材料力学圆轴扭转内力、应力

1、扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律, , 圆圆轴扭转时横截面上的应力。轴扭转时横截面上的应力。教学要求：教学要求：1 1、理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；2 2、掌握扭转内力掌握扭转内力扭矩与扭矩图；扭矩与扭矩图；3 3、掌握切应力互等定理、剪切胡克定律；掌握切应力互等定理、剪切胡克定律；4、掌握圆轴扭转时横截面上的应力掌握圆轴扭转时横截面上的应力重点：重点：扭转内力、应力。扭转内力、应力。难点：难点：切应力互等定理的证明。切应力互等定理的证明。学时安排：学时安排：2

2、2教学内容：教学内容：MechanicofMaterials第八讲的第八讲的内容、要求、重难点内容、要求、重难点目录目录第三章第三章 扭扭 转转 3.1 3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例和实例和实例3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 3.33.3 纯剪切纯剪切 3.4 3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials第八讲内容目录第八讲内容目录 3.1 3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例汽车传动轴汽车传动轴MechanicofMaterials汽车方向盘操纵杆汽车方向盘操纵杆MechanicofMaterials

3、3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例5MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例6MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例7MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例8MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例变形特征：变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。的转动。受力特征：受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用在杆的两端垂直于杆轴的平

4、面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。扭转角扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例1 1、直接计算、直接计算一一. .外力偶矩外力偶矩 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials2 2、按输入功率和转速计算、按输入功率和转速计算电机输入

5、功率为电机输入功率为P(KW),P(KW),每秒作功：每秒作功： 外力偶外力偶m使轴以使轴以n （r/min）转动，转动， m每秒每秒作功：作功：1000(N m)WP260nWm 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图其中其中P P为功率，单位为千瓦（为功率，单位为千瓦（kWkW）；）；n n为轴的转速，单位为为轴的转速，单位为转转/ /分（分（r/minr/min）。）。如果功率如果功率P P的单位用马力（的单位用马力（1 1马力马力=735.5 =735.5 W= 0.W= 0.73557355 k kW W ），），则则6010009549N m2PPmnn70

6、24N mr/minPmn马力MechanicofMaterialsmmm 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图二、扭矩二、扭矩T T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为横截面上产生的内力，称为扭矩扭矩T T，单位为，单位为kNkNm m或或N Nm mMechanicofMaterials扭矩正负规定扭矩正负规定: :右手螺旋法则右手螺旋法则右手四指与扭矩转向一致，右手四指与扭矩转向一致，拇指指向外法线方向为拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)TmmmmTT=

7、mTT=- -m三、扭矩图三、扭矩图diagramoftorsionmoment)：表征扭矩沿杆长的：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似） 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为偶矩的单位为Nm，尺寸单位为尺寸单位为mm。 试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。例题例题

8、3-13-1 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials解：解：1确定控制面确定控制面外加力偶处截面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面均为控制面2截面法求各段扭矩截面法求各段扭矩 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials3建立建立Tx坐标系，画出扭矩图坐标系，画出扭矩图建立建立Tx坐标系，其中坐标系，其中x轴平行于圆轴平行于圆轴的轴线，轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。轴垂直于圆轴的轴线。将所将所求得的各段的扭矩值，标在求得的各段的扭矩值，标在Mxx坐标系坐标系中，得到相应的

9、点，过这些点作中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。线，即得到所需要的扭矩图。315630486（）（+）T（kN.m）x110315 0315xMTT 220315 315 0630 xMTT 330486 0486xMTT 315315T3315486T1T2例例3-2 3-2 主动轮主动轮A A的输入功率的输入功率P PA A=36kW=36kW，从动轮，从动轮B B、C C、D D输出功率输出功率分别为分别为P PB B=P=PC C=11kW=11kW，P PD D=14kW=14kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min.n=300r/min.试

10、画试画出传动轴的扭矩图出传动轴的扭矩图3507004463695491146 .300AMN m119549350 .300BCMMN m149549446.300DMN m1350.BTMN m 2()700BCTMMN m 3446DTMMechanicofMaterials(kN m)TTM截面一侧从最外母线看，外力偶切线方向与从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。扭矩图从左到右突变方向相同。 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials一、一、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转壁厚0101rt （r0：为平均半径）（

11、一）、实验：（一）、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线、圆周线；绘纵向线、圆周线；3.3纯剪切纯剪切施加一对外力偶施加一对外力偶m。MechanicofMaterials2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线倾斜纵向线倾斜3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改形状、大小和间距均未改变变，只是绕轴线作了相对转动。，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均各纵向线均倾斜倾斜了同一微小角度了同一微小角度 。所有矩形网格均所有矩形网格均歪斜歪斜成同样大小的平行四边形。成同样大小的平行四边形。19圆周线间圆周线间距离不变距离不变变形沿圆周变形沿圆周切线方向切

12、线方向表面纵线倾斜表面纵线倾斜,所有小矩形都歪所有小矩形都歪斜成平行四边形斜成平行四边形每个小矩形每个小矩形的变形相同的变形相同3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterials lr横截面上横截面上无正应力无正应力圆周线的圆周线的形状、形状、大小均未改变大小均未改变 沿半径方向沿半径方向也无切应力也无切应力 左右两个截面间产生左右两个截面间产生了相对的转动了相对的转动，截截面上有切应力面上有切应力存在存在.横截面上横截面上同一圆周上各点的切同一圆周上各点的切应力应力都是都是相等相等的的切应力切应力沿圆周的切线方向沿圆周的切线方向,即即垂直垂直于半径方向，于半径方向，与扭矩转向一致与扭矩

13、转向一致4. 与与 的关系：的关系：lr .rlT二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 大小：大小： d AA0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterials0 r 000d2 ArArrtT AT2 00 2 2 TTAtrt dAT三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： 0zm上式称为为切应力互等定理切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方

14、向则共同指向或共同背离该交线指向或共同背离该交线3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterialsTT点右截面点右截面点左截面点左截面()t dy dx 故()t dx dy 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。acddxb dy tz单元体：围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体。单元体：围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体。22四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 0 2 TAtLR T=m剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时当切应力不超

15、过材料的剪切比例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系，切应力与切应变成正比关系:0. 2.TLAtRG G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，因，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值值约为约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：)1 (2EG3.3纯剪切纯剪切Mecha

16、nicofMaterials23一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路MechanicofMaterials（一）几何方面：（一）几何方面： 1 1、变形后，横截面大小、变形后，横截面大小、形状均不改变，半径仍为直形状均不改变，半径仍为直线。（应力垂直半径）线。（应力垂直半径）2 2、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力）、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力） 扭转时，圆轴的表面扭转时，圆轴的表面变形和薄壁圆筒表面变形变形和薄壁圆筒表面变形相似。相似。实验现象：实验现象： 3 3、平面假定：平面假定：圆轴受扭发生变形后，横截面仍保持平面，圆轴

17、受扭发生变形后，横截面仍保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。两相邻横截面刚性地相互转过一角度。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力24Rldddxdx MechanicofMaterialsl( a )G IPmm(b)O2O1ABCDDCRd xaG1bcd (d)GcOd A(e)MTO2O1ABCDd x(f)G切应力互等定理切应力互等定理Ad BCDDCO2O1d d x(c)（二）物理方面（线弹性范围内）（二）物理方面（线弹性范围内）（三）静力学方面（三）静力学方面3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力25dxxdd距圆心为距圆心为 任一点处

18、任一点处的的 与到圆心与到圆心的距离的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。1 1、变形协调方程推导、变形协调方程推导应变、应力分布规律应变、应力分布规律 设到轴线任意远设到轴线任意远 处的剪应变为处的剪应变为 （ ），则有如下几何关系：），则有如下几何关系： MechanicofMaterialsd2 2、物性关系、物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 xddGddGx、 3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力二、圆轴扭转应力公式推导二、圆轴扭转应力公式推导26xGdd MechanicofMaterials3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力2

19、73.静力学方程：静力学方程：OdAdASTF 2dPAIA 令d dP TGIxd dPT xGIPTI3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterialsxGdd dAA2d d dAAGx AxGAddd 2Gx dd物理关系式物理关系式28pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：GIP扭转刚度；扭转刚度；仅适用于各向同性、线仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。等圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面

20、上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。IP极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterialsO29单位：单位：mm4，m4。AIApd2尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials d2 202D324DdDOd对于空心圆截面：AI

21、Apd2222d2 Dd)(32 44dD )1 (32 44DDd30应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterialspIT31确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对

22、于实心圆截面：对于实心圆截面：316tPWIRD对于空心圆截面：对于空心圆截面：34(1) 16tpWIRD3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials32( a )D1 4k N m1 4k N m11OBCDOBCD /4(c)(b)14kN mOacb3-4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials例例3-3图示圆轴，图示圆轴，D=100mm，m=14kNm。解：（解：（1）由求扭转切应力的公式知：）由求扭转切应力的公式知：34414 100.135.73.14 0.1443232BPTTDPaM

23、PaDICtCMPaPaDTWT24 .71161 . 014. 3101416333max（3）切应力沿半径线性分布，且各点的切应力均垂直于半径；再）切应力沿半径线性分布，且各点的切应力均垂直于半径；再根据切应力互等定理，可画出如图所示的纵向面根据切应力互等定理，可画出如图所示的纵向面oabc上切应力沿半上切应力沿半径径oa的分布规律。表面无切应力。的分布规律。表面无切应力。试求：试求：(1)1-1截面上截面上B、C两点的切应力。两点的切应力。（2）画出图）画出图(b)所示的横截面及纵向截面所示的横截面及纵向截面oacb上切应力沿半径上切应力沿半径oa的分布规律。的分布规律。=033例3-4

24、 已知：已知：P P7.5kW, n=100r/min,7.5kW, n=100r/min,最大切最大切应力应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确定二轴的重量之比。确定二轴的重量之比。解解（1 1） 由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴7 595499549716 2Nm100.xPMTnmax13111640MPaxxtMMWdTT31616 716 20 045m=45mm40 10d.3-4圆轴扭转时横截面上的应