2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题数学(理)(解析版)

1、在a,b，满足xo 1=0”的（）第 1 1 页共 2020 页2020 届安徽省皖江联盟高三上学期12 月联考试题 数学（理）一、单选题1 1 复数 z z 满足1 -2iZ Z= =：4 4 3i（i为虚数单位），则复数 z z 的模等于（）A A -5B B. 、5C C 2 - 5D D 4 55 5【答案】B B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可 【详解】|1-2i|45故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题x_112 2 已知全集为R，集合A = 2,1,0,1,2,B = jx|亍，则A（CuB）的元素个数为（）A A 1 1B

2、B. 2 2C C 3 3D D 4 4【答案】C C【解析】 解分式不等式求得集合B，根据交集和补集的定义求得集合A CUB，进而得到元素个数 【详解】；B=X v 0 = x 2 v x仆 二Cu B = x2-或x兰讣Ix+2JAn CuB-2,1公，有3个元素故选：C【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题 第2 2页共 2020 页3 3已知函数f x在区间a,b上可导，则函数f x在区间a,b上有最小值”是 存第3 3页共 2020 页A A 充分不必要条件B B.必要不充分条件 C C.充要条件 必要条件【答案】A A【解析】由

3、开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0 0,充分性成立；利用3f x i=x可验证出必要性不成立，由此得到结论【详解】:a,b为开区间 最小值点一定是极小值点极小值点处的导数值为 0 0-充分性成立3当f X =X，X。=0时，X。=0，结合幕函数图象知f x无最小值，必要性不 成立函数f X在区间a,b上有最小值”是存在X0 a,b，满足冷=0”的充分 不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为 0 0，但导数值为 0 0 的点未必是极值点 4 4. 20112011 年国际数学协会正式宣布，将每年的

4、3 3 月 1414 日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元 263263 年，中国数学家刘徽用 割圆术”计算圆周率，计3927算到圆内接 30723072 边形的面积，得到的圆周率是. .公元 480480 年左右，南北朝时期的1250数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7 7 位的结果，给出不足近似值 3.14159263.1415926 和过35522剩近似值 3.14159273.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率 。大约在公元 5305301137周率的近似值中，最接近真实值的是（）3927355A A.B.B.- -1250113【答案】B B【解

5、析】 依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项【详解】D D .既不充分也不年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为.9.8684(:3.14140096). .在这 4 4 个圆D D.9.8684第4 4页共 2020 页3927355223.1416,3.141592,3.1428579.8684=3.14140096 12501137 由圆周率的值可知，最接近真实值的为113故选：B【点睛】本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题25 5 .已知函数y = f x x是奇函数，且f 1=1，则f -1 =()A A.-3B B.-1C C. 0

6、 0D D.2【答案】A A【解析】由奇函数定义可得f -X X2- - f x -x2，代入x = 1可求得结果【详解】2 2 2y = f x x为奇函数.f -x x = - f x?-xf -1 1f 1 -1一2f -1 i=-3故选：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，关键是能够准确得到函数所满足的关系式，属于基础题 6 6 .已知数列3n的通项为an=丄，对任意N*，都有an -，则正数k的取n k值范围是()A A.k乞5B B.k 5C C.4 k= ：5D D .5 k 6【答案】D Dk +1【解析】将an整理为1，结合反比例函数单调性和恒成立的an-可得到

7、不等n k式组，解不等式组求得结果 【详解】n +1 n -k +k +1,丄k +1an =- =-=1十-nn-kn-kn-k,5-k0,k为正数且an-as恒成立，解得：5 k 616 kA0第5 5页共 2020 页故选：D第6 6页共 2020 页【点睛】本题考查利用数列中的最小项求解参数范围问题，函数单调性来求解的问题，进而得到关于所求参数的不等式9504095040,则判断框中应填（【答案】B B【解析】 运行程序，根据输出结果可判断出输出时=7，由此可确定判断框条件【详解】按照程序框图运行程序，输入i =12,sum = 1 = 95040则sum = 1 12=12=9504

8、0,i =12-1 =11，循环sum = 12 11=132=95040,i=11-1=10，循环sum = 132 10 = 1320 = 95040,i =10-1 =9，循环sum = 1320 9 =11880 = 95040,i=9-1=8，循环sum=11880 8 =95040,i=8-1=7，输出sumi =8满足判断条件，i=7不满足判断条件判断框中应填i一8?故选：B【点睛】本题考查根据程序框图循环结构的输出结果补全框图的问题,结果是，变量具体的取值，由此确定需补充的条件 关键是能够将问题转化为结合反比例A A 8?B B.i _8?C C 7?关键是能够准确确定输出7

9、7 如图所示的程序输出的结果为8 8 .函数f x = cos2x 2sinx在丨-二，二1上的图象是（）第7 7页共 2020 页【答案】A A【解析】 利用f0和f0可排除错误选项得到结果V)I 2 丿【详解】fcosi TH打2sin1 - 2 = -3：0，可排除D. .2 . 2故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题通常采用排除法，排除依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性 9 9矩形ABCD中，AB=4,BC =3，沿AC将ABCD矩形折起，使面BAC_面 DACDAC ,则四面体A- -BCD的外接球的体积为()125125125125A A .B B.C C.D

10、D .69123【答案】A A【解析】 因为四面体A - BCD的外接球的球心到各顶点的距离相等，设AC与BD的 交点为O点，在矩形ABCD中，可得OA = OB = OC = OD，当沿AC翻折后，上述 等量关系不会发生改变，故得到球心，进而解得半径和体积。【详解】解：设AC与BD的交点为O点，在矩形ABCD中，可得OA =OB =OC =OD,当沿AC翻折后，上述等量关系不会发生改变，因为四面体A-BCD的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点O即为球心，在Rt ABC中，ACAC = = ABAB2+ + BCBC2= = 5 5，5故R = OA = OB = OC = OD =,2=

11、COSH；2s in2一1 *2=10,可排除B,C第8 8页共 2020 页4125ir所以球的体积为v =4二R二,36故选 A.A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，解决问题的关键是要能准确找出球的球心与半径，属于中档题。191010 .已知正数a,b满足a b10,则a b的最小值是（）a bA A . 2 2B B. 3 3C C. 4 4D D . 5 5【答案】A Afl 9）【解析】 令a b二x，用x表示出a b，结合基本不等式可求得la b 丿x2-10 x 10，结合a,b为正数，即x 0可解出不等式的解，进而得到最小值 【详解】19设a b =x，贝U10 -xa

12、bx 10-x = a b 190臾b_10 2,9a b=16（当且仅当la b丿b aV b a9a b，即b = 3a时取等号）b ax2-10 x 16乞0且x 0，解得：2X8，即2ab 8-a b的最小值为2故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够通过整体构造的方式求得a b整体满足的不等关系，进而通过解不等式求得取值范围11111.点P x,y是曲线C:y x 0上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、xy轴分别交于A,B两点，点O是坐标原点，I PA = PB；也OAB的面积为定值；曲线C上存在两点M,N使得OMN是等边三角形；曲线C上存在两点M,N使

13、得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（）第9 9页共 2020 页【答案】D D求得S.AOB二2，从而可知正确;在比值等于、2和上2的时刻，从而知 正确. .2【详解】122a 2，正确;2a过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线的交点为M , N.OMN为等边三角形，正确;当直线OM的倾斜角从90减少到45：的过程中，的值从变化到 0 0ONON在此变化过程中必然存在OM的值为,2和一2的时刻，此时OMN为等腰直角三角ONON2形，正确. .B B. 2 2【解析】设点Pa,1a 0,得到切线方程后求得A, B坐标，进过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线交于M ,N，

14、由对称性可知 正确;过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于M,N，由OMONON的值的变化过程，可知存a 0，由二厶 得切线方程:x1y- aA 2a,0，B 0,-V. a丿P a,丄aAB中点，” I PA PB，正确;1SJAOB=2OA OB由对称性可0M = ON，又N MON =60过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于点M , N第1010页共 2020 页-真命题的个数为4个故选：D【点睛】 本题考查直线与曲线相切、相交相关命题的判断，涉及到定值、等量关系、存在性问题的判断；判断本题中的存在性问题的关键是在确定射线倾斜角的夹角的前提下，寻找符合题意的点的位置 时-444-j

15、 44斗呻1212 .若平面向量a,b,C满足=3，b =2，c=1，且（a + b）c = a，b + 1，则ab的最大值为（）A A.3.2 1B B.3、2 1c c.2.3-1D D.2.3 1【答案】D D【解析】利用数量积的定义通过已知等式得到a b a b，利用平方运算可求得a b的范围；利用a艮戸2可将 I I 表示为与a b有关的形式，进而可求 得最值. .【详解】由（a+b）c=a b+1得：ab+1=（a+b）”cwa+bc=甘+勺故选：D【点睛】运算转化为数量积运算的形式，结合平面向量数量积运算的相关知识来进行求解二、填空题1313.若锐角 a a，卩满足cos。=4,

16、cos（a + P ） =3,则sin P = 55【答案】252爲2.2：二 13 2；.ab212当ab=-2、/3时,|= J13+4V3 =max=2 3 1本题考查平面求解此类模长问题通常采用平方运算，将模长a -b取得最大值21第1111页共 2020 页4334【解析】因 cos ,cos，故 sin ,sin（、：.）=5555填答案 25。1414 .黎曼函数(RiemannfunctionRiemannfunction )是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出,黎曼函数定义在0,11上，其定义为:0,当 X =0,1 或者 0,1 上的无理数f x是定义在R上的奇函数，

17、且f X f 2-X=0，当x 10,1 时,f 2和f的值，代入求得结果. .【详解】由f x f 2-x =0知：f x关于1,0对称又f x为奇函数，图象关于原点对称f x为周期函数，周期T= 4【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用问题，涉及到新定义运算的求解；关 键是能够通过熟练掌握周期性与对称性的关系，即两个相邻的对称轴(对称中心)之间 距离为半个周期 10一310-23102丄丄丄310310730故答案为:73016sin：=sin（ * 亠）一-=sin（二亠 W）cos ： -cos（隈亠 ）9-，应252525R （x ）= pi,当 x=qpp,q 都是正

18、整数，q是不可以再约分的真分数P，若函数f xi；= R x，则10f A10【答案】30【解析】由已知得到f x关于1,0对称，结合奇函数性质可确定f x为周期是4的周期函数，进而将所求式子化简为-f2匕丿3f兀；由黎曼函数的解析式可确定第1212页共 2020 页1515 .如图，正方体ABCD -ABiCiDi的一个截面经过顶点A,C及棱AB!上点K,其将正方体分成体积比为2：i的两部分，则KS的值为_ ,KB【答案】2【解析】作出平面ACK截正方体所得的截面， 可知为等腰梯形；设KB1=x，可利用x表示出BiE,BF,BF，利用切割的方式可表示出三棱台ABC-KBiE的体积，利用体积建

19、立方程求得KBi，进而得到A K，作比得到结果 【详解】设平面ACK与线段BiCi交于点E，则截面ACEK为等腰梯形，延长两腰AK,EC交 于点F，如下图所示：三棱台ABC -KBiE的体积：iii (ix1iS.ABCBF -SBiEKBi- ii -x2x- x2x i33i -x i-x.丿6又正方体体积V=i：ii=i x xi,解得：3362设正方体棱长为i，设KBi= x，贝yBiE = x，BF =i BiFii -x丁_ /a第1313页共 2020 页3_V5_,45-1 3-45AK 23-45 751AK八二厂 両5 一厂話一厂丁2【点睛】本题考查空间几何体体积的相关问题

20、的求解，关键是能够利用切割的方式，利用变量表示出三棱台的体积，进而利用体积构造方程求得变量的值；本题同样可直接采用棱台的体积公式来求解棱台的体积 1616 等腰ABC中AB = AC，三角形面积S等于 2 2,则腰AC上中线BD的最小值等 于. .【答案】.3.324【解析】由三角形面积公式可得到AB2，进而得到AD2;利用余弦定理可表sin A示出BD2，结合辅助角公式整理可得BD2sin A 4cosA二-BD416sin A：；曲v-5，根据正弦型函数值域可知.BD416 -5，解不等式求得结果. .【详解】由三角形面积公式知：S二丄AB AC si nA二21AB2sin A = 22

21、24AB sin A22241tBD = AB2AD -2AB AD cos A =-sin A sin ABD2si nA 4cosA = , BD416si nA =5 BD416 -5，解得：BD一，3故答案为：,3,3【点睛】本题考查三角形中最值问题的求解， 涉及到三角形面积公式、余弦定理和辅助角公式的 应用；关键是能够利用三角形面积公式和余弦定理构造等量关系， 从而结合正弦型函数 的值域构造出不等关系. .AD2亠221sin A4cos A 5 - 4cos Asin A si nA第1414页共 2020 页三、解答题1第1515页共 2020 页当n = 1时，ai= 1符合a

22、n二-an=Vn n +1丿Sn2n(2)由（1 1）知:bn2nn 1 n!（n+1）!丿Tn丄丄.丄2! 2!3!n!-1 -1：1=2 i1-I (n +1)!Tn：-2又an0bnTn-T1=2* 1- I 2!丿综上所述:仁Tn： ：1717 .已知正数数列an/满足ai= 1, Sn=a*. .求:an ?的通项公式和Sn；令bn（其中 n n! ! =1=1 2 2n n ），数列 4?的前n项和为T，证明：仁T：2. .n!Qn【答案】（1 1）, ,（2 2）证明见解析n +1【解析】（1 1）当n _2时，利用an=Sn可得到递推关系式，利用累乘法可求得an，2验证首项后可

23、知an；利用裂项相消法可求得Sn；可求得Tn的范围，进而证得结论【详解】（2 2）由（1 1）可得bn,利用裂项相消法求得Tn；根据数列为正数数列和不等式的知识(1(1)当 n n-2且N“时,二n2an -n -1笃n整理可得:ann -1an Jn -2an 2a3a2ann 1an _2an J3a2n 1 n n -1-an0n 1 !=2 1 -(n +1)!丿第 I I1616页共 2020 页【点睛】本题考查数列通项公式的求解、 裂项相消法求解数列的前n项和的问题；涉及到an与Sn关系的应用、累乘法求解数列的通项公式等知识；求解数列前n项和的关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂

24、项，进而前后相消求得结果1818 .如图，在多面体ABCD AB1G1GD1中，侧棱AA|，BBi，CCCCi，DD1都和平面ABCD垂直，AD / /BC,AB = BC = CD = BBi= DDi= 2,AAj = AD = 4,CCi= 1. .(1)(1) 证明：平面BCiDi_平面ABBiA；(2)(2) 求直线BiC和平面BiCiDi所成角的正弦值。i【答案】(I I)证明见解析,(2 2)-4【解析】(I I)取AD中点E,由四边形BBIDID为平行四边形可知BD / BIDI；分别利用长度关系和线面垂直的性质得到AB _ BD,BBi_ BD，由此得到BD_平面ABBIAI

25、，即BQ_平面ABBiAi，由面面垂直判定定理证得结论；(2 2)以B为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量求法可求 得结果 【详解】(I I)取AD中点E，连接BE,BD11:BBi/DDi且BBi=DDi四边形BBiDiD为平行四边形 BD/BiDii7BC/AD,DESAD=BC=2四边形BCDE为平行四边形1 BEBE = =CDCD = =2 2B E ADAB_BD2第1717页共 2020 页：BB1_平面ABCD,BD平面ABCD. BEj_B D又AB,BBi二平面ABB1A1,AB? BBiBBD _平面ABBiAiV BD /B1D1. B1D平面AB

26、B1A1，又二平面B1C1D1平面B1C1D1 I平面ABB1A1(2(2)以 B B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则B 0,0,2，C -1八3,0，G -1, ,3,1,D 0,2.3,2T _BCm-1, .3,-2，BG二-1八3,-1, 二0,2一3,0设平面B1C1D1的法向量x,y,zn BQ二-x亠-,3y _z二0则：；，令x=1，jn B1D1= 2 J3y = 0设直线B1C与平面B1C1D1所成角为-直线BQ与平面B1C1D1所成角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角； 涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用等知识

27、；关键是能够找到另一个平面的垂线， 利用平行关系的传递性找到所证平面内的另一个面的垂线佃.“ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，设A=2B，CD平分 ACBACB 交AB于点D.(1)(1)证明：a2-b2二be；若a =6，b=4，求CD的长. .【答案】(1 1)证明见解析，(2)(2)32则y = 0，z = 1. n =1,0,-11 _ 1一2224第1818页共 2020 页a sin A【解析】（u利用正弦定理可代入已知条件和余弦定理化简得到b sin B22222a c =b a c -b，整理可得到a c-b = b c-b c b；当b = c时，利用角的大小关系可知为

28、等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出结果；当整理等式得到结果；（2 2）根据（1 1）可得c,利用角平分线定理可求得AD,BD；由cos. ADC cos BDC =0，结合余弦定理可构造关于CD的方程，解方程求得结果【详解】（1 1）由正弦定理得：2 2 2a sin A sin 2Ba cb2cos B =b sin B sin Bac.a2c二ba2c2 b2，即：a2c= a2b bc2-b22a cb二b cjb c b当b = c时，B B= = C C. B = C，Ab2c2= a，即a2-b2=c2=lc42当b = c时，a2二b c b=bc b2，即a2_b2二be(2

29、(2)由(1 1)得：62-42=4c，即c = 5CACB根据角平分线定理可得：AD = 2，BD = 3AD BD设CD二x，由ADC BDC=加得：角平分线CD的长等于3.2【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理、角平分线定理的应用；关键是能够利用互补角余弦互为相反数的特点，结合余弦定理构造关于所求长度的方程，进而解方程求得结果 2020 .已知函数f x = In x,g x = kx. .2 （x T b = c时，可直接cos ADC cos BDC =4 x2-164x9 宀 366x=0，解得:第1919页共 2020 页当x 1时，比较f x与的大小；X +1r

30、eee2若f X与g x的图象有两个不同的交点A为， ,B X2,y2，证明：XM2e. .第2020页共 2020 页【答案】(1 1)f x2X; (2 2)证明见解析x + 1_2 x1，由h x - 0可知h x在 1,1,；上是增函数,x 1进而得到h x h 1=0，得到所求大小关系；(2 2)分别将两交点坐标代入ln x二kx，作和、作差分别表示出k，从而建立起等量关Xi2 (_ x? )X +X2 .系；根据(1 1)中结论可得In，代入ln xiIn X2Inxi-1n x?屜+ x2捲 _X2可整理得到所证结论. .【详解】22 | x -12 | x -1X-1(0令hx

31、=fxIn x，则h x20 x+1x+1x(x + 1 ).h x在 1,1,；上是增函数 h hX h 1 =0，即In X 2X，x+12 x-1X 1【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用单调性比较大小、不等式的证明问题;证明不等式的关键是能够利用变量k得到為公2的关系，进而利用证明过的不等关系来 进行放缩整理 2121.如图， 在四棱锥P-ABCD中， 侧棱PA_底面ABCD,AD/BC,AB _ AD,PA = AB =BC=3,AD =2，点M在棱PB上，且BM=窗2. .【解(2(2)不妨设X1X2 : X1，贝y 1X2由题设In x-iIn x2二kx2% x

32、2I x 厂xrx2Ixi由(1 1)的结论知:11X2.X1=lnx2*X2% x2In x-iIn x2=X旦In人-1n X2.独2生=2X1X2e2X|_x2X2片_X2X1x2第2121页共 2020 页证明：AM /平面PCD；（2 2）求平面AMC与平面PCD所成锐二面角的余弦值. .【答案】（1 1）证明见解析, ,（2 2）21【解析】（1 1）作MN /BC交PC于N，通过证明四边形 AMNDAMND 为平行四边形可得到AM /DN，根据线面平行判定定理可证得结论；（2 2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果 【详解】（1）由题意知：.PAB

33、是等腰直角三角形，P3.2，则PM=2.2作MN /BC交PC于N，连接DNPM _2 _ MN _ MN PB 3,2BC 3又MN/BC，AD/BC，AD=MN=2四边形 AMNDAMND 为平行四边形.AM /DN又DN平面PCD，AM二平面PCD . AM /平面PCD（2 2）由PA_底面ABCD，可得PA_AB，PA_AD又AB_AD，可知AB,AD,AP两两互相垂直以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.MN =2第2222页共 2020 页第2323页共 2020 页则A 0,0,0,C 3,3,0,D 0,2,0,TT.AM二2,0,1,AC = 3,3,0,PD设平面AMC的法向量为m= x, y, zm AM = 2x z=o则，令x=1，得y -1,z一2. m = 1, -1,-2m弼=3x 3y=0设平面PCD的法向量为n=捲，力，乙m PD = 3%|3y!-3乙=0则，令yi= 3，得乙=2,% - -1. n =1,3,2J n PC = 2 y| - 3z| = 0【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、 空间向量法求解二面角的问题； 易错点是在 利用空间向量法求解