2019届江苏省南通市高三模拟练习卷(四模)数学试题(解析版)

1、的值.第 1 页共 22 页2019届江苏省南通市高三模拟练习卷(四模)数学试题一、填空题1 1 .已知集合A = xx兰2，B =x x 0，则A| 8 =_ .【答案】x_1vxc0【解析】由集合交集的定义运算即可【详解】已知集合A = x,B =x x 0，贝 y AB=x1cxv0故答案为：x1cx10= 30.故答案为：30.【点睛】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个 小矩形的面积和为 1,属于基础题.2 25 5 .在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 % -吿=1（a 0，b0）的两条渐近线的a b方程为y=2x，则该双曲线的离心率为 _

2、.【答案】第3页共 22 页【解析】由双曲线的两条渐近线方程是 y = 2x，得 b = 2a,从而 c = .a2 b2= 5a， 即可求出双曲线的离心率.【详解】2 2双曲线 笃一爲a 0,b0）的两条渐近线方程是 y=2x,a bb_ c,2，即b=2a，c =“；a2b2= . 5a，二e 5.aa故答案为：,5 .【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题.6 6现有 3 3 个奇数，2 2 个偶数若从中随机抽取 2 2 个数相加，则和是偶数的概率为 _.2【答案】-5【解析】 从中随机抽取 2 个数相加，基本事件总数n = Cf =10，和是偶

3、数包含的基本 事件的个数 m =C3C2=4，由此能求出和是偶数的概率.【详解】2现有 3 个奇数，2 个偶数.从中随机抽取 2 个数相加，基本事件总数n二C；=10， 和是偶数包含的基本事件的个数m = C3C =4，则和是偶数的概率为m 42P =n 1052故答案为：-.5【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题.7 7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 _.【答案】2&n【解析】设圆锥的底面半径为 r，依题意，2r =2、2，即r=、一2，所以该圆锥的侧面 积为rl=2 2

4、-.【详解】第4页共 22 页依题意，设圆锥的底面半径为 r，已知圆锥的轴截面是直角边长为2 的等腰直角三角形，如图所示，所以2r=2222= 22，即 2，又因为圆锥的母线长为1=2，所以该圆锥的侧面积为 川=2、.2二.故答案为：2 2.【点睛】 本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积属于基础题.118 8 .给出下列三个函数： y:y =sinx:y=ex，则直线y x b（b R）x2不能作为函数_的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）【答案】【解析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数.【详解】d1直线y x b的斜率为 k =221ii1i对于

5、y,求导得：y2,对于任意x- = 无解，所以，直线y x bxxx22不能作为切线；1对于y =sin x，求导得：y=cos浪=了有解，可得满足题意；对于y=ex，求导得：y= ex=刁有解，可得满足题意； 故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于中档题.9 9如图，在平面四边形ABCD中，CBA = /CAD=90,ACD =30,AB = BC, 点E为线段BC的中点若+ azR），则人卩的值为_.第5页共 22 页A B【答案】4卫9【解析】以 A 为原点，建立平面直角坐标系，设 AB = BC = 2 后，写出各点坐标，用向

6、量的坐标运算可得.【详解】以 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB = BC = 2,则有 A ( 0,0), B (2,0), C (2,2), E (2,1), AC =2 近,AD = 2J2 Xan30 =?晶，过D作 DF 丄 x 轴于 F, / DAF =180 90 -45= 453262迁，所以 D (一心,至),33326，一-DF =n45 =332AC=( 2,2),AD=(_麵3,土),忑=(2,1),因为TC-TD眾3所以，(2,2)= (一 ,乙3) + (2,1),332亦 口-九+ 2 2所以，?，解得：.3Z_ 3扎卩的值为兰349卩=-3故答

7、案为：4卫第6页共 22 页本题考查了平面向量的基本运算，建系用坐标表示是解题的关键，属于中档题.1010 .已知实数x, y满足(x + y 2)(x2y+3)兰 0，贝V # + y2的最小值为 _9【答案】95【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可.【详解】x y-2 _ 0丄x y-2岂0由(x y2)(x _2y3) _0,得：或，不等式组表示、x-2y+3X0、x-2y+3兰0的平面区域如图所示；2 22 2X= x-0y-0，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方， 即原点到x+y2=0的距离为d0+二2=72，原点到X2y+3 = 0的距离为:42【点睛】

8、本题考查线性规划的简单性质，考查目标函数的几何意义，数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.3(311111已知 f (x)是定义在R上且周期为-的周期函数，当X，0,时，2I 2f(x)=12X1.若函数y=f(X)TogaX( (ar1) )在(0,耘)上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值_.【答案】所以,027+33352 2x y 的最小值为9故答案为：9第7页共 22 页【解析】根据题意得y = f (x)与y =lOQ x有 4 个交点，画出函数 y= f (x)与 y= logax(a 1 )在(0, +s)的图象，根据数形结合可得答案.【详解】3且 f(x)是定

9、义在R上且周期为兰的周期函数，2丫函数 y =f(x)-logax(a 1)在(o，:：)上恰有 4 个互不相同的零点,-函数y = f (x)与y = loax(a 1)在(0，:)上恰有 4 个不同的交点,11212 .已知正项等比数列 N;的前n项和为Sn.若= S32S6，则S6取得最小S3值时，S9的值为_ .【答案】3936【解析】因为S9=5十2?6，所以q巳所以a1(1q)=9)+2a1(1q)，即1-q1-q1-q当X.0,3时得f (x) =1 2x12x , 022x,1:x :2分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当故答案为：72x=-时，有2log = 1,所以 a

10、 = -a2第8页共 22 页633小13aiq -1(q6_1)(q3一2) =0,得q3=2化简得SJ-，由基本不等式得其最S3q -a-小值，即可得到S9【详解】由W2Q，得：q巳所以宜皿=牡唱+2牡亡,1 -q1 -q1 -q化简得：1 _q9=1 q32(1 q6)，即q9- 2q6q32 =0，即卩(q6一1)(q3一2) = 0， 得q=2,化简得&丄=印(176)彳=邑止_2、.3,S31_q&1(1 q)q1 a199a1(1-q) _q-1迸(q - = A/31 -q .3 q-13故答案为:7.33【点睛】本题考查了等比数列的前 n 项和公式和通项公式的

11、灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题.1313 在平面直角坐标系xOy中，已知A X1,y1,B臨百为圆x y=1上两点,1r T且x 丫1丫2.若C为圆上的任意一点，贝U CACB的最大值为 _3【答案】32【解析】因为C为圆x2+y2=1上一点，设C(sin,0cos ),则利用坐标运算即可.【详解】因为C为圆 x2+y2= 1 上一点，设C(sin0cos0,则% -COST,CB二x2-sin, y2-cos,22 A x1, yi,B X2, y2为圆x y = 1上两点，二x2y；=1, x；y；=1,又x,X2y“2二 ,当胡_qq -1a1即 a -1时,Sr丄取得最

12、小值,S3CA二咅-sin.第9页共 22 页2第10页共 22 页CACB=灭必2+%y2(XI+x2)si(yi+y2)cos& +sin20 + cos202 .XiX2 yiy2彳sinj1 Xy-iX2y22X1X22%y2si n( vJ2=丄-sin(日+)其中tan电,2，八X-I X2 sin(二:) - 1,1,3故答案为：-2【点睛】1414 在.ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对边的长，S为-ABC的面积若不等式kS乞3b2 3c2- a2恒成立，则实数k的最大值为【答案】4. 31【解析】在匚ABC中，面积公式Sbcsi nA，余弦定理b2 c2a2=

13、 2bccos A,2代入kS乞3b2 3c2- a2化简得k一4b一4c4bc cos A，由基本不等式得当sin(r:)= 1 时，CACB的最大值为本题考查了平利用坐标运算是解题的关键， 属于中档题.4b2 4c2 4bccosLcosA ；bcsin Asin A令厂口吐，得ysinA-4cosA=8,sin A由辅助角公式得,y厂16sin(A - J=8，进而得sin(A J二出y即可得答案【详在ABC中，面积公式12 2 2Sbcsi nA，余弦定理b c -a =2bccosA，代入2kS乞3b23c2- a2，12有k bcsin A匚2b222c 2bccos A，即k -

14、4b2化2WsA恒成立,bcsin A求出4b24c24bccosA的最小值即可，而bcsin A第11页共 22 页bcsin A3第12页共 22 页2 24b 4c 4bccosA 8bc 4bccosA 8 4cos A-3 - =-bcsin Abcsin Asin Ay4即，y 16（,si nA cos A） =8，令Jy2+16Jy2+16解得：2 2y _=4 3，即4b 4c 4bccosA的最小值为4 3，所以，k乞4 3 bcsin A故答案为：4、3【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，辅助角公式的化简，也考查了计算能力，属于中档题二、

15、解答题1515已知函数f(x)=sin(x)( -o, |；：)的图象关于直线x二丄对称，两个26相邻的最高点之间的距离为2n(1) 求 f(x)的解析式；3(2) 在ABC中，若f (A)，求sin A的值.5【答案】(1)f x二sin xn; (2)43一3.I 3丿10【解析】(1)由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求3,由图象关于直线当且仅当b=c取等号令y Ssin A，得:ysin A = 8 4cos A，即y sin A4cos A = 8得:.y216s in （A -：）=8，8.y216，所以8.y216乞1，两边平方，得:64 _ y216,对称，可求JIJI_

16、+半= =+ +k k 兀，结合范围半62n，可求：，即可求得函数解析式.2冗x二6第13页共 22 页-3-由已知可求sin A-3：0，结合范围Aq函数基本关系式可求cos (A+ ),根据两角差的正弦函数公式可求3【详解】n(1)T函数f(x)=si n(x；：)(30,2)的图象上相邻两个最高点的距离为2n2函数的周期 T= 2n,二- =2n,解得w=1,二 f (x) = sin (x+),n又函数 f (x)的图象关于直线X对称，k二，k Z,6 6 2 ：n ：= 一 , - f (x) = sin (x+ ).2333. f兀)3(2) 在 ABC 中，Tf (A), A (

17、0,n, sin A0,5V 3丿5A=二，生” cos A =l-sif A上3.335sin A =sin |(A + )_i=sin| A+ cos_cos(A+)sin 33V 3)333_ 3 1 _ 43 43-3_ _5 2 _ _52 _ 10【点睛】 本题主要考查由y =Asinx 的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.1616如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AB_AC,AC=AA,D是棱AB的中点.(1(1)求证：BC丄平面ACD;(2(2)求证：BG AC【答案】见详解；(2)见详解.),利用同角三角si nA

18、的值.第14页共 22 页【解析】(1)连接 AC1,设 AC1QA1C = O,连接 OD，可求 O 为 AC1的中点，D 是棱AB 的中点，利用中位线的性质可证 OD / BC1,根据线面平行的判断定理即可证明BC1/平面 A1CD (2)由(1)可证平行四边形 ACC1A1是菱形，由其性质可得 ACA1C，禾 ij 用线面垂 直的性质可证 AB 丄 AAi，根据AB 丄 AC ,禾 U 用线面垂直的判定定理可证AB 丄平面ACCiAi，禾 U 用线面垂直的性质可证 AB 丄 AiC，又 ACAiC，根据线面垂直的判定定 理可证AiC 丄平面 ABCi，利用线面垂直的性质即可证明BCi丄

19、AiC.【详解】(1) 连接 ACi,设 ACiAAiC= O,连接 0D,在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，侧面 ACCiAi是平行四边形，所以：0 为 ACi的中点，又因为：D 是棱 AB 的中点，所以：0D / BCi,又因为：BCi?平面 AiCD , 0D?平面 AiCD，所以：BCi/平面 AiCD .(2) 由(i)可知：侧面 ACCiAi是平行四边形，因为： AC = AAi,所以：平行四边形ACCiAi是菱形，所以：ACi丄 AiC，在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi丄平面 ABC，因为：AB ?平面ABC，所以：AB 丄 AAi,又因为：AB 丄 AC ,

20、 ACH AAi= A , AC?平面 ACCiAi, AAi?平面 ACCiAi,所以：AB 丄平面 ACCiAi,因为：AiC?平面 ACCiAi，所以：AB 丄 AiC,又因为：ACi丄 AiC, ABHACi= A , AB?平面 ABCi, ACi?平面 ABCi，所以：AiC 丄 平面 ABCi,因为：BCi?平面 ABCi，所以：BCi丄 AiC.【点睛】第 i2 页共 22 页本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题.1717.如图，在宽为i4 m的路边安装路灯，灯柱0A高为8m,灯杆PA是半径为r m的 圆C的

21、一段劣弧路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为i0m，到灯柱所在直2第16页共 22 页线的距离为2m设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上.(1)(1) 当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?(2)(2) 记圆心C在路面上的射影为 H H，且 H H 在线段 0Q 上，求 HQ 的最大值.【答案】当r为2、5时，点Q在路面中线上；(2)12-4.5.【解析】(1 )以 0 为原点，以0A所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设 C (a, b),根据 CA = CP= r 列方程组可得出 a, b 的值，从而求出 r 的值；(2)用 a 表示出直线 PQ 的斜率，得

22、出 PQ 的方程，求出 Q 的坐标，从而可得出|HQ| 关于 a 的函数，根据 a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值.【详解】(1)以 0 为原点，以 0A 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0, 8) , P (2,10), Q (7, 0),; 2 2 2直线 PQ 的方程为 2x+y 14= 0.设 C ( a, b),则卍一2)(?一10),g2+(b-8)2= r2两式相减得：a+b 10= 0，又 2a+b 14= 0，解得 a= 4, b= 6,=42 (6 -8)2= 2 5二当r =2,5时，点 Q 恰好在路面中线上.(2)由(1)知 a+b 10= 0,

23、当 a= 2 时，灯罩轴线所在直线方程为 x = 2,此时 HQ = 0.当 a 工 2 时，灯罩轴线所在方程为： y- 10=(x-2),a-22020令 y = 0 可得 X = 12，即 Q ( 12, 0),aa20 H 在线段 0Q 上, 12- a 解得 2 aw.10a2020 _ |HQ|= 12 a= 12(+a) b b0)0)经过点(0(0, _、3) ),a b点 F F 是椭圆的右焦点，点 F F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点 F F 的直线|交椭圆于 M M , N N 两点.(1) 求椭圆 C C 的标准方程；(2) 当 MFMF = 2FN2FN 时

24、，求直线|的方程；(3)若直线|上存在点 P P 满足 PM-PM- PNPN = PFPF2 2，且点 P P 在椭圆外，证明：点 P P 在定直线 上.2 2【答案】(1) =1=1 ； (2) 、5x _2y - 5 = 0; ( 3)见解析.43【解析】(1)由题意，b= . 3，再由点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得2a+c= -c，结合隐含条件解得 a= 2, c= 1，则椭圆方程可求；c(2)当直线 l 与 x 轴重合时，求得 MF = 3NF，不合题意；当直线 l 与 x 轴不重合时， 设直线 l的方程为 x= my+1 , M (X1, y , N (X2, y2

25、),联立直线方程与椭圆方程，化 为关于 y 的一元二次方程，由根与系数的关系及 MF = 2FN 求得 m 值，则直线方程可求；5(3) 当直线 l 的斜率为 0 时，设 P (Xo, yo),由 PM?PN = PF2，求得 x0=，当直线 l2第18页共 22 页的斜率不为 0 时，由(2)中的根与系数的关系及 PM?PN= PF2，求得 y -，代入2m55直线方程得Xo，由此可得点 P 在定直线X上.22【详解】(1)设椭圆的截距为 2c,由题意，b=、3,2由点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c= L _c ,c又 a2= b2+c2，联立解得 a= 2, c= 1.

26、2 2二椭圆C的标准方程为=1；43(2)当直线 I 与 x 轴重合时，M (- 2, 0), N (2, 0),此时 MF = 3NF，不合题意;I 的方程为 X = my+1 , M (Xi, yj, N (X2, y?),x = my 1联立x2y2，得(3m2+4)1435x _2y f 5 =0；当直线 I 与 x 轴不重合时，设直线2 2 2y +6my - 9= 0. = 36m +36 ( m +4) 0.6m% WR，y2口联立得，yi =代入得,3m2412m_ 6m3m24，% _ 3m24，72m2223m249，由 MF = 2FN，得 y1=- 2y?,93m24，

27、解得m2 5. 直线方程为5(3)当直线 I 的斜率为 0 时,则 M (2, 0) , N(2, 0)，设 P (X0, y。),则 PM?PN= | (X0- 2) (X0+2)|, 点 P 在椭圆外， X0- 2, X0+2 同号,又PF2=(x-1)2门25x-2 x 2=：以0-1，解得x = 2当直线 l 的斜率不为 0 时，由(2)知，y1y2PM=丿1 + m2M -y0,PN =j1 + m2|y2-y06m9, y1y2 = _23m 43m 4PF = x/1 + m2|y0.点 P 在椭圆外， y1- y, y2- y 同号，PM?PN=(1+m2) (y1- y) (

28、y2- y)=1口飞畑 -y y，y0+6m3m24 3m24=1m2y2,第19页共 22 页355整理得yo，代入直线方程得xo. 点 P 在定直线x上.2m22【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题.32*佃.设函数f(x)=x ax bx(a(a, b b R)R)的导函数为 f(x)，已知Xi,x?是f (x)的两个不同的零点.(4)证明：a23b;(2)当 b b= 0 0 时，若对任意 x x0 0,不等式f(x)_xlnx恒成立，求 a a 的取值范围；(3) 求关于 x x 的方程f(x) = f(勺 空)&-捲)f(

29、xj的实根的个数.2【答案】见解析；(2)丨-1; ( 3) 1 个.【解析】(1)求函数的导数，利用 = 4a2- 12b 0，得证；In xIn x(2)分离参数 a,所以 a- x对任意 x 0 恒成立，令新函数设 g (x)=- xxx求最值即可，或采用 x3+ax2- Xlnx0寸求左侧最值亦可.(3) 转化函数求零点个数可得结论.【详解】(1)函数 f (x)= x3+ax2+bx (a, b R)的导函数为 f(x)= 3x2+2ax+b .已知 X1, X2是f( x)的两个不同的零点，设 X1VX2,所以= 4a2- 12b0,所以：a23b 得证；(2)当 b= 0 时，对

30、任意 x 0, f (x) xlnx 恒成立,32322所以 X +ax Xlnx 即 x +ax - xlnxQx +ax - Inx对任意 x 0 恒成立,In x所以 a- x 对任意 x 0 恒成立,x2In x1 -In x 1 -In x -x-X，则g (x)21 =XX21令 h ( x)= 1 1nx x2,贝 y h (x)=- 2xv0,x所以 h (乂)在(0, +8)上单调递减，注意到 h (1)= 0,当 x (0, 1)时，h (x) 0, g(x) 0,所以 g (乂)在(0, 1)上单调递增， 当 x (1, +8)时，H (x)v0, g(x)v0，所以 g

31、 (x)在(1, +8)上单调递减, 所以，当 x = 1 时，g (x)有最大值设 g ( X)第 i20页共 22 页g (1 )=- 1,所以 a 的取值范围为-1, +8)；第 i21页共 22 页(3)由题意设 F( x)= f ( x)f (xi)-f ( X1 %2) x Xj,则原问题转化为求函数 F (x)的零点的个数，因为导函数为 f(x)= 3x2+2ax+b，已知 xi, x?是f(x)的两个不同的零点,所以：论+x2a丫为+x2f aa2i2=, f21= f=+b，所以：23(2丿(3丿3F(x)=f(x)-f穿=3x22ax |=3 x23x 9 =3(x 3)2

32、7,所以 F (x)在(0, +s)上单调递增，注意到 F (xi)= 0,所以 F (x)在(0, +s)上存在唯一零点 Xi,【点睛】 本题考查函数的极值，最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属于难题.2020 .已知在数列a an中，设 a ai为首项，其前 n n 项和为 S Sn,若对任意的正整数 m m, n n 都有不等式 S S2m+S+S2n 2S2Sm+n(mn)恒成立，且 2S2S60 0 且 q ql),求 a aiq q 的取值范围.【答案】(1)1 0d【解析】(1)根据已知条件，由于数列是等差数列，运用等差数列的求和公式，建立不等式，进一步求出

33、相应的结果；(2)根据已知条件，由于数列是等比数列，运用等比数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果.【详解】在数列an中，设 ai为首项，其前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 m、n 都有不等式 S2m+S2n 2Sm+n(详n)恒成立，()设an为等差数列，且公差为 d ,山c 2m(2mi)2n (2 ni)(m + n)(m + ni)则：2mai+d+2nai+d 2 ( m+n) ai+d,2 2 2整理得：(m-n)2d 0，则 dS3,整理得：9ai+27d 0,则I 3d,所以 d 0,- 0 且 q 工1,q3v1,由于 q 0,所以：0vqv1，则：ai0.即

34、有 aiq 0.【点睛】【详解】九+1 2,=(入 +1 入2 =(入 +2 (入-1 ), 令 f (入)=0,贝y x=-2 或 U 1 , 矩阵 A 的特征值-2 和 1.【点睛】 本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属于基础题.2222 .在极坐标系中，圆C的方程为2COS V - 0，直线|的方程为2m2nm+n则aq印172a11-q1 -q1 -q，整理得1 -qqa1m+n 2m 2n、2q-q-q)v0,则:aiai(qm-qn)2v0,所以一 0,由 2S6 S3,则：2q6- q3- 1v01 q解得:本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，

35、也考查了运算能力,属于中2121 .已知矩阵2_x 0,B=；7-B的逆矩阵B满足AB，=7 17. -7一(1(1)求实数x, y的值;(2(2)求矩阵A的特征值.【答案】(1)x =1,y=3； (2) _2 和1.【解析】(1)利用A=(AB)B求解即可;(2)矩阵 A 的特征多项式f (，)：1求出行列式，然后令 f (为=0 即可.(1)因为AB-7y17,B-75 7 3. A=(AB)4B17 5Hi 7宀一2L；x 0_5y_14即_x7y-21一丄5y -14二x丄x =1,仏-2仁。,y=3(2)矩阵 A 的特征多项式f ( )二12第23页共 22 页2si n v-戸=

36、 0.I 6丿(1) 若直线l过圆C的圆心，求实数m的值；(2) 若m = 2，求直线I被圆C所截得的弦长.【答案】()m = 1；3【解析】(i)将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得.(2)利用点到直线的距离公式和勾股定理可得.【详解】(1)由p+2cos 券0得p+2pcos=0O,得 x?+y2+2x = 0,则圆心为(-1, 0),半径 r = 1.,7兀+7兀7兀由 2psin(0-) +m = 0 得 2psin0co& - 2pcos0s+ +m = 0,得直线 I 的直角坐标66 6方程为 x-、-3y+m = 0,因为直线I过圆C的圆心，

37、则-1+m = 0，所以 m= 1.(2)若 m = 2,则圆心C到直线的距离d-12-,J1+32【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，属于中档题.2 2 21 1 12323 已知实数x,y,z满足4x2 9y2 12z2=12证明：二222二-3.x +2y y +3z z【答案】见详解【解析】 设 a= x2+2y2, b = y2+3z2, c= z2,由题意可得 4a+b+9c= 12,再根据柯西不等式即可证明.【详解】设 a= x +2y , b= y +3z , c= z , 4 (a- 2 b+6c) +9 (b - 3c) +12c = 12，即 4

38、a+b+9c = 12,1 11 1 11所以直线I被圆C截得的弦长为1 _ 12+2x 2y y第24页共 22 页2 -2 =11 1=丄1b c3z z ab c 12aa b 9c)14 a0a=312第25页共 22 页故原不等式成立.【点睛】本题考查了不等式的证明， 柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想， 推理论证能力,属于中档题2424 .如图，已知 F F 是抛物线 C C :y=4x的焦点，过 E(E( - I I, 0)0)的直线I与抛物线分別交(1)(1) 设直线 AFAF , BFBF 的斜率分別为k1,k2，证明：k1k0；(2)(2) 若厶 ABFABF 的面积为

39、 4 4,求直线I的方程.【答案】见解析；x-.2y1=0.【解析】(1)设直线I的方程为 X = my - 1, A (Xi, yi), B g, y?),联立抛物线方程利用韦达定理可得ki k2二1吐0.X_1 X?_1(2)ABF=EFB-SEFA=|yi-y2|=% y2$ - 4% y2= . 16m2- 16 = 4.m 即可.【详解】(1)当直线I的斜率为 0 时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.当直线I的斜率不为 0 时，设直线I的方程为 x= my - 1, A (X1, yj, B (X2, y2),联立抛物线方程可得得 y2- 4my+4 = 0,可得 y1+y2= 4m , yy2= 4力.丫2_ 2m%y2-2 y yX1-1 X2-1my1-2 my2(2)SAABF=SAEFB- SEFA=|y1- y2| = 解得m=丘(负值舍去)解得/. k1k22