第8讲立体几何中的向量方法（二）

1、第8讲 立体几何中的向量方法（二）一、选择题1两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A. B. C. D3解析 两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|·n0|.答案B2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为 ()A30° B60° C120° D150°解析设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，30°.答案A3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1

2、与AE所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B4已知直二面角­l­，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD()A2 B. C. D1解析如图，建立直角坐标系D­xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案C5如图，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2.ABCDCB，则二面角ABCD的大小为

3、()A.B.C.D.解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.而22222|·|·cos ，即121492×2cos，cos，AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.故选B.答案B6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为()A. B.C2 D.解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)设ADa，则D

4、点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°，得，即a，故AD.答案 A二、填空题7若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_解析cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.答案.8若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，8 3(6)，解得2或.答案2或9已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1

5、上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由已知条件A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案10在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析如图所示建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故(1,1,0)，(

6、1,0,1)，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.答案三、解答题11如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，ABBCBD4，E、F分别为棱BC、AD的中点(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值解如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，

7、异面直线AB与EF所成角的余弦值为.(2)设平面ACD的一个法向量为n(x，y,1)，则(4,0，4)，(4,4,0)，xy1，n(1,1,1，)F平面ACD，(2,2,2)，E到平面ACD的距离为d.(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cosn，|12如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)

8、，(2，2,0)·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，则n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小为60°.13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD

9、，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.(2)解由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30°.

10、14如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值解 方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.又DE2AB，四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，F为CD的中点，FMCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又ABDEME，四边形

11、ABEM为平行四边形，则AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，FM平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FHCE于H，连接BH，平面BCE平面CDE，FH平面BCE.FBH为BF和平面BCE所成的角设ADDE2AB2a，则FHCFsin45°a，BF2a，在RtFHB中，sinFBH.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.方法二：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)证明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面