高等数学：11-2 常数项级数的审敛法

1、1正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结 思考题思考题 作业作业constant term infinite series第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数21. 定义定义 1nnu正项级数正项级数 nsss212. 收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形:.nsssnn lim,)1(时时当当 n.1必发散必发散级数级数 nnu,)2(有上界有上界若若ns)(正常数正常数即即 nspositive term

2、series正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法0 nu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法3定理定理1(1(基本定理基本定理) )( ssn注注正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其其敛散性不变敛散性不变,对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其和也不变.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法4 例例 判定判定 的敛散性的敛散性. 1121nn解解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由定理由定理1 1

3、知知, ,故级数的部分和故级数的部分和可与另可与另一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,21n 1 该正项该正项级数收级数收敛敛.这个例启示我们这个例启示我们:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性,由于由于正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法53. 比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 2nnuuus 21且且 1nnv 设设nnvu 即部分和数列有界即部分和数列有界. 1nnunvvv 21正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,nnvu 若若则

4、则 1nnv收敛收敛 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散收敛收敛 0常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法6nns 则则)( nsn设设nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列 1nnv定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1nnu发散发散 1nnv发散发散发散发散推论推论1 1 1nnu若若(发散发散)收敛收敛)(Nnkuvnn 且且)(nnvku 1nnv则则收敛收敛(发散发散)证证,0nnvu 若若常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法7解解, 1 p设设级级数数则则 p, 1 p设设 pn1p

5、ppnns131211 nnppxxxx121dd1(1)(2)正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 11nn调和级数调和级数发散发散nnp11 nnpxx1d用用比较审敛法比较审敛法发散发散. . 11npnppxnnxn11,1 有有时时当当 nnpnx1d常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法例例 讨论讨论 级级数数 p pppn131211的收敛性的收敛性. )0( p811npdxx )11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns, 1 p设设 或或(2)将将p-级数加括号如下级数加括号如下: pppppppp151817161514131211248它的各项它的各项均不大于均不

6、大于下述下述正项正项级数的对应项级数的对应项 pppppppp81814141414121211正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法ns级级数数则则 p收敛收敛. . 11npn)1( p常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法9 1118141211ppp 312112121211ppp 这是收敛的等比级数这是收敛的等比级数,. 1211 pq故由比较判别法知故由比较判别法知 p1时时, p-级数级数 11npn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法公比公比常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法收敛收敛.10(1) 几何级数几何级数使用使用正项

7、正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时,常用的比较级数常用的比较级数正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2) p-级数级数(3) 调和级数调和级数 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1pp 11npn nnn13121111发散发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法11;1收敛收敛则则 nnu), 2 , 1(1 nnun如如果果推论推论2 2,1 nnu若若, 1 p如如果果有有)., 2 , 1(1 nnupn使使.1发散发散则则 nnu定理定理

8、2 2,0nnvu 若若则则 1nnv收敛收敛 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法12例例 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性.nnn3sin2)1(1 13)1(1)2(nnnxxxnnd1)3(1102 解解 (1) nnnu3sin20 而等比级数而等比级数 收敛收敛.nn 132 所以所以, 原级数收敛原级数收敛.n 32 nn32 由由比较审敛法比较审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法13解解 因为因为3)1(1 nnun 3211 n而而

9、 132)1(1nn是发散的是发散的p-级数级数.所以所以, 原级数原级数 nn321正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 13)1(1)2(nnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp,11 npn发散发散.2由由比较审敛法比较审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法14解解 因为因为xxnd10 1231nn又又123 p所以所以, 原级数原级数xxxunnd1102 23132n xxxnnd1)3(1102 0收敛收敛.p-级数级数, 收敛收敛.由由比较审敛法比较审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法15,11都都是是正正项项

10、级级数数与与设设 nnnnvu如果如果,limlvunnn 则则,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,)3(时时当当 l4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 3,1收敛收敛若若 nnv;1收敛收敛则则 nnu,1发散发散若若 nnv.1发散发散则则 nnu正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法16比较判别法的实质是比较判别法的实质是时时当当,0, 0nnvu.通通项项无无穷穷小小比比阶阶 11,)1(nnnnnnvuvu和和两两个个级级数数是是同同阶阶无无穷穷小小若若;敛敛散散性性相相同同

11、,)2(的高阶无穷小的高阶无穷小是是若若nnvu,1收收敛敛时时则则级级数数 nnv;1必必收收敛敛级级数数 nnu,)3(的低阶无穷小的低阶无穷小是是若若nnvu,1发发散散时时则则级级数数 nnv.1必必发发散散级级数数 nnu正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法17证证lvunnn lim)1(由由02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,0)1(时时当当 l两两级级数数有有相相同同的的敛敛散散性性,limlv

12、unnn 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法18注注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母当分母,分子关于分子关于n的最高次数分别为的最高次数分别为, qp和和,1时时当当 qp级数级数 1nnu)0( nu收敛收敛;,1时时当当 qp级数级数 1nnu发散发散.例如例如 127223132nnnnn收敛收敛.)23227( qp因为因为1 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法19例如例如 12tan3nnn 发散发散., n因为因为3lim3 tanlim22nnnnn 从而从而 123nn发散发散.正项级数及其审敛法

13、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法1tan,22nn20解解)1(nnn 31limnn1sinlim 1 )2(nnn311lim 1 ,311收敛收敛 nn收敛收敛发散发散n31正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 11sin)1(nn 131)2(nnn比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式, ,n1常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法21.cos1)1(1的敛散性的敛散性判定级数判定级数 nn 解解nn cos1lim 而级数而级数2121 nn 122121nn 收敛收敛故级数故级数 1cos1nn 1 2cos12

14、xx 0 x正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法收敛收敛.级数级数的的 pp2常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法2 n 222.ln)2(12的敛散性的敛散性判定级数判定级数 nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 而级数而级数收敛收敛, 1231nn.ln12收敛收敛故故 nnn正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,limlvunnn ,0时时当当 l,1收敛收敛若若 nnv收敛收敛则则 1nnu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法23证证, 0 对对,N ,时时当当Nn nnuu1有有定理定理4 4达朗贝尔达朗贝尔,17171783, 法国数学家、力学家、哲学家法国数

15、学家、力学家、哲学家,1 nnu设设 nnnuu1lim,1时时 )(1Nnuunn 即即(1)正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法5.5.比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) AlembertD,收敛收敛发散发散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法241 ,1NNruu 23 NNruu,.,1 nnu 收敛收敛级数级数因此因此也收敛也收敛. 由由(1)式的式的,3Nur 12 NNruu,2Nur 321NNNuuu级数级数左边相加左边相加,的各项的各项小于右边相加收敛的等比级数小于右边相加收敛的等比级

16、数)1( r公公比比 NNNururru32的对应项的对应项,所以所以 321NNNuuu由性质由性质3,得得)(1Nnuunn (1)正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 r使使右边右边,常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法25,1时时当当 , 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu nnu lim发散发散 由由(1)式的式的发散发散级数级数 11nn收敛收敛级数级数 121nn如如,1时时当当 比值审敛法失效比值审敛法失效.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法)(1Nnuunn (1)左边左边,0 nnnuu1lim1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法262. 若用比

17、值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散注注3. 一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点.nnnuu1lim 或或 不存在时不存在时,正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法4. 条件是充分的条件是充分的,1. 适用于适用于中中nunn 或关于或关于含有含有 !的若干连乘积的若干连乘积(或商或商)但非必要但非必要.,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim1 nnnuu形式形式.,)1(时时 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法27nn2)1(2 12)1(2nnn级数级数 nnuu1但但 nna

18、2lim 12limnnannnnnauu limlim1 12)1(2nnn如：级数如：级数n23 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法收敛收敛 )1(2(2)1(21nnna6123不存在不存在,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim1 nnnuu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法28解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. . 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法例例 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nn

19、nn 由级数本身就能断定敛散性由级数本身就能断定敛散性.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法29nnnuu1lim 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, )12(21lim nnn收敛收敛级数级数 121nn收敛收敛故级数故级数 1)12(21nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比较极限审敛法改用比较极限审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 12)12(1)2(nnn,limlvunnn ,0时时当当 l两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法30例例 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.)0(1 xnxnn解解nnnu

20、u1lim 当当0 x1时时,当当 x=1时时, xnnn1lim nxnxnnn1lim1 发散发散;发散发散.x 级数是调和级数级数是调和级数,正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法收敛收敛;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法31例例 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.3cos221 nnnn 解解13cos02 n因为因为所以所以3cos202 nnn 又因为又因为nnnnn221lim1 所以所以, 12nnn收敛收敛,再由再由比较判别法比较判别法知知,原级数也收敛原级数也收敛.2121lim nnn1 nn2 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法), 2 , 1( n常数项级数的审

21、敛法常数项级数的审敛法32例例 利用级数收敛性利用级数收敛性,证明证明. 0) !(lim2 nnnn证证 考查级数考查级数,) !(12 nnnn由于由于nnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 故级数故级数 收敛收敛. 12) !(nnnn由由级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件知知,. 0) !(lim2 nnnn正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法33 nnuu1)(0 n.收收敛敛故故级级数数例例 证明级数证明级数 )1(32113211211111n并估计以级数的部分和并估计以级数的部分和

22、sn近似代替和近似代替和s解解以级数的部分和以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法是收敛的是收敛的,所产生的误差所产生的误差.nnn1)!1(1!1 nr所产生的误差为所产生的误差为: nss 21nnuu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法34 21nnnnuussr 2111!1nnn )!2(1)!1(1!1nnn )2)(1(1111!1nnnn)!1)(1(1111!1 nnnn正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 )1(32113211211111n常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法35判断级数判断级数设设, 0 a 112102)1()1(

23、)1)(1)(1(nnnnaaaaa敛散性敛散性.解解 nnnuu1lim 10 a01 a211 aa故当故当,10时时 a发散发散.收敛收敛;,1时时 a nnnaa1lim1常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法36,1 ,1 nnn设级数设级数如如n1 )(0 n级数收敛级数收敛.定理定理5 5柯西柯西(Cauchy) (法法)17891857适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法6. 根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法),1 nnu设设收敛收敛发散发散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimnnn

24、1n nun常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法37注注 1. 根值法条件是充分的根值法条件是充分的,但非必要但非必要.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim nnun 2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与凡涉及证明的命题一般不可用比值法与 而只能用比较法而只能用比较法.,11nnnnbbaa 设设)0, 0, 2 , 1( nnban 11;,)1(:nnnnab收敛收敛则则收敛收敛若若证明证明 11.,)2(nnnnba发散发散则则发散发散若若根值法根值法,常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法38例例 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.ann

25、nn 112解解 因为因为annn 12lima 21所以所以, 当当a0时时,a 21级数级数收敛收敛;当当a0时时,a 21级数级数发散发散;当当a=0时时,根值法根值法失效失效, 但此时级数为但此时级数为, 11 n是是发散的发散的.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法nnu limnannnn 12limn, 1 , 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法39例例 证明证明:级数级数 发散发散. 1!nnnnne证证 nnuu1nnne 1nne 11因因, e 故故. 11 nnuu从而从而.1nnuu . 0lim nnu由级数收敛的必要条件由级数收敛的必要条件,正项级数及其审敛

26、法正项级数及其审敛法知级数知级数发散发散.!)1()!1(11nennnennnn nn 11常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法40这里用比值法判断级数的收敛性时这里用比值法判断级数的收敛性时,nnuu1 虽然如此虽然如此,也还能利用比值也还能利用比值,正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法求出比值的极限为求出比值的极限为1,比值审敛法失效比值审敛法失效.从而得到一般项不收敛于零从而得到一般项不收敛于零.因为因为恒大于恒大于1,常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法41判定判定 的敛散性的敛散性. 1ln72nnn解解根值审敛法根值审敛法)(12 n其中其中. 0lnlim nnn级数发散级数发

27、散.注注正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法nnln72 nnnuln72nn1lim nnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法42正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为nnnu 11)1()0( nu其中其中莱布尼茨莱布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716:如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn则则.|1 nnur,1us 且且和和的绝对值的绝对值其余项其余项nr定义定义 )1(1nnnu 或或,级级数数收收敛敛alternate series交错级数交错级数. .定理定理6 6( (莱布尼茨

28、定理莱布尼茨定理) )常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法43证证nnnnuuuuuus212223212)()( 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是是单单调调增增加加的的数数列列ns.2是有界的是有界的数列数列ns由条件由条件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法4412lim nnss , s级级数数收收敛敛于于和和nr余项余

29、项 21nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件, nr定理证毕定理证毕.也是一个交错级数也是一个交错级数.)(lim122 nnnus交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法0lim12 nnu由条件由条件(2):12212 nnnuss0lim)2( nnussnn 12lim证证.1us 且且)(21 nnuu1 nu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法45注注un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种: (1)比值法比值法, nnuu1 ?1 nnuu?(3) 由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数), 2 , 1(),( nnfun使使考察考察? (2)差值法差值

30、法, 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法nnnu 11)1()0( nu用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时是否收敛时,要考察要考察un与与un+1大小大小, 比较比较),(xf)(xf 1 0 0 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法46解解)1( xx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx1 nnuu1limlim nnunnn又又0 原级数原级数收敛收敛.此级数为此级数为2)1(2)1( xxx交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法例例 判别级数判别级数 21)1(nnnn的收敛性的收敛性.交错级数交错级数.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法47注

31、注不满足也不满足也条件条件(2) )0lim( nnu条件条件(1) )3 , 2 , 1(1 nuunn 莱布尼茨定理条件中莱布尼茨定理条件中1 nnuu就是说就是说, 某些交错级数即使条件某些交错级数即使条件(1)( )1 nnuu交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法只是只是充分充分条件条件.是是收敛的必要条件收敛的必要条件.不是必要条件不是必要条件.仍有可能是收敛的仍有可能是收敛的., 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn莱布尼茨定理莱布尼茨定理则级数则级数收敛收敛.如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:如如 2)1()1(nnnn)3 , 2(1

32、nuunn不满足莱布尼茨定理的条件不满足莱布尼茨定理的条件:但级数但级数收敛收敛.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法48例例 2)1()1(nnnn但条件但条件(1)故故 级数级数判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解 nnulim交错级数交错级数 可知莱布尼茨定理的条件可知莱布尼茨定理的条件(2)满足满足,不满足不满足, 故用莱氏定理是无法判别的故用莱氏定理是无法判别的,但是因为但是因为nnnnu)1()1( 发散发散.1)1( nnn 2n收敛收敛,11 n 2n发散发散 nnn)1(1lim01)1()1( nnnn1)1( nnn11 nnnnn)1()1( 常数项级数的审敛法常数项

33、级数的审敛法49任意项级数任意项级数任意项级数任意项级数正项级数正项级数思想是思想是:定义定义2,|1收敛收敛若若 nnu为为则称则称 1nnu为为则称则称 1nnu,|1发散发散若若 nnu,1收敛收敛若若 nnu定义定义1,1 nnunu可正可正, ,可负可负, ,可可0.0.绝对收敛绝对收敛. .条件收敛条件收敛. .常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛50证证), 2 , 1(|)|(21 nuuvnnn, 0 nv|,|nnuv 且且收敛收敛 1nnv 1nnu又又 绝对收敛绝对收敛与与收敛收敛设设级数级数|nnnuuu |,|2|0nnn

34、uuu |2|nnnuuu 正正,1绝绝对对收收敛敛若若级级数数 nnu定理定理7 7.1必必定定收收敛敛则则级级数数 nnu), |2(1 nnnuv绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛|1 nnu收敛收敛.,|1收敛收敛若若 nnu为为则称则称 1nnu绝对收敛绝对收敛. .收敛收敛 1nnu显然显然, 0 比较极限审敛法比较极限审敛法 由性质由性质1, 2有以下重要关系有以下重要关系nv常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法51解解收敛收敛而而 121nn 12sinnnn故原级数故原级数绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛例例 12sinnnn判别级数判别级数的敛散性的敛散性.任意项级数

35、任意项级数21n 收敛收敛绝对收敛绝对收敛.2sinnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法52例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原级数所以原级数 121nn收敛收敛.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛绝对收敛.是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.是等比级数是等比级数,判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明对收敛级数要指明nnnn21)1(2)1(1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法53解解因为因为又又!)!1()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正项级数的比值判别法

36、知由正项级数的比值判别法知, 1!nnnn从而级数从而级数(2)由于使用的是由于使用的是比值判别法比值判别法而判定的级数而判定的级数(2)因此因此nnnuu1lim 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 1!)()2(nnnn 1!nnnn1 级数级数发散发散,不绝对收敛不绝对收敛.不绝对收敛不绝对收敛,发散发散.级数级数(2)是是断定断定!)(1nnnn 正项级数正项级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法54绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零)

37、,对交错级数对交错级数,利用无穷级数的性质利用无穷级数的性质1、2 将级数将级数如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法55绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛例例)cos1()1(1nnn 则级数则级数, 0 为常数且为常数且设设条条件件收收敛敛.B发发散散.A

38、有有关关收收敛敛性性与与 .D)(C解解)cos1()1(1nnn 122sin2nn nn2sinlim2 由于由于22 n 1 122)2(nn 而而收敛收敛.正项级数正项级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法.C 绝对收敛56绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛例例21)1(nnknn 则级数则级数, 0 k设常数设常数条条件件收收敛敛.C发发散散.A的的取取值值有有关关收收敛敛或或发发散散与与kD.)(解解21)1(nnknn 21)1(nknnnnn1)1(1 绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛C常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法.B 绝对收敛57 1990年研究生考题年研究生考题

39、,选择选择,3分分).)( ,1sin12为常数为常数级数级数annnan 绝绝对对收收敛敛.A条条件件收收敛敛.C发发散散.B的的取取值值有有关关收收敛敛性性与与aD.B解解221sinnnna 收敛收敛且且 121nn收敛，收敛， 12sinnnna发散，发散，而而 11nn因而因而 121sinnnnna由性质，由性质，绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛发散发散.例例常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法58 1996年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分则则收敛收敛设级数设级数,)0( ,1 nnnaa).(2, 0,tan)1(21 nnnann级数级数绝绝对对收收敛敛.A条条件件收收敛敛.B发散发散.C有有关关敛敛散散性性与与 .D解解因为因为nnn tanlim nnn tanlim A绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法59所以所以 nnann2tan)1( na22 因为因为), 2 , 1(02 n