2019届北京市中国人民人大附属中学高三(5月)模拟数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 22 页2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟数学（文）试题一、单选题21 已知全集U R，函数y In 1 x的定义域为M，集合N x|x x 0?，则下列结论正确的是A.M I N NB. M IeUNC.MUN UD.Me N【答案】A【解析】求函数定义域得集合M , N 后， 再判断.【详解】由题意M x|x 1,Nx|0 x1，二M IN N故选 A 【点睛】本题考查集合的运算， 解题关键是确定集合中的元素.形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集,由代表元决定.【详解】【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难

2、度不大确定集合的元素时要注意代表元22.已知复数 z 满足z（1 i） 1i（i为虚数单1A .-2【答案】1B.【解先计算出z，再利用共轭复数及概念计算出由于z （1i)211 i 1 i 1i，因此z口石21，因此故选 B.3 .某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x达到某数值,还可享受折扣如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图,若输出的y513000第2页共 22 页元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（第3页共 22 页【解析】 根据程序框图得出y关于x的函数解析式，再分情况解方程得出x的值即可【详解】6000 x, x 80由程序框图可知：y 6000

3、 0.95x,80 x 120，6000 0.85x, x 120（1）若x 80，令6000 x 513000，解得x 85.5，舍去；（2）若80 x 120，令6000 0.95x 513000，解得x 90；（3）若x 120，令6000 0.85x 513000，解得x 100.6，舍去综上，x 90-故选：C.【点睛】本题考查应用程序框图解决实际问题，解决程序框图题应注意三个方面， 一是搞清判断框内的条件是计数变量还是累计变量表示；二是注意判断框的条件是否含等号； 三是准确利用赋值语句与变量间的关系把握程序框图的整体功能.考查计算能力，属于中等题4 执行如图所示的程序框图，若输入的

4、x的值为 1,则输出的x的值为（）D 100【答案】C第4页共 22 页第5页共 22 页B. 6【答案】B【解析】根据程序框图进行模拟运算即可.【详解】1125若输入x 1，则SO,k 1,k k 12,SJ-,x 1 12,S仝21342不成立，k3,S111 111,xc253,S -不成立,233 13 82442S11121S25k 4,x4,不成立,2415 4042S21117S25k 5,x5,不成立,402430421712525亠 k6,Sx6,S成立，输出x 6303542,42故选：B.【点睛】 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键

5、.5 已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点【解析】根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长.【详解】根据几何体的三视图知， 该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示;C. .6第6页共 22 页则实数a的取值范围是()【答案】A不等式关系进行求解即可.【详解】f (x) 6x26x 6x(x 1),1时，f(x)取得极大值，极大值为f( 1) 3,当x 2时，f(x)取得最小值，最小值为f( 2)则该多面体的距离最大的

6、两个面为截面三角形,所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为2、2【点本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题.6 .已知a 0且a 1，函数f (x)2x3xa3x21,x02,x0在2,2上的最大值为 3,A.(0,1)U(1,2B.(1,、2(0,1)U 卜 2,)D.(0,1)U(l/2)【解析】根据分段函数的表达式,分别求出函数递增2,0和(0,2上的最大值，建立解：当x 0时，f(x) 2x33x22,由f (x)0得x 0(舍)或2 x 1，此时 f(x)为增函数,由f (x)0得1 x 0,此时 f (x)为减函数,则当x f(x)在2,2上的

7、最大值为 3,当0 x2时，函数f(x) ax1的最大值不能超过 3 即可,1时,f(x)为增函数，则当0 x 2时，函数f(x) ax1的最大值为f(2)13，即a22，得13 3第 5 页共 22 页a 1时，f(x)为减函数，则f(x) a01112，此时满足条件.第8页共 22 页综上实数a的取值范围是0 a 1或1 a , 2,故选 A 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键.7 函数f(x) cos(2x ) | |图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点26对称，则 f (x)在,上的单

8、调递增区间为()3312【答案】A【解析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合 函数的单调性进行求解即可.【详解】B.即函数的单调递增区间为3 3第 5 页共 22 页/ x函数f (x)cos(2x)11i图象向右平移 -个单位长度，6得到y cos 2 x6cos 2x3，所得图象关于原点对称,则_3k2得k,k Z,6- 1 1 -2二当k1时，6，则f (x)cos 2x6，由2k2x 62k,kZ,5得k 12-x k12，k Zk存12，kZ,第10页共 22 页故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是

9、解决本题的关键.8.如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形ABCD为矩形，AB 2 3 ,AD 2,ASB 120,SA AD，则四棱锥外接球的表面积为()A .16B .20C .80D .100【答案】B【解析】由已知证明平面SAB平面ABCD，由正弦定理求出三角形SAB外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面 积公式得答案.【详解】 解：由四边形ABCD为矩形，得AB AD,当k 0时，I?1212即 f(x)在 一，一 上的单调递增区间为3 33 123 3第 5 页共 22 页又SA AD，且SA AB A, AD平面SAB,则平面SAB

10、平面ABCD,过G作GO底面SAB，且GO 1，则os .22125.GA设三角形SAB的外心为G，则AB2sin ASB2 32sin120第12页共 22 页即四棱锥外接球的半径为.5.四棱锥外接球的表面积为S 4( , 5)220故选 B.【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.二、填空题【详解】6x9 .设变量x、y满足约束条件5x5y3y0,y6040，则目标函数z乂/的取值范围为0 x 4【答,1 U 1,【解画出约束条件的可行域, 利用目标函数的几何意义，判断求解即可变量x、目标函数6xy满足约束条件5x5y3y0,y6040的可行

11、域如图:0则目标函数y 4的几何意义的可行域内的点4.0 4kDA1或Z8 4J4的取值范围为x 4x,ykDOU 1,与点D 4, 4连线的斜率,第13页共 22 页故答案为:,1 U 1,第14页共 22 页本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题10 .设等差数列an的前n项和为Sn，若aia315，S416，则a4_【答案】7【解析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，由此能求出结果 .【详解】3a16d 15设等差数列an的公差为d，由aia3a515,S416,可得4 34 印-d

12、 162解得a11,d 2，故a41 3 27,故答案为：7.【点睛】本题考查等差数列中相关项的求解，解题的关键就是结合题意得出关于首项和公差的方程组，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11若角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 3x 上，则tan4【答案】12第15页共 22 页【解析】 利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用两角差的正切公式求得4第16页共 22 页所求代数式的值【详解】x轴的正半轴重合，终边在直线y 3x 上，则tan 111 tan 2.1故答案为：丄.2【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式的应用，考

13、查计算能力，属于基础题.y01设t -，则yotxo代入上式可得x0.X。1 2t122因为1 yoXo7，所以1 (t 1)() 7，解之得一t0故填,01 2t55【点睛】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径2 213 .椭圆C :务占1的右焦点为F 1,0，左顶点为A，线段AF的中点为B，圆a bF过点B，且与C交于D,E,VBDE是等腰直角三角形，则圆F的标准方程是229【答案】X 1 y -Q角 的顶点与原点重合，始边与tan 3，所以，喻匸12 .己知点 P 在直线x 2y 10上，点 Q 在直线x 2y 30,PQ的中点为M x0, y0，且1

14、yoxo7，则 【答案】2,0.5【解析】 先求出 M 的轨迹方程，结合1【详解】设P(X1, yJ,Q(X2, y2)，则为2力1两式相加可得x1x22( y-iy2) 2Xo2yo10.的取值范围是X。yox7可求.0, x22y230,0,由于PQ的中点为M xo,yo，所以第17页共 22 页【解析】设 A (- a, 0),求得 AF 的中点 B 的坐标，可得圆 F 的半径和方程，设 D (m,n)，( m0, n0) , E ( m, - n),由厶 BDE 为等腰直角三角形，可得将 D 的坐标代入圆的方程，解方程可得=2,即可得到圆 F 的方程.【详解】m= 1,求出 n,代入椭

15、圆方程,m , n 的关系，解方程可得 a如图设 A (- a, 0),可得 a 1, c= 1, b2= a2- 1,1 a线段 AF 的中点为 B (,0),2圆 F 的圆心为 F (1, 0),半径 r= |BF|设 D (m , n), (m0 , n0) , E (m ,由厶 BDE 为等腰直角三角形，可得kBD= 1 ,n 0即r_am一21,即 n= m由 D 在圆 F: (x- 1)2+y2=( L )2上,2可得(m - 1)2+ (m a)2=(1a)22 2化简可得(m - 1) (2m - 1+a)= 0 ,1 a解得 m= 1 或 m(舍去)，2代入椭圆方程，可得(1

16、 a)2丄4 a2a212化简可得 a= 2 或(舍去)，39则圆 F 的标准方程为(X - 1)2+y2 9,49故答案为：(X - 1 )2+y29.4第18页共 22 页本题考查椭圆的方程和性质， 以及圆的方程的求法， 考查等腰直角三角形的性质， 注意 运用点满足圆的方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.14 .已知函数f X的导函数为f X，且对任意的实数X都有f X ex2x 3 f x（e是自然对数的底数），且f 1,若关于X的不等式f x m 的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是_.【答案】e,【解析】 根据条件进行转化，求出函数y f x的解析式，求函数y

17、f x的导数,研究函数的单调性和极值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可【详解】2x 3,2，此时函数y f x为减函数,【点睛】2xex2x2x3，即X23x3xXe1,x2 3X 1，则fXe 2x得2 x 1，此时函数y为增函数,即当2时，函数yf x取得极小值f 2e2,第19页共 22 页且当x 1时，f X 0，由图象知，要使不等式f x m的解集中恰有两个整数,则满足f 1 m 0，即卩e m 0，即实数m的取值范围是e,0，故答案为：eO【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及利用导数研究极值与单调性问题，根据条件求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于难题

18、 三、解答题15.已知等差数列an的公差d 0,它的前n项和为Sn,若S570，且a?,a7,a?2成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；113(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.Sn6n8【答案】(1)an4n 2 n N(2)详见解析【解析】(1)根据等差数列前n项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，第20页共 22 页解方程组求得ai，d，由此求得数列an的通项公式.（2）由（1）求得数列an的前n项和Sn的表达式，由此求得数列 的表达式，利用裂项求和法求得Tn的的表达式，进而根据单调性等知识求得Tn的取值范围【详解】解：（1）解：因为数列an是等差数列，所以ana1

19、nn n 11 d，Snna1d2S570,依题意，有2aya?a?2-5a,10d70即2a,6da,d a,21d解得Q6， d 4 .所以数列an的通项公式为an4n 2 n N2证明：由（1）可得Sn2n 4n.1111 11所以QSn2n24n2nn 2(4 nn 2)所以111111111 1 1 1 1TnL1S1S2&Sn 1Sn434244 351 111 111111131114 n 1n14 nn2142 n1n 284 n 1 n 2因为Tn31110,所以Tn384n1n 28因为Tn 1Tn1110,所以数列Tn是递增数列，4n1n 3所以TnT11所以1Tn36，

20、68【点睛】第21页共 22 页本小题主要考查等差数列通项和前n项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题第22页共 22 页cos C 2 c 3b16.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足0.cos A 2a(i)求cosA的值；(n)若ABC外接圆半径为3,b c 2、6,求ABC的面积2【答案】(1)cos A(2)、53【解析】(i)由cosC2c 3b0及正弦定理得cosA 2 a2sinAcosC 2cosAsinC 3cosAsi nB 0从而2sin A C 3cosAsinB 0，利用诱导公式

21、结合sinB 0,可求出cosA的值;(n)由正弦定理得a 2Rsi nA 2、.5，再由余弦定理及b c 2-、6，配方化简可 得bc 6，由三角形面积公式可得结果【详解】、丄cosC 2c 3b f十r、(I)由0及正弦定理得cosA 2a2sinAcosC 2cosAsi nC 3cosAsi nB 0从而2sin A C3cosAsinB 0即2sinB 3cosAsinB 0又ABC中sinB 0, cosA -.3得bc 6ABC 的面积S - bcsinA丄6223【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的

22、一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心17 .如图，长方体 ABCD - AiBiCiDi中，AB = BC = 4, BBi= 2、2，点 E、F、M 分别ABC外接圆半径为 3,si nA丄 5,由正弦定理得 a32RsinA 2、5再由余弦定理a2b2c22bccosAb c22 1 cosA bc,及b c 2.6第23页共 22 页交，交线围成一个几何图形.为 CiDi, AiDi, BiCi的中点，过点M 的平面a与平面 DEF 平行，且与长方体的面相第

23、 i24页共 22 页(1)在图 1 中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积(不必说明画法与理由)(2)在图 2 中，求证：DIB丄平面 DEF .【答案】(1) 65(2)见解析【解析】(J 取 AiBI中点为 N,连接 N 与 M，则几何图形为 ACMN,再求其面积.(2)建系，利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直.【详解】(1)设 N 为的中点，连结 MN , AN、AC、CM,则四边形 MNAC 为所作图形.由题意知 MN / A1C1(或/ EF),四边形 MNAC 为梯形，且 MN 丄 AC= 2.2,2过 M 作 MP 丄 AC 于点 P,AC MN 可得 MC 、8 4

24、2 .3 , PC2,2得MP, MC2QC210，1梯形 MNAC 的面积3(224、.2) 106、.5.证明：(2)示例一：在长方体中 ABCD - A1B1C1D1,设 D1B1交 EF 于 Q,连接 DQ ,则 Q 为 EF 的中点并且为 D1B1的四等点，如图，由 DE = DF 得 DQ 丄 EF，又 EF 丄 BB1, EF 丄平面 BB1D1D, EF 丄 D1B,/ QD1B+ / D1QD = / DD1B+ / BD1Q= 90 DQ 丄 D1B,D1B 丄平面 DEF .示例二：设 D1B1交 EF 于 Q,连接 DQ，贝 U Q 为 EF 的中点,D1Q D1DD1

25、DDB12，/D1QD= /BD1D，第25页共 22 页由 BBi丄平面 AiBiCiDi可知 BBi丄 EF,又 BiDi丄 EF , BBi ABiDi= Bi, / EF 丄平面 BBiDiD , / EF 丄 DiB,得 / QDDi= / DiBD , / QDB+ / DiBD = / QDB + / QDDi= 90 DQ 丄 DiB，又 DQ QEF = Q, DiB 丄平面 DEF .TV-iD/标准几何体内，证明垂直，直接利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直.i8.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过ikg的包裹收费 i0 元；重量超过ikg的包裹，除收费 io

26、元之外，超过ikg的部分，每超出ikg（不足ikg，按ikg计算）需要再收费 5 元该公司近 60 天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）且为 DiBi的四等分点,DiQDiQ DiD 由DiD DB得 tan/QDDi= tan/DiBD ,【点第 i26页共 22 页(1) 求这 60 天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取 5 元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用已知公司前台有工作人员 3 人，每人每天工资 100 元，以样本估 计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？(3) 小明打算将A(0.9k

27、g), B(1.3kg),C(1.8kg),D(2.5kg)四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为 45 元的概率.【答案】 公司每天包裹的平均数和中位数都为260 件.(2)该公司平均每天的利润有31000 元.(3)5n【解析】(1)对于平均数，运用平均数的公式xXiPi即可；由于中位数将频率分i 1布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出(2) 禾U用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润(3)该为古典概型， 根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件快递费为 45 元 包括的基本事件个数，

28、即可求出概率【详解】(1)每天包裹数量的平均数为0.1 50 0.1 150 0.5 250 0.2 350 0.1 450 260；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450 件的天数分别为 6、6、30、12、6,所以每天包裹数量的平均数为150 6 150 6 250 30 350 12 450 626060第27页共 22 页设中位数为 x,易知x 200,300，则0.001 100 2 0.005 x 2000.5，解得 x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260 件.(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260，利润为260 5 3 100 1000(元),

29、所以该公司平均每天的利润有1000 元.(3)设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物 A、C、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2(千克)，礼物 B、C、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6(千克)，都超过 5 千克，故 E 和 F 的重量数分别有1.8 和 4.7，2.5 和 4.0，2.2 和 4.3，2.7 和 3.8，3.1 和 3.4共 5 种,对应的快递费分别为45、45、50，45，50 (单位：元)3故所求概率为-.5【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题19 .已知函数f (x) a In x ex 11，其中a R.(1)若x 1

30、是函数 f(x)的导函数的零点，求 f(x)的单调区间；(2) 若不等式f(x) 0对x 1,)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,); (2)(,1【解析】(1)对函数 f (x)求导数，利用 x= 1 是函数 f (x)导函数的零点求出 a 的值, 再判断 f (x)的单调性与单调区间；(2)求函数 f (x)的导数，讨论 a0时 f (x)v0 在 x 1 , +s)上恒成立，得出 f (x) 0 时，f( x)是 x 1 , +s)上的单调减函数，利用 f (1 )= a- 1,讨论 a wi 时，f (x)尊(1)= 0, 满足题意；a

31、 1 时，易知存在 x 1 , +*),使得 f (X0)= 0,且 f (X0) f (1)= 0, 不符合题意；由此求出 a 的取值范围.【详解】x 1(1)函数f x alnx e1，其中x 0； f xax 1e,x又x1是函数f x的导函数的零点，f 1 a e00,解得a 1,- fx 11x lnx e1, f xxex1，且在0,上是单调减函数,f 10,第28页共 22 页 x 0,1时，f x 0,f x单调递增；x 1,时，f x 0,f x单调递减；所以f x的单调递增区间为0,1,单调递减区间为1,；ax 1(2)f x - e,x1,x，a 0时，fx 0在x1,上

32、恒成立，则f x是单调递减函数，且f xf 10 110, f x 0恒成立，符合题意；当a 0时，fx是x1,上的单调减函数，且f 1 a 1；若a 1 0，即a 1,fx 0则fx在x 1,上单调递减，且f x f 10，满足题意；若a 1 0,即a 1，则易知存在X。1,，使得f xo0, f x在1,x。单调递增，在xg,单调递减， x 1,时，存在f xof 10,贝U f x 0不恒成立，不符合题意；综上可知，实数a的取值范围是，1.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数的综合应用问题，也考查了分类讨论思想与不等式恒成立问题，是综合题.20 从抛物线亍36x上任意一点 P 向 x 轴

33、作垂线段，垂足为 Q,点 M 是线段PQ上 的一点，且满足PM 2MQ(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；设直线x my 1(m R)与轨迹 c 交于A,B两点， T 为 C 上异于A,B的任意一 点， 直线AT,BT分别与直线x 1交于D, E两点，以DE为直径的圆是否过 x 轴 上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由.2【答案】y 4x见解析【解析】(D利用相关点法，设设Mx,y,P x,y0，则点Q的坐标为x,0,第29页共 22 页uuuv uuuvX0 x,2由PM 2MQ，从而得到，即3y36x化简求得结果；y。3y.(2)设出点 A,B 的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到y24my 4 0,根第30页共 22 页2据韦达定理得到y y2=4m,y1y2=4，设点T , y0，写出直线AT的方程，4进而求得点 D 的坐标，同理求得点 E 的坐标，如果以DE为直径的圆过x轴某一定点N n,0，则满足ND?NE 0