数学建模——水塔流量问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上实验十四水塔流量问题【实验目的】1了解有关数据处理的基本概念和原理。2初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。3学习掌握用MATLAB命令处理数据插值与拟合问题。【实验内容】某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水

2、泵停止工作。某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。表1水位测量启示录（/表示水泵启动）时刻（h）水位（cm）09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822时刻（h）水位（cm）9.98/10.92/10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892时刻（h）水位（cm）19.0486619.9684320.8482222.01/22.96/23.8810592

3、4.99103525.911018【实验准备】在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，

4、由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。1数据插值的基本方法拉格朗日插值若知道函数在互异的两个点和处的函数值和，而想估计该函数在另一点处的函数值，最自然的想法是作过点（，）和点（，）的直线，用作为准确值的近似值，如果得到的结果误差太大，还可增加一点的函数值，即已知在互异的三个点，和处的函数值，和，可以构造过这三点的二次曲线，用作为准确值的近似值。一般的，若已知在互异的1个点，处的函数值，则可以考虑构造一个过这1个点的次数不超过的多项式 （1）通过所有1个点，即满足，0，1，（2）然后用作为准确值的近似值。这样构造出来的多项式称为的次拉格朗日插值多项式或插值函数。分段插值多项式历来都被

5、认为是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收敛性，会随着节点数目增多而次数升高，一般不宜采用高次多项式（如7）插值，否则逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡（当节点数目不断增大时，在区间中部趋于，但对于区间两端的，并不趋于，也称龙格现象）。在插值范围较小，用低次插值往往就能奏效。最直观的办法就是将各数据点用折线连接起来，这种增加节点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理方法称作分段插值法，即不去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把区间划分为若干个小区间。如果 （3）那么分段线性插值公式为，0，1，（4）分段线性插值通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，其缺点是不

6、如拉格朗日插值多项式光滑。样条插值分段线性插值函数在节点的一阶导数一般不存在，且不光滑，这就导致了样条插值函数的提出。在机械制造、航海、航空工业中，经常需要解决下列问题：已知一些数据点（，），（，），（，），如何全部通过这些数据点作一条比较光滑的曲线呢？绘图员解决了这一问题，首先把数据描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定其形状，沿样条边绘出一条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完成上述工作，同时也应让连接点处保持光滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学模拟，就导出了样条函数的概念。如今已经成为了一个应用极为广泛的数学分支。现在数学上所说的样

7、条，实质上指分段多项式的光滑连接。设有区间，的一个划分如（3）式，称分段函数为次样条函数，若它有：（1）在每个小区间上的次数不超过多项式；（2）（3）在区间，上有1阶连续的导数；用样条函数作出的插值称为样条插值，工程上广泛采用三次样条插值。2曲线拟合的基本方法曲线拟合问题是指：已知平面上个点（，），0，1，互不相同，寻求函数，使在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令（5）其中是事先选定的一组函数，系数（0，1，, t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95

8、12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91; h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018; c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多项式拟合第1时段的水位 a1=polyder(c1);%对拟合的多项式求导数得到第1时段流量 tp1=0:0.1:9;%对第1时段的时刻进行划分 x1=abs(p

9、olyval(a1,tp1);%计算第1时段各时刻的流量类似地，可计算第2时段各时刻的流量。 c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3); a2=polyder(c2); tp2=11:0.1:20.8; x2=abs(polyval(a2,tp2);在第1供水时段（t911）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合水泵第1供水时段的流量。为使流量函数在t9和t11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下： xx1=abs(polyval(a1,8 9); xx2=abs(polyval(a2,11 12)

10、; xx12=xx1,xx2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);%拟合水泵供水时段的流量函数 tp12=9:0.1:11; x12=polyval(c12,tp12); %计算第1供水时段各时刻的流量在第2供水时段之前取t20，20.8两点的流水量，第3时段仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量： dt3=diff(t(22:24);%最后3个时刻的两两之差 dh3=diff(h(22:24);%最后3个水位的两两之差 dht3=-dh3./dt3;%用差分计算t（22）和t（23）的流量 t3=20 20.8 t(22) t(

11、23);%取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点 xx3=abs(polyval(a2,t3(1:2),dht3;取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点的流量 c3=polyfit(t3,xx3,3)%拟合出第2水泵供水时段的流量函数 tp3=20.8:0.1:24; x3=polyval(c3,tp3);%输出第2供水时段（外推到t24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析地算出，这里仍可用数值积分计算： y1=0.1*trapz(x1)%第1时段用水

12、量，0.1为积分步长y1 = 146.1815 y2=0.1*trapz(x2) %第2时段用水量y2 = 258.0441 y12=0.1*trapz(x12) %第1水泵供水时段用水量y12 = 50.3990 y3=0.1*trapz(x3) %第2水泵供水时段用水量y3 = 74.9138 y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01%总用水量为水位差乘以水塔截面积，0.01是因为流量单位为厘米y = 1.2592e+003【结果分析】计算出来的各时段用水量可以用测量记录来检验，y1可用第1时段水位测量下降高度为968822146来检验，类似地，y2用1082822260来检

13、验。供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时间长度得到水泵的功率（单位时间泵入水量），而两个供水时段的功率应大致相等。第1、2时段水泵的功率计算如下： p1=(y12+260)/2p1 = 155.1995 tp2=20.8:0.1:23; xp2=polyval(c3,tp2); p2=(0.1*trapz(x3)+260)/2.2p2 =152.2335可以看到，两次水泵泵水的功率差别不大。下面是水塔一天的流量曲线图：图14.1当取三次多项式拟合的流量曲线图由图14.1我们可以看到，流量曲线与原始记录基本上相吻合，但在第1时段和第1泵水时

14、段的交接处曲线不太光滑，这说明我们采用3次曲线通过4点的做法不够好，应该多取几点进行拟合。0点到10点很流量很低，10点到下午3点即中午时间段是用水高峰期。【练习与思考】1假定某天的气温变化见下表，试找出这一天的气温变化规律：时刻（h）0123456789101112温度（t）15141414141516182022232528时刻（h）131415161718192021222324温度（t）3132312927252422201817162在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度和压力下的导热系数。下面是实验得到的一组数据：（）68688787106106140140（103）9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.4630.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651试求99（）和10.3（103）下的导热系数。3