是因为电容的无功功率和电感的无功功率在同一时间内总是相反的, 电感的无功功率可以通过电容供给, 而不再需要从电源获取。在电网运行中，功率因数反映了电源输出的视在功率被有效利用的程度，故功率因数的大小对节约用电具有重

27、要的经济意义，在电感负载二端并联电容来提高功率因数的方法，称为无功补偿，在供电系统中有着广泛的应用。59595.5 正弦稳态的功率传输正弦稳态的功率传输在交流电路中，怎样使负载获得最大限度的有功功率，这对电子技术和测量线路都很重要。现讨论负载从电源获得最大功率的条件。如图5.17所示电路，设负载ZL=R+jX，电源为=U0 0，电源的内阻抗为Z0=r0+jX0。由电路图知0U)j()(000L00XXrRUZZUI6060图5.17 电路模型图6161电流的有效值为 20200)()(XXrRUIRXXrRURIP2020202)()(负载获得的功率为由上式可知，若r0不变，仅改变X，则为了获

28、得最大功率，应使X+X0=0即X=X0这时电路变为纯电阻电路，其功率为6262在X=X0的条件下，改变R使负载获得最大传输功率的条件应该是RrRUP202)(0ddRP从而可得出 R=r06363【例【例5.5】 电路如图5.18(a)所示，若ZL中的RL和XL均可改变，问ZL等于多少时，负载才能获得最大功率，最大功率为多少？图5.18 例5.5电路图6464解解 首先可求出ZL端口的戴维南等效电路，如图5.18(b)所示。等效内阻抗为4 . 0j2 . 1j2222j22)2j2(20）（ZV56.2694. 82j222020ocU等效电源电压为所以，ZL获得最大功率的条件是ZL=Z*0=1.2j0.4 ZL获得的最大功率为 6565W65.162 . 1494. 84202ocmaxRUP66665.