概率与数列递推关系式.docx

1、概率与数列递推关系式1. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为Q和人一轮试验中

2、甲药的得分记为X.(1) 求X的分布列；(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，亿。=0,1,.,8)表示“甲药的累计得分为，时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则为=0,Px=l，Pi=iPi_i+bPj+cPi+i(i=l,2,.,7),其中o=P(X=-l)M=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,尸=0.8.证明：(Pw-P,(，=0,1,2,.7)为等比数列；(ii)求P”并根据P,的值解释这种试验方案的合理性.【详解】(1)由题意可知X所有可能的取值为：一1，0,1.p(X=-l)=(l-a)/?；F(X=0)=必+(1-功(1-”)；F(X=l)=a(l-0)则X

3、的分布列如卜.：X-101P(1-小初+(1-。)(1-”)。(1")(2).。=0.5,0=0.8P(X4=-9=(4G4)+4(c)S+(4(A)+%8)；4,故随机变量X4的分布列为X412p3858E(X4)=1x-1x-=V4782816易知bn=cn,因此,bnA=<?_!(«>2)而当n>2时，如=?(4_i+Gt)=?(%_i+如_i)，又T+bi+j因此如=?（1-瓯_+如_|）=一：如+：（心2）,-卜捉首项，公比为-!的等比数列.又=1-2如=1-21I371-13312)<2n-1故2020=|1V0192>8.一种抛硬

4、币游戏的规则是:8.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为彳,求S的分布列和数学期望E&；（2）求恰好得到分的概率.【详解】（1）所抛5次得分s的概率为P（&=7）=5,6,7,8,9,10）,其分布列如下56789101555_5,1P323216163232（2）令乙表示恰好得到分的概率，不出现分的唯情况是得到1分以后再掷出次反面.因为"不出现分''的概率是1-4,"恰好得到一1分''的概率是P“_,因为''掷一次出现反面''的概率

5、是:，所以有1-4=：，212即2121211于是一是以P-=-=为首项，以一二为公比的等比数列.3J32362所以，即乃42+（一丁.恰好得到分的概率是!2+（-：）1.s=0.5x0.8=0.4,。=0.5x().8+0.5x().2=0.5,c=().5x0.2=0.1.Pj=s_i+奶+cRh0=1,2,.7)即Pi=0.4p,_|+0.5p,+0.1p,+(i=l,2,7)整理可得：5崖=4pz+知(i=1,2,7).p.+1-Pi=4(R-Ph)(,=1,2,7).用一J（i=°，l，2,7）是以PlPo为首项，4为公比的等比数列(ii)由(i)知：亿=(p|-o)4&#

6、39;=p|4P8-P7=P1*，P7-P6=Pr4,P-Po=P|4°1 _1作和可得：/外一四）=四（4。+4|+4'）=二jPi=刀一Pi=1/.0aa2a31一444413H=P(4+4+4-Pi表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为凡=&a0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理.2. 设一个正三棱柱ABC-DEF,每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，

7、仍然在上底面的概率为I。，则6。为（）一2+一2+OBC1-3D.由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为2若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为 若上一步在下面，则第1步不在上面的概率是1-,(22).如果爬上来，其概率是：(1-%),(¥)，71I1两种事件乂是互斥的，.已=耳+脾-|)，即七尺七，二1(1I21<1.数列是以耳为公比的等比数列，而所以当=10时,比产孑母故选：D.3. 甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由

8、甲掷的概率为4,则4=13【答案y13【答案y232丫r3>【解析】甲掷到1点(乙掷到3点)的概率为:，6甲未掷到1点(乙未掷到3点)的概率为:,6设第#次由甲掷的概率为Pk，则乙掷的概率为1-P&第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率P?=*1552于是，第#+i次由甲掷的概率为二6663un52112(1)即Pz=g_3"，因为”2=g，Pk+i2=3Pk2j1112所以数列是以2一5=一§为首项，以一耳为公比的等比数列(，?22)所以Pi,适合=1"2313)13所以f故答案为:故答案为:131(2Y-218，23<3>某种质地均匀的正

9、四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为,数列%的前和为s“.记S"是3的倍数的概率为P().(1) 求P(l),P(2)；求P(n).解：(1)抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故P(l)=?,抛掷两次，一共有42=16个结果，出现1+2,2+1,0+0,3+3,0+3,3+0时，符合要求，故计6种情况，故(2)设S”被3除时余1的概率为月()，S,被3除时余2的概率为R()，则P(+1)=P(n)+:()+：4()，44(/i+l)=P(/i)+-(n)+-P,(/i),E(+1)=：P(

10、)+扑)+?",-(+)，得：P(+1)_£(+1)+g(+1)=-加()+P2(),化简，得4P(+l)=p()+l,.gT=#(T，又以1）=!，!为公比的等比数列."（）-；是以!为首项,6g+沁2019年7S1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最

11、大续航里程的平均值无（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布叩,3）,经计算第（1）问中样本标准差，的近似值为50.用样本平均数作为#的近似值，用样本标准差$作为b的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量S服从正态分布N（#,S）,则+5）.6827,P以一2b<+2cr）«0.9545,-3<t<r+3b）=0.9973.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛

12、掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.己知硬币出现正、反面的概率都是;，方格图上标有第。格、2第1格、第2格第50格.遥控车开始在第。格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从#到A+I）,若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k至IJA+2）,直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第格的概率为乙，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.解：1=0.002x50x205+0.004x50x255+0.009x50x305+0.004x

13、50x355+0.001x50x405=300（千米）.（2）由XN（300,502）.P（250<X,400）=0.9545-。*545；0.6827=08J86（3）遥控车开始在第0格为必然事件，比=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为;，即22遥控车移到第（2弱49）格的情况是卜.面两种，而且只有两种： 遥控车先到第n-2格，又掷出反面，其概率为;4_2. 遥控车先到第1格，又掷出正面，其概率为顼，侦-切产-!（土啜由49时，数列P,-Pn.是等比数列，首项为£*=?,公比为一!的等比数列.4-1=-！，昨=（-扒=（亨，侦=（4-知）+（%L）+（-）+

14、£）=（）n+（T）z+.-!+1=事1_（_&）*（=0,1,.,49）.I*3291获胜的概率4>=*1一（一5产,失败的概率乌=!%=!、令1（-!产=!1+（!产.%-=令I-（-!）牛*+（扣=ay产>o.获胜的概率大.此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.4. 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站，共101站，设棋子跳到第站的概率为4,一枚棋子开始在第。站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第10（）站（失败）时，游戏结束（骰子

15、是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6）.求坏，R，P?，并根据棋子跳到第站的情况，试用Eq和表示丹；（2）求证：4一4_出=1,2,.,】00）为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.【详解】（1）棋子开始在第。站是必然事件，所以4）=1.棋子跳到第|站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为、所以=上.22棋子跳到第2站，包括两种情形，第次掷骰子出现偶数点，其概率为;；前两次掷21113骰子出现奇数点，其概率为二,所以=-+-=-.2 _244棋子跳到第（2弱h99）站，包括两种情形，棋子先跳到第2站，乂掷骰子出现偶数点，其概率为!

16、Eq；棋子先跳到第-1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为!4一|.故4=!%2+捉，(2)由知,4=；4_2+：4_1,所以4-|-4_2).又因为"所以己-如(=1,2,100)是首项为-!，公比为-!的等比数列.(3)由(2)知，4_乙|=_112J122所以+(gR)+E)所以玩该游戏获胜的概率为:1所以玩该游戏获胜的概率为:112】oo7.如图，直角坐标系中，圆的方程为J+),2=,A(1,O),B,Cf_l卫、2，T+1r_n1(12j1k2)一1r299I+2(3<(ifI+I2)为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：每掷一次骰子,把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动的方向由掷骰子决定,若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为4(A),4(B)，R(C).例如：掷骰子一次时，棋子移动到A,C处的概率分别为6(A)=O,饰)=!，*)=!(1) 分