高等数学在中学数学教学中的渗透

1、高等数学在中学数学教学中的渗透摘要:深刻领会高等数学知识是基础,高等数学居高临下是关键。文章以实例论证高等数学指导中学数学教学的意识形成的必要性及在中学数学教学中高等数学观的指导作用。教书十年,从初中到高中教材熟悉,满腹经轮,既有成功的喜悦,又有耕耘的苦辣。现在回想起来每每一个进步,无不是高等数学知识在发挥作用。偶陷困境,帮我解围,使我临阵不乱,最终在学生的惊叹声中以最妙的方法解决问题。适逢随李三平教授学习从高等数学看中学数学,高等数学的原理、思想、观点、方法对中学数学指导作用比比皆是,感触颇深.那么作为中学数学老师最关注的是怎样才使高等数学与中学数学相结合。第一,深刻领会高等数学知识是基础高

2、等数学有许多分支,不同分支体现的知识和方法,对中学数学指导的侧重点略有不同,熟练掌握高等数学的各个分支的知识,在处理中学数学教材时,才可取得得心应手之高效。(1)数学分析的辩证观点对加深理解中学数学问题有指导作用.数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法极限法.运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化。所以,从方法论的角度来讲,数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用。例如:设有三次函数y=x3+px+q (p、qR),用微分方法求函数极值。由此方法探寻出该问题的一个初等解法。这从思想、方法上更有指导性的是数

3、学分析中的辩证观点,运用这样的方法,将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。(2)高等几何对解决中学有关几何命题提供一种新的模式。高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何,它是先给出定义、定理而后直观解释和证明,中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理。前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同,对同一问题得出的结论相同。全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别,从本质上认识,从整体上把握,又从局部上深入,才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系。就内容而言,高等几何比中学几何丰富,而且分析问题、处理问题的观

4、点新颖,方法独特。如对偶原则,在研究点几何的同时,也研究了线几何的内容,对二次曲线的定义,既有几何定义,又有代数定义,开拓了认识眼界。从方法论来看,高等几何对具体问题处理的方法独特,而且灵活,对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式,也为中学几何的有关问题提供了知识背景。(3)高等代数的部分内容已纳入中学课程。近几年来,代数在深度、广度、应用等方面都有巨大的发展,产生了拓朴群、算子环、同调代数。大学的近世代数中的欧氏环,是中学数学“因式分解”的理论基础。如果不用高代知识指导,因式分解中的一些问题看似明白,但却难以表述清楚。例如:因式分解进行到什么程度才能结束,形式是否唯一,是否所有的多项式都

5、能分解因式等等。新教材高中数学把线性规划作为必修内容,伽罗华群理论解决代数方程的可解性。(4)集合论的观点和方法在中学数学教材中的渗透是一种必然趋势。集合论是整个数学的基础,它不仅是数学的基本语言,而且树立了现代数学的传统。它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法,对分析和理解中学数学具有指导意义。映射是集合论的有力研究工具,也是数学中十分重要的化归方法,利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去,从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化。映射方法的基本思想是:当处理某问题甲有困难时,可联想适当的映射,把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题甲

6、*及关系结构R*;在新的关系结构R*中对问题甲处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果。这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现。如此等等,高等数学知识怎样和初等数学相结合?如何指导中学数学教学?怎样沟通现代数学与中学数学之间的内在联系?第二,高等数学居高临下是关键作为一名优秀的中学数学教师,应该学习更多的数学,这样在教学中才能达到给学生一杯水,自己有一桶水,显得胸有成竹,游刃有余、得心应手,同时提高了自己的数学修养,接触和了解现代高等数学的思想、观点和方法,使自己的知识更加现代化,那么最关键的是用新知识和新理念去理解中学数学的有关内容,使高等数学有的放矢地指导中学

7、数学教学实践,真正体现居高临下的指导作用。(1)中学数学教学以学生的发展为根本。过去数学教学往往是教师把课本的内容略加删减,传授给学生,学生模仿练习,再做习题。使学生觉得数学枯燥、神秘,数学是书上写的,老师讲的,使数学学习失去了应有的魅力,知道数学重要但学不进去。随着时代的发展,人们的认识不断的提高,新的教学理念逐渐形成,数学教育是以人的发展为根本出发点,树立正确的学习观念,注重学生的可持续发展原则,着眼于提高国民素质的教育。德才兼备,具有创新能力的新型人才的需求,中学数学教与学的过程是学生主动建构知识的过程,倡导学习过程的探索性,让学生在再创造过程中学习,从而培养学生创新思维能力。没有中学数

8、学的基础,高校培养高等的数学研究型人才成为“空中楼阁”、“海市蜃楼”。因此,高等数学新思想指导中学数学教学以人的发展为基本出发点。(2)中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合。现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力。高等数学教材中的以“动”求“静”观点、“合”与“分”的观点、“变量”与“常量”的观点、“整体”和“局部”化观点也是解决中学数学问题很有用的方法观点。以“动”求“静”的观点。极限体现了这样一个哲理:“稳定不变的事物是过程、运动的结果”。中学数学中遇到的问题一般都与定值与定形等有关,即“静”的问题,按照上述观点,便可将其看作某种“动

9、”的结果,从而以“动”求“静”,实现问题的解决。例如:解不等式x2-x-6<0,利用换元方法设-y2=x2-x-6,即x2+y2-x-6=0,可化( x-12)2+y2=254表示椭圆,这样“静”转化为“动”,满足不等式的解应为椭圆内部的变量x的范围(-2<x<3)。这个不等式很容易解,教学的过程也能渗透如此方法,对进一步开拓学生的思维,开发学生的智力,更显奇效。“合”与“分”的观点,数学变形计算常用的方法。在教学中的枚举法、叠加法、添项、拆项、割补法是合分观点的具体体现,解题中采用“化整为零”、“积零为整”这种“欲进则退”的策略。例如:求数列的和Sn=13×7&#

10、215;11+17×11×15+1(4n-1)×(4n+3)×(4n+7),常用此法化简为常规数列的求和问题,再求出最后的结果。“变量”与“函数”的观点,“变量”与“函数”是数学分析研究的对象灵活处理变量的方法,给中学数学教材以常量为主的教学提供了指导思想,甚至常量看做变量,而将字母的关系看作函数,这样会使一些问题变得更容易。例如:解x方程x3+2 5x2+5x- 5-1=0,如用常规思维按三次方解,相当困难,教学过程中引导学生把5看作“未知数”,那么就成为关于5的一元二次方程,易解之。这是高观给我们的启示,使学生的思维更敏捷。“局部化”的观点,数学分析中微分思想就在局部范围内,“以直代曲”使问题简单化。对中学数学解题的指导是把字母的允许范围化为若干部分,分别加以讨论。开拓了解题视野,为中学数学提供学习方法。其实在中学数学教中能用高等数学的方法去解中学数学问题的例子比比皆是,在教学过程中只要我们不断的渗透高等数学的思想和方法,这些方法和观点将成为学生探索数学奥秘的工具。遇到难度大的数学问题不再望而生畏,单项思维,而是灵活的完成各种转化,选择恰当方法技巧,得出完满的甚至奇妙的结果。人常言“功夫不负有心人”,这是我们坚持高等数学和中学数学相结合的必然产物,是居高临下的见证。综上所述,要使高等数学和中学数学相结合,既需打好基础,