2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第 1 1 页共 1919 页2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题一、单选题1 1 .已知A x|x 1,B x 21，则AU B()A A .1,0B B.0,1C C.1,【答案】D D【解析】 分别解出集合A、B,然后求并集 【详解】2 2z z 2313，故选：C C【点睛】考查复数的运算，是基础题 rrr3 3 .已知平面向量a，b满足a 1,A A. 3 3B B.SOC C.2 3【答案】B Br r rrD D.,1解:A x x 1 x 1 x 1B x 2x1 x x 0AUB,1故选：D D【点睛】考查集合的并集运算，基础题2 2.已知z i 3 2i

2、，则z 2(A A . 5 5B B .【答案】 C C【解析】 先化简复数z i3 2i,【详解】解：zi 3 2i 2 3i;，z 2)C C. 13133i3,t，且a ab，则b()D D . 5 5再求z,最后求zz即可. .第2 2页共 1919 页【解析】先求出a & ,再利用a a b 0求出t,再求b. .第3 3页共 1919 页解：a b 1, 23,t2,t 2r由a r ab,所以rrraab0122 t20,rt 1,b3,1,bVi0故选:B B【点睛】【解析】 先求出P，再求焦点F坐标，最后求MF的斜率【详解】解：抛物线y22px p 0经过点M 2,2

3、,22 .222p 2,P 2,F 1,0,kMF2 2, 故选：A A【点睛】 考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题cos 2 x5 5 函数f x ln|x2的部分图象大致为（）x24 4 .已知抛物线y2px p 0经过点M为（）A A 2.2B B.24【答案】A A考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题2,2. 2，焦点为F，则直线MF的斜率C C 手D D 22第4 4页共 1919 页第5 5页共 1919 页cos2x2是偶函数，排除 BCBC ,xcos2 0,排除 D D,故选：A.A.【点睛】考查函数的基本性质，是基础题2y1 a 0,b0的一条渐近线经过圆b2

4、B B. ,5【答案】【详解】故选：B B【点睛】利用a b的关系求双曲线的离心率，是基础题华为公司 20192019 年 8 8 月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：% % ）的几组相关对应数据 如图所示的折线图中， 横轴 1 1 代表 20192019 年 8 8 月，2 2 代表 20192019 年 9 9 月，5 5 代表 20192019 年 1212 月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为$0.042x資 若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,【答案】A A【解析】显然f xIn xcos2xr2是偶函数，排除 BCBC,f

5、 1xcos2 0即可判断. .【详解】E:x22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为（解:x ln x2x6 6 已知双曲线 C:-C:-a【解求出圆心,代入渐近线方程，找到a、b的关系，即可求解解：E1,2,C:a0,b0一条渐近线y2a2 , 2 2a +b ,c2a2,e 57 7.5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速, 已位居世界前列第6 6页共 1919 页则最早何时该款5G手机市场占有率能超过 0.5%0.5% （精确到月）（）-y（m）C12Q-际A. 20202020 年 6 6 月B B. 20202020 年 7 7 月C C . 20202020 年

6、 8 8 月D D . 20202020 年 9 9 月【答案】 C C【解析】 根据图形，计算出 x,yx,y，然后解不等式即可. .【详解】解：x1(1 2 3 4 5)3,y - (0.02 0.05 0.1 0.15 0.18) 0.155点3,0.1在直线? 0.042x a上0.10.042 3 a,a 0.026? 0.042x 0.026令? 0.042x 0.026 0.5x 13因为横轴 1 1 代表 20192019 年 8 8 月，所以横轴 1313 代表 20202020 年 8 8 月, 故选：C C【点睛】 考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应

7、用，基础题8 8.设m,n是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：若m/,n/,/ /，则mn;若，m,m，则m/；若m n,m,/，则n/；若，Il,m/,m l，则m. .其中正确的是（)第7 7页共 1919 页【答案】C C【解析】 根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可【详解】解：m、n也可能相交或异面，故 错：因为,m，所以m或m/因为m，所以m / /，故对：n/或n，故错：如图因为，I I，在内过点E作直线l的垂线a，A A .B B.C C .D D .则直线a,a l又因为m/，设经过m和相交的平面与又m 1，所以b l因为a l,b l,b,a所以

8、b/a/m，所以m，故对 故选：C C【点睛】基础题 考查线面平仃或垂直的判断，交于直线b，则m / /b9 9 .定义在R上的偶函数f x，对Xi,x21成立，已知a f In,b f e2,cf x2f x.,0，且XiX2，有 -0 x2xi1f Iog- ，则a,b,c的大小关系为6第8 8页共 1919 页【答案】A A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断 【详解】f x2f x1解：对X|，X2,0，且XiX2，有0 x2xf x在x,0上递增因为定义在R上的偶函数f X所以f x在x 0,上递减11又因为log26 log262，1 In 2，0 e21所以b a c故选：A

9、 A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题1010 .将函数f x sin x图象上每一点的横坐标变为原来的2 2 倍，再将图像向左6平移一个单位长度，3得到函数y g x的图象，则函数yg x图象的一个对称中心为（)A .-,0B B.,0C C.,0D D.,01243【答案】 D D【解析】 根据函数图象的变换规律可得到y g x解析式， 然后将四个选项代入逐一判断即可. .【详解】一1解：f x sin x图象上每一点的横坐标变为原来的2 2 倍，得到sin x 6 261再将图像向左平移个单位长度，得到函数g x sin x +的图象3236B B.b c aD D.cab

10、14第9 9页共 1919 页g x sin x,g233故选：D D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题n1111.若3x -的展开式中二项式系数和为256256,则二项式展开式中有理项系数之和X为（ ）C C. 5757D D. 5656最后求系数之和256256则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+c8=85故选：A A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题1212 .若函数f Xlx2e mx有且只有 4 4 个不同的零点，则实数m的取值范围是( :2222eeeeA A .,B B.,c c.,D D., 4444【答案】B B【

11、解析】由f XIE2exmx是偶函数,则只需fxexmx在x 0,上有且只有两个零点即可【详解】解：显然f xlx2emx是偶函数A A . 8585【答案】A AB B. 8484【解析】先求n :,再确定展开式中的有理项,【详解】1n解:3x -的展开式中二项式系数和为x故2n256, n n8 88 r8 4rTr 1C8rx3xrc8x3要求展开式中的有理项，则r 2,5,814第1010页共 1919 页所以只需x 0,时，f x ex2xmx e2mx有且只有 2 2 个零点即可mx20，则mx第1111页共 1919 页exx 23x-Z经过点B时，截距最小，Z Z 最大xe ，

12、x0,2 ,g x0，递减，且x0 ,g x2,+,gx 0,gx递增，且x,g x0,时,xmx2ex2mx有且只有2 2 个零点,只需m故选：B B【点考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围, 基础题二、填空题1313 .实数x,y满足约束条件xy2y20，则x 2y的最大值为【答1010【解画出可行域，根据目标函数截距可求【详解：作出可行域如下:ymx20，则mx第1212页共 1919 页2第1313页共 1919 页解得B 6, 2z x 2y的最大值为 1010故答案为：1010【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题. .1414 某班星期一共八节课（

13、上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动）要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节 若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有_种 【答案】13441344【解析】分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：C：A C：384数学排在第二节时有：C3A4C1288数学排在第三节时有：C3A4C1288数学排在第四节时有：C4A4C1384所以共有 13441344 种故答案为：13441344【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题1515 .在VABC中，角A,B,C的对边

14、分别为a,b,c. .若cos B、3sin B且b 1，则VABC周长的范围为 _ . .【答案】2,3【解析】先求B角，再用余弦定理找到边a、c的关系，再用基本不等式求a即可. .【详解】解：cosB 3si nB 20，排课c的范围第1414页共 1919 页b22a2c2accos 3122a2c 2accos321小小a cac3ac 321a c2所以三角形周长a c b (2,3故答案为：2,3【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题 三、双空题1616 . . 16111611 年，约翰内斯 开普勒提出了 没有任何装球方式的密度比面心立方与六

15、方最密堆积要高”的猜想 简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯黑尔斯(ThomasThomas HalesHales )带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案 现有大小形状都相同的若干排球， 按照下面图片中的方式摆放 (底层形状为等边三角形， 每边4 4 个球，共 4 4 层)，这些排球共 _ 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为_ cm(排球的直径约为21cm)【答案】202021 1【解析】(1 1)从下往上，各层球的个数依次是：1010、6 6、3 3、1 1,所以共有

16、2020 个(2 2)连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为6363cm的正四面体，易求该四面体的高，然后加上 2121 即可 【详解】解：(1 1 )从下往上，各层球的个数依次是：1010、6 6、3 3、1 1,所以共有 2020 个2sin B2,sinB 61,B 3第1515页共 1919 页(2)连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为6363cm的正四面体O1O2O3O4,如图:取。3。4的中点E，VO2O3O4的重心F，连接O1F则QF平面02。3。4故答案为：2020；21 ,6+1【点睛】考查把实际问题转化为数学问题的能力、空间想象能力以及运算求解能力；较难题四、解答题(

17、2)求数列an2n的前n项和Sn. .【解析】(1 1)根据等差中项的定义得an 11 2an，然后构造新等比数列an出an1的通项即可求(2 2)根据(1 1)的结果，分组求和即可【详解】O2E63.32O2FOF；632213221 6所以最上面球的球顶距离地面的高度约为21 .6+1 cm. .1717 .数列an满足a11,an是1与an 1的等差中项(1(1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式;【答案】(1 1)见解析,an21(2 2)Sn2n11，写第1616页共 1919 页解：(1 1)由已知可得an 11 2an，即an 12an1，可化为an 11 2 a

18、n数列an1是以a11 2为首项，2 2 为公比的等比数列. .第1717页共 1919 页即有41a11 2n 12n(2 2) 由(1 1)知, 数列an2nSnSn212223L2nnn所以an21. .的通项为：an2n 2n2 n 1,1 3 5 L 2n 12n 1n22故Sn2n 1n22. .【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题（1 1）面出过点E且与直线AC垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）（2 2）求BD1与该平面所成角的正弦值. .1【答案】（1 1）见解析（2 2）. .3【解析】（1 1）AC与平面BDC1垂直，过点E作与平

19、面BDC1平行的平面即可（2 2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】 解：（1 1）截面如下图所示：其中F,G,H,I,J分别为边C1D1,DD1,AD,AB,BB1的中点，贝y AC垂直于平面EFGHIJ. .（2 2）建立如图所示的空间直角坐标系,1818 .如图，正方体ABCDABGDABGD1的棱长为 2 2, E E 为棱B1G1G 的中点. .第1818页共 1919 页ujuu则B 2,2,0, D Di0,0,20,0,2 ,H 1,0,0,I 2,1,0,G 0,0,1,所以BD,2, 2,2,ULWHI设平面不妨取1所以BD1与该平面所成角的正弦值为3. .ujn（若

20、将AC作为该平面法向量，需证明A1C与该平面垂直）【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题1919 .某健身馆为响应十九届四中全会提出的聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1 1 小时免费，超过 1 1 小时的部分每小时收费标准为2020 元（不足 I I 小时的部分按 1 1 小时计算）现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙1 1健身时间不超过 1 1 小时的概率分别为 一，-，健身时间 1 1 小时以上且不超过 2 2 小时的461 2概率分别为一，一，且两人健身时间都不会

21、超过3 3 小时. .23（1 1） 设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求 的分布列与数学期望E；（2） 此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额【答案】（1 1）见解析，4040 元（2 2） 60006000 元【解析】（1 1）甲、乙两人所付的健身费用都是0 0 元、2020 元、4040 元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9 9 种情况，分情况计算即可2 2）根据（1 1）结果求均值 unr1,1,0,HG1,0,1. .EFGHIJ的一个法向量为n x,y,

22、z，则ruuuu rn 1, 1,1,则cos BD1, n2,3 3第1919页共 1919 页第2020页共 1919 页【详解】解: ( (1 1)由题设知可能取值为0 0, 2020, 4040, 6060, 8080,则111P046 2412111P20436241112115P4046236412，11121P6026434111P804 624故的分布列为:0 0202040406060808011511P2441242411511所以数学期望E 020 4060 8040(元)244124241(2 2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：40 3006000(元)2【点

23、睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题被椭圆截得的弦长为2. .(1) 求椭圆C的方程；(2)过点2,0且斜率不为 0 0 的直线与椭圆C交于M,N两点. .0为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值 2 2【答案】(1 1) = = 1 1 (2 2)最大值26 6 . .8 8 6 6【解析】(1 1)根据通径 竺3 2和c2即可求2 220椭圆C寺y1a0的右焦点F -2,0，过点F且与x轴垂直的直线第2121页共 1919 页(2)设直线MN方程为x my 2，联立椭圆，利用S四边形OMANSvoAMSv OAN，用S四边形OMANS/OAMSVOAN

24、，用t 3m 2换兀，【详解】0时取得等号,即四边形OMAN面积的最大值 2 2 屆.【点睛】考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题12121 .已知函数fx ax a 1 l nx2 a R. .x(1) 讨论函数f x单调性；含m的式子表示出可得S四边形OMAN2，最后用均值不等式求解7解：(1 1 )依题意有22，b 6，所以椭圆的方程为21=1.1=1.6 6(2)设直线MN的方程为xmy 2，联立x26my3m24y212my 120. .所以y1y212m23m24y2所以&边形OMANSvoAMSvOAN123m2412,22y1y24y2.212m3m

25、24123m248、3.3m223m24令t3 m22，则t所以边形OMAN8. 3t83t222，因t 2，则ttt2 _ _2-2，所以S四边形OMAN2 6，当且仅当第2222页共 1919 页1(2) 当a 2时，求证：f x ex2x. .x【答案】(1 1)见解析(2 2)见解析【解析】(1 1)根据f x的导函数进行分类讨论f x单调性第2323页共 1919 页1(2)欲证f xex2x ,只需证In x 2 ex，构造函数x证明gxmax0，这时需研究x的单调性，求其最大值即可【详解：(1 1)ax a1 In1-2的定义域为0,2axa 1 x 1 ax 1 x22xxIn

26、 x ex2，所以f当0所以当当所以(2)0 0 时，由f x0得x 1，由在0,1上单调递增，在1时，由f x 0得10,1上单调递增，在1 111-a1 1 时,1时,10-a2时,In x因存在X00,1x 0，得单调递减;单调递减,1,单调递增;2x 12x0，所以f x在1x 0，得-a上单调递增，在欲证f0,0,上单调递增;x 1，由f X0，得1，或xa丄,1单调递减，在 1,1,a2x，只需证In x 2 x，则g x单调递增. .1使得0成立，即有xoIn x0，使得g xo0成立. .x0,x0 x0Xo,g x0 0g x单调递增g Xo单调递减当x变化时，g的变化如第2

27、424页共 1919 页所以g xmaxglnx。ex02x。12x。丄2X。x。12,因为x00,1,所以X。所以g xmax2 2 0. .X。即g xln x ex2g xmax0,所以当a2时，f xxe2x1、成立. .x【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题x 1 cos2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为：(为参数)，y sin以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为:2、3 sin(1) 求曲线Ci的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2) 若直线l：y kx k0与曲线Ci交于o,A两点，与曲线C2交于0,B两点， 求 OAOA OBOB 取得最大值时直线l的直角坐标方程. .【答案】(1 1)曲线C Ci： 2cos2cos ，曲线C2: x2y、入23. . (2 2)y , 3x. .x 1 cosxcos【解析】(1 1)用和消去参数 即得C1的极坐标方程；将y sinysi