求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

1、求数列前N项和的七种方法1.公式法等差数列前n项和：s"aian)=nand22特别的，当前n项的个数为奇数时，82k书=(2k+1)|_ak+1,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，Sn=na1ai1-qnq#1,8n=，特别要注意对公比的讨论。1-q其他公式：-n1-n211、Sn="k=n(n1)2、Sn="k=-n(n1)(2n1)=261o3、&="k3=n(n1)2k二2-1例1已知log3x=,求x+x+x+x+的刖n项和.log23例2设Sn=1+2+3+-+n,nCN,求f(n

2、)=-的最大值.(n32)&.12.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例3求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)xn，例4求数列,-2,3,11,5n，前n项的和.练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-13.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可一111例5求数列的前n项和：1+1,+4,+7,，,二+3n2,aaa例6求数列n(n+1)(2n+1)的前

3、n项和.解：设ak=k(k1)(2k1)=2k33k2knn32Sn=£k(k+1)(2k+1)=£(2k+3k+k)kWk=1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn=2£k3+3Zk2+£kk1k1k(分组)=2(1323-n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)=222(分组求和)2_n(n1)(n2)1.1.1,1、练习：求数歹U12，24,38，*,*（n+2n的前n项和。4.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求

4、和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f(n1)-f(n)(2)sin1cosncos(n1)-=tan(n1)-tann(3)(5)an(6)n(n1)(4)an二(2n)2(2n-1)(2n1)22n-12n1n(n-1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)an12(n1)-n1n(n1)2nn(n1)2nn-1nn2(n1)2WSn=1-(n1)2n111例7111求数列t一=,=,，的前n项和.12.2,3.n,n112n.2例8在数列an中，an=+，又bn=n1n1n1anan1n项的和.,求数列bn的前5.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，

5、和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例9求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.解：设Sn=cos1+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°cosn=-cos(180'-n)因此，在求数列的(找特殊性质项)Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos89°+cos91°)+cos90°

6、(合并求和）例 10解:数列an：ai=1,a2=3,a3=2,an|2=anan,求S2002.S2002a1a2.a3'''a2002a11,a23,a32,an书=an4一an可得殊性质项）a4-1,a5-3,a6-2,a7-1,a8-3,a6k1-1,a6k2a6k1,a6k2（合并求和）a9-2,a10-1,a11-3,-3,a6k:：；3-2,a6k4=-1,a6k3'a6k4'a6k5'a6k6S2002a12-2a6k5-3,a6k6-2二0（找特al.a2a3.一a2002(a1 a2 , a3 - a6). (a7a8,&qu

7、ot;a12),(a6k1a6k2.a6k6)'(a1993'a1994.''''a1998)'a1999-a2000'a2001'a2002=a1999'a2000'a2001'a2002=a6k1'a6k2'a6k3'a6k4例11在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求10g3a1+10g3a2十一,+10g3a10的值.6.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法

8、.例12求1+11+111+11工二1之和.n个11解：由于 111 1 = 9999V C ' *k个19 k个1(10k 一1)9（找通项及特征)1111111111n个11191Q1.(101-1)(102-1)(103-1)(10n一1)9999（分组求和）1123=-(1010109。110n)(111，1)9n个1=110(10n1)_n910-19=(10n1-10-9n)81例13已知数列an： an(n 1)(n 3)，求E （n +1）（an an由）的值.解:(n 1)(an-*) =8(n 1)1(n 1)(n 3)1(n 2)(n 4)（找通项及特征）11十(n2)(n4)(n3)(n4)(设制分组)4 (n4)18(n-3(裂项)% (n 1)(an -an i) = 4% (土)(分组、裂项求和)_133练习：求5,55,555,，的前n项和。解：日=9(10n-1)95595.5n.S=-9(10-1)+豆(10-1)+-9(10-1)+豆(10-1)=-5(10+102+10