常用逻辑用语24579

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流常用逻辑用语24579.精品文档.常用逻辑用语 目标认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和

2、结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式： 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：p或q；p且q

3、；非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； 当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 “非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否

4、命题，既否定题设，又否定结论。知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若p则q”形式的命题：若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，但qp，则p是q的充分不必

5、要条件，q是p的必要不充分条件；若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条

6、件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存

7、在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见

8、的词的否定：正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真 假性一致.2. 要注意区分命题的否定与否命题.3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解.4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条

9、件.5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。经典例题精析类型一：判定复合命题的真假1. 已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.（1）：是方程的根，：是方程的根；p或q，（2）：， ：是有理数； p且q，（3）：若，则或； 非p解析：（1）p或q：或是方程的根，真命题；（2）p且 ：是大于3的有理数，假命题；（3）非p：若，则且，假命题；总结升华：1. 判断复合命题的真假的步骤： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题p和q的真假； 根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.举一反三：【变式1】指出下列复合命题的形式及其

10、构成.(1）若是一个三角形的最小内角，则不大于60°；(2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；(3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.【答案】（1）是非P形式的复合命题；其中p:若是一个三角形的最小内角，则60°.（2）是p且q形式复合命题；其中p:一个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个 内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.（3）是p或q形式的复合命题；其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形,q:有一

11、个内角为60°的三角形是直角三角形.【变式2】若命题P：，则命题“非P”是（ ）A且 B或 C D 【答案】A ；解析：因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是_（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q: sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分； q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)； 解析：由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3

12、)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)类型二：四种命题及其关系2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab0，则a0且b0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a0且b0，则ab0，真命题。总结升华：1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式1】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。（1）若q1，则方程x2+2x+q=0有实根

13、；（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。【答案】（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q1，为假命题； 否命题：若q1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题； 否命题：若x2+y20,则x,y不全为零，真命题； 逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。【变式2】“已知是实数，若，则”，写出下面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为：_,_；上述命题的否命题为：_,_；上述命题的否定为：_,_.【答案】 逆命题：已知 是实数，若 ，则，；假命题。否命题

14、：已知是实数，若或，则；假命题。命题的否定：已知是实数，若，则.假命题。类型三：全称命题与特称命题真假的判断3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）； （2）；（3）； （4）.解析：(1) 由于都有，故，为真命题；：，为假命题(2) 因为不存在一个实数，使成立，为假命题；：，为真命题.(3) 因为只有或满足方程，为假命题；：，为真命题.(4) 由于使成立的数有，且它们是有理数，为真命题；：，为假命题.总结升华：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；2. 要判断一个特称命题的真

15、假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假：（1）；（2）.【答案】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.【变式2】写出下列命题的否定，并判断真假。（1）；（2）所有的正方形都是矩形；（3）； （4）至少有一个实数x，使得。【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）； （4）：（真命题）。类型四：充要条件的判断4. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种

16、）。（1）已知：；：方程有实根. 则是的_条件；（2）已知：:；:.则是的_条件.解析：（1）方法一：定义法方程有实根，且方程有实根.所以是的充分而不必要条件。 方法二：从集合的观点入手：方程有实根因为，所以是的充分而不必要条件.（2）:；:. 由图知：但,故是的充分不必要条件,故是的充分不必要条件.总结升华：1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.举一反三：【变式1】指出下列各组命题中, A是B的什么条件（1）A：；B：方程有实根；（2）A：；B：；（3）A：圆与直线相切；B：. 【答案】要判断A是B的什么

17、条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可(1)必要非充分条件解析：或，方程有实根或，或或，即.所以A是B的必要非充分条件(2)必要非充分条件 解析：；，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件(3)充要条件解析：直线与圆相切 圆(0，0)到直线的距离， 即. 所以A是B的充要条件.【变式2】条件p:,条件q:,则是的( ).A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A.解析：p:或；，显然“”成立“pq”成立，所以p是q的充分但不必要条件.类型五：求参数的取值范围5. 已知命题p：不等式的解集为R，命题q：是减函数，若“

18、p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数的取值范围.思路点拨: 分别依据题意，确定每个命题的真假，再求出其取值范围.解：由，知，即最小值为1，故要使对成立，则.又由为减函数，则，得.又由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题知，p与q中必有一真一假，（1）若“p假且q真”，则且，有；（2）若“p真且q假”，则且，有.从而得，即.总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论举一反三：【变式】设有命题：（1）关于的不等式对一切恒成立；（2）函数在上是减函数.若命题（1）、（2

19、）中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是什么？【答案】记命题对一切恒成立，命题是上的减函数.由即得，. 由是上的减函数，有即，.与中仅有一个为真命题，命题真且命题假，或命题假且命题真. 当命题真且命题假时，.当命题假且命题真时，.实数的取值范围是：.6. 已知；若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围思路点拨:从认知与入手，将、分别与集合建立联系.可以有两个思路：（1） 先求出和，然后根据，求得的取值范围；（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件解法一：由已知得：， 由是的必要而不充分条件得， 它等价于

20、或 解得的取值范围是.解法二：是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件 设：；：. 所以，它等价于且等号不能同时成立， 同样解得的取值范围是.总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。举一反三：【变式】设命题；命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.【答案】由题意知：命题：若是的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：是的充分不必要条件.； 即，所以 是的充分不必要条件，即， 如图： ， 则，. 即的取值范围是.类型六：证明7.若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0 解析：假设都不大于0，即，则 而 ， ，这与相矛盾 因此

21、中至少有一个大于0总结升华： 1. 利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多”、“至少”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题举一反三：【变式1】已知函数f(x)在R上为增函数，a,bR，对命题“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”。（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论（2）写出其逆否命题，并证明你的结论。【答案】（1）逆命题是：若f

22、(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0, 真命题。 用反证法证明： 假设a+b0, 则a-b, b-a, f(x)在R上为增函数，则f(a)f(-b),f(b)f(-a)， f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真。（2）逆否命题：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0，为真命题， 因为一个命题等价于它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题。 a+b0, a-b, b-a， 又 f(x)在R上是增函数，f(a)f(-b),f(b)f(-a)， f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，原命题成立，所以逆否命题为真。【变式2】已知函数对其

23、定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根【证明】假设至少有两个不同的实数根，不妨假设， 由方程的定义可知：，即 由已知时，有这与式矛盾. 因此假设不能成立，故原命题成立8.求证:关于的方程有一根为1的充分必要条件是.证明：(1）必要性，即 证“是方程的根”.是方程的根，将代入方程，得,即成立.(2）充分性，即证“是方程的根”.把代入方程的左边，得, ，是方程的根成立.综合(1)(2)知命题成立.总结升华：1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什么，结论是什么。2. 充分性：由条件结论；必要性：由结论条件.3.叙述方式的变化（比如是的充分不必要

24、条件”等价于“的充分不必要要条件是”）.举一反三：【变式1】a, b, c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【证明】（1）充分性:若ac0，则=b2-4ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ac0, x1x2=0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根一个负根，设为x1,x2,且x10, x20， 则x1x2=0, ac0，并且此时0. 由（1），（2）知ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求至少有一负根的充要条

25、件.【答案】必要性: (1)方程有一正根和一负根，等价于 (2)方程有两负根，等价于 综上,可知原方程至少有一负根的必要条件是或即.充分性: 由以上推理的可逆性，知当时方程有异号两根；当时，方程有两负根故或是方程至少有一负根的充分条件.所以方程至少有一负根的充分条件是.学习成果测评基础达标：1. 与命题“若，则”等价的命题是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则2. 命题“若p不正确，则q正确”的逆命题的等价命题是（ ）A、若q不正确，则p不正确 B、若q不正确，则p正确C、若p正确，则q不正确 D、若p正确，则q正确3. 用反证法证明命题“若mn是偶数，则m、n都是偶数”时，正确的假设是

26、（ ）A假设m、n都不是偶数 B假设m、n不都是偶数C假设m、n都是偶数 D假设m、n都是奇数 4. 若p，q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（ ）A、p真q真 B、p假q假 C、p真q假 D、p假q真5. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）A BC使D6设命题甲为：0x5，命题乙为：|x-2|3，那么（ ）。A、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C、甲是乙的充要条件D、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7已知为非零的平面向量.甲：，乙：，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙

27、充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件能力提升：8. 设语句p: x=1, q:x2+8x-9=0，则下列各选项为真命题的为（ ）A、p且q B、p或q C、若q则非p D、若非p则q9设集合A、B是全集U的两个子集,则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.“”是“直线与直线相互垂直”的 （ ） A 充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件11给定下列命题：“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆否命题；“若ab，则acbc”的否命题；“若xy0，则x、y中至少有一个为0”的否命题；“若ac2

28、bc2，则ab”的逆命题. 其中真命题的序号是_. 12设有四个命题：；其中真命题的序号是_.（把你认为符合的命题序号都填上）综合探究：13. 设p:实数满足,其中；q:实数满足或,且p是q的必要不充分条件,求的取值范围. 14. 已知下列三个方程：，中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.15已知，设函数在R上单调递减，：不等式的解集为R，如果和有且仅有一个正确，求c的取值范围参考答案：基础达标：1. 答案：D；解析：互为逆否命题的真假性等价，原命题与命题D互为逆否命题，故选D.2. 答案：C；3. 答案：B； 解析：“都是”的否定词语是“不都是”，而不是“都不是”.4. 答案：B；解析

29、：“p或q”为假命题.5. 答案：C；解析：由于，都有，因而，所以选项为假命题；由于， 当时，不成立，故选项B为假命题；由于，当时，所以选项C为真命题；由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一理数的平方能等于3，所以选项D为假命题.6. 答案：A；命题甲为xx|0x5；命题乙为xx|-1x5。x|0x5x|-1x5,所以甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件7. 答案：B；解析：=，而，故甲是乙的必要而不充分条件.能力提升：8. 答案：C；解析：选择项A、B不是命题，不选A、B； p：x1, q:x2+8x-90，若p则q是假命题，不选D； 若q成立，即x1且x-9，显然x1即p成

30、立，选项C为真命题。9. 答案：A； 解析: 运用文氏图. 当AB时,如图（1）所示，则成立； 当A=B时,如图（2）所示，则也成立。 图（1） 图（2） 故，而 所以是的充分不必要条件，答案A.10. 答案：B；解析：当时两直线斜率乘积为，从而可得两直线垂直；当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。11. 答案：；解析：，故方程有实根，原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题，即正确；的否命题为“若则 ”，显然是正确的，即为真命题；的否命题为“若，则都不为0，为真命题；的逆命题为“若则”，当时，命题不成立，故为假命题.12.

31、 答案：；解析：由已知命题显然成立；对于命题，当时不成立；对于命题，显然时不成立；对于命题，存在使命题成立,所以正确. 综合探究：13分析:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出所满足的不等式去求解.解法一:设,.p是q的必要不充分条件,qp,且pq,即|q|p.而|q=|-4-2,|p=|3或,0,|-4-2|3或,0.则或即0或-4.解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化.由p是q的必要不充分条件,转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件,即p 是q的充分不必要条件, 也就是pq且qp.化简条件p得, ,化简条件q得, .由AB,得或，解得-4或0.14.解析：设已知

32、的三个方程都没有实根则，解得则所求的取值范围是上述范围的补集，故所求的取值范围是1或15. 解析：函数在R上单调递减不等式的解集为函数，在R上恒大于1.函数在上的最小值为，不等式的解集为R.如果p正确，且q不正确，则；如果p不正确，且q正确，则，所以c的取值范围为高考题萃1(2007年宁夏卷)已知命题，则（ ）A； BC； D答案：C解析：非p是命题的否定，要否定它，只需要存在一个实数x，使得不成立 即可，故选C。点评：考纲要求能正确地对含有一个量词的命题进行否定。本题中的命题是全称命题，它的否定具有固定模式。2（2008广东）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A B C D答案：D解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，只有为真命题.3(2008重庆)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是