线性代数课件：2-1 行列式定义

1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant ) 2.1 行列式的定义行列式的定义 2.2 行列式的性质行列式的性质 2.3 行列式的应用行列式的应用2.1 行列式的定义行列式的定义 一、二阶、三阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式的定义 二、二、代数余子式与代数余子式与 阶行列式的定义阶行列式的定义n一、一阶、二阶、三阶行列式的定义二阶行列式：二阶行列式：2112221122211211aaaaaaaa 3363312 如，如，一阶行列式：一阶行列式：1111aa 3355 ，行列式行列式如，如，11a12a22a21a主主对角线对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二二

2、阶阶行列式的计算行列式的计算例例1 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 得得两式相减消去两式相减消去,2x)2()1(.,22221211212111bxaxabxaxa;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.21122211211211

3、2aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式,2221211ababD .2211112babaD 二二元元线性方程组的解线性方程组的解为为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 则则当当系数行列式系数行列式时，时，0 D .2975,10462121xxxx求解二元线性方程组求解二元线

4、性方程组解解7546 D)20(42 , 062 7294101 D,186 2951062 D,124 DDx11 , 362186 DDx22 . 262124 三阶行列式：三阶行列式：312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按按对角线法则，有对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 14 定义定义 (1)在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的所在的第

5、第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列阶行列式叫做元素式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1 )2(叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM

6、1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别A1111aa 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaDdet AAaaa11()a A定义定义2.12.1 (1) (1)一阶矩阵一阶矩阵 的行列式定义为的行列式定义为(2) (2) 阶矩阵阶矩阵(2)n n A A的行列式记作的行列式记作二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnAaAaAa11

7、12121111 1122,1,2,iiiiininDa Aa Aa A in1122,1,2,jjjjnjnja Aa Aa Ajn 它的任一行它的任一行( (列列) )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和的各元素与其对应的代数余子式乘积之和. .定理定理2.12.1 阶矩阵阶矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa Ddet AA(2)n n 的行列式的行列式 可表示为可表示为即即(2.7)(2.8)其中其中 为第为第 行各元素的代数余子式行各元素的代数余子式. .从而从而（2.72.7）式也称为行列式按第）式也称为行列式按第 行展开行展开. .12,iiinA A,A

8、ii12,jjnjAA,A 为第为第 列各元素的代数余子式列各元素的代数余子式. .（2.82.8）式）式称为行列式按第称为行列式按第 列展开列展开. .jj定理定理2.12.1又称为行列式按行、按列展开定理又称为行列式按行、按列展开定理2347200013121004D3473120042 343142 )15(42 例例4例例5 已知四阶行列式已知四阶行列式D第三列元素依次为第三列元素依次为1,2,0,-1，对应的余子式分别为对应的余子式分别为3,-2,4,5，求，求D的值的值.解：解： 5)1()1(4)1(0)2()1(23)1(143332313 D12 例6 计算nnnnnaaaaaaD21222111O 解: nnnnnaaaaaaaD3233322211O nnnnaaaaaaaa434443332211O nnaaa2211 nnnnnaaaaaaD022211211 nnaaa2211 同理有同理有n21 n21 特别地特别地例7 计算斜下斜下三角行列式行列式*012aaaDnn *0)1(1211aaaaDnnnn 1