大学文科数学极限(1)

1、主要内容主要内容典型例题典型例题习习 题题 课课第二章第二章 极极 限限（一）极限的概念（一）极限的概念（二）连续的概念（二）连续的概念左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf., 0, 0 axNnNn

2、恒恒有有时时使使1. 1. 极限的定义极限的定义定定义义N 定定义义 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它 多多么么小小) ), ,总总存存在在正正整整数数 N, ,使使得得对对于于Nn 时时 的的一一切切nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就称称 常常数数 a是是数数列列nx的的极极限限, ,或或者者称称数数列列 nx收收敛敛 于于 a, ,记记为为 ,limaxnn 或或 ).( naxn 定义定义 设函数设函数)(xf 在点在点 0 x的某一去心邻域的某一去心邻域内有定义，内有定义，对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ( (不论它多么不

3、论它多么小小),),总存在正数总存在正数 , ,使得当使得当 x满足不等式满足不等式 00 xx时，对应的函数值时，对应的函数值 )(xf都满足都满足 不等式不等式 Axf)(, ,那么常数那么常数 A就叫函数就叫函数时时的的极极限限当当0)(xxxf, ,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()

4、(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim定义定义 设函数设函数 )(xf当当 x大于某一正数时有定大于某一正数时有定义，义， 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存总存在正数在正数 X, ,使得当使得当 x满足不等式满足不等式 Xx 时，对应时，对应的函数值的函数值 )(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那那么常数么常数 A就叫函数就叫函数 时时的的极极限限当当 xxf)(, ,记记

5、作作)()()(lim xAxfAxfx当当或或 :.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形x Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记记作作在同一过程中在同

6、一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2. 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个

7、无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23. 3. 极限的性质极限的性质4. 4. 求极限的常用方法求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限

8、消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.准准则则 如如果果当当),(00rxUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在,且且等等于于A.5. 5. 判定极限存在的准则判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx

9、 10)1(lim; 1sinlim 某某过过程程.)1(lim1e 某过程某过程6. 6. 两个重要极限两个重要极限);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地7. 7. 无穷小的比较无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设.),0, 0(lim)3(

10、无无穷穷小小阶阶的的是是是是就就说说如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.8. 等价无穷小的性质等价无穷小的性质9. 极限的唯一性极限的唯一性左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类

11、第二类定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点. .1. 1. 连续的定义连续的定义).()(lim200 xfxfxx 定义定义定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(

12、,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3. 3. 连续的充要条件连续的充要条件2. 2. 单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf :)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连

13、续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4. 4. 间断点的定义间断点的定义(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5. 5. 间断点的分类间断点的分类跳跃间断

14、点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxf.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续

15、内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6. 6. 闭区间的连续性闭区间的连续性7. 7. 连续性的运算性质连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若8. 8. 初等函数的连续性初等函数的连续性.

16、)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9. 9. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大

17、值和最小值. .定理定理上连续，且上连续，且那末在开区间那末在开区间点点3(3(零点定理零点定理 ) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( b. faf),),( () )ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零, ,即至少有一点即至少有一点x x)(ba x x ，使，使0)( x xf. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之

18、间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理 ) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C ，在开区间，在开区间( () )ba,内至少有一点内至少有一点x x，使得，使得cf x x)( )(ba x x . .).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当2.2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxx

19、pxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 1.1.3.3. 典型例题典型例题.1,2cos1,1)(的的连连续续性性讨讨论论 xxxxxf).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)(x xx xx xffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设()()().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求设6.6.4.4.5.5. 典型例题解答典型例题解答).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当1.1.解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则xxxxxxnn 1

20、)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 2.2.310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sin

21、tanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23为为待待定定系系数数其其中中可可设设babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故3.3.()() ().21212.lim2126543212nnnxnnxnnn提示，利用，求设4.4.解解()()()，知，由1221212212212212122nnnnnnnnnnn.12112221276655443322121265432122nnnnnnnxn故，. 0lim0lim0121lim121