高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义新人教A版选修

1、3.1.2 复数的几何意义 在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数? ?实数可以用数轴实数可以用数轴上的点来表示上的点来表示.实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 想一想？想一想？x0 01 1实数的几何模型实数的几何模型: :.复数的一复数的一般形式般形式一个复数又该一个复数又该怎样表示呢？怎样表示呢？回忆回忆iab实部实部虚部虚部( (a a, , b bR)R)1.1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义类比实数的几何意义思考复数的几何意义. .2.2.明确复数的两种几何意义明确复数的两种几何意义. .（重点、难点）（重点、难点）3.3.

2、了解复数模的意义了解复数模的意义. .复数复数z= =a+ +bi有序实数对有序实数对( (a, ,b) )直角坐标系中直角坐标系中的点的点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究点探究点1 复数的几何表示复数的几何表示xy0Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴abz=a+bi这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义. . 实轴上的点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点示

3、纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚数表示实部不为零的虚数. .总结提升总结提升 一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？的点分别表示什么样的数？复数复数z= =a+ +bi有序实数对有序实数对( (a, ,b) )直角坐标系中直角坐标系中的点的点Z( (a, ,b) )（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应 平平面面向向量量OZOZ探究点探究点2 复数的向量表示复数的向量表示xy0Z( (a, ,b) )abz=a+bi复复数数z z = = a a + + b bi i的的向

4、向量量O OZ Z的的模模r r叫叫做做, ,记记作作 z z 或或 a ai i模模+ + b b . . 2222易易知知 z =a +bz =a +b这是复数的又一种几何意义这是复数的又一种几何意义. .探究点探究点3 实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义:x xO OA Aa a| |a| = | = |OA| | 实数实数a a在数轴上所对应的在数轴上所对应的点点A A到原点到原点O O的距离的距离. .(0)(0)a aa a 复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOz= =a+ +biy| |z|=|=r=| |OZ| |探究点探究点4 复数的

5、模的几何意义复数的模的几何意义: 复数复数 z= =a+ +bi的模的模r就是复数就是复数 z= =a+ +bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a, ,b) )到原点的距离到原点的距离. .Z(a,b)22abxyO解解 设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR) 例例2 2 满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数z z对应的点在复平面上对应的点在复平面上将构成怎样的图形？将构成怎样的图形？555522|5zxy2225xy图形图形: :以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆圆xyO解解 设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)

6、例例3 3 满足满足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的的复数复数z z对应的点在复平面对应的点在复平面上将构成怎样的图形？上将构成怎样的图形？555533332235xy22925xy图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心, , 半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内O1.1.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）A.A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上在复平面内，对应于实数的点都在实轴上B.B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上C.C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数D.D.在

7、复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数D D2 2“a=0”a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)a+bi (a , bR)所对应的点所对应的点在虚轴上在虚轴上”的（的（ ）A.A.必要不充分条件必要不充分条件 B.B.充分不必要条件充分不必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.不充分不必要条件不充分不必要条件C C3. 3. 在复平面内，描出下列各复数的点：在复平面内，描出下列各复数的点：xyO 2 25i;5i; 3 32i;2i; 2 24i;4i;3 3i;i; 5; 5; 3i3ixyO 2 25i;5i; 3 32i;2i

8、; 2 24i;4i;3 3i;i; 5; 5; 3i3i4.4.已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围允许的取值范围. . 2 22 2m +m -60m +m -60m +m -20解解：-3 m 2-3 m 2得得m -2或m 1m 1( 3, 2)(1,2)m 所所以以 表示复数的点所在表示复数的点所在象限的问题象限的问题复数的实部与虚部所满足复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想【总结提升总结提升】1.1.复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的集合是一一和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即对应的，即复数复数z za ab bi i 复平面内的点复平面内的点 Z Z（a a，b b）一一对应一一对应2.2.复数集复数集C C与复平面内的向量所成的集合也是一与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即一对应的，即复数复数z za ab bi i