正余弦定理完美教案

1、正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识1正弦定理:或变形：.2余弦定理： 或.3（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： .典型例题探

2、究点一正弦定理的应用例1(1)在ABC中，a，b，B45°，求角A、C和边c；(2)在ABC中，a8，B60°，C75°，求边b和c.解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin A<a<b时，有两解；当a<bsin A时，无解若A为直角或钝角，当a>b时，有一解；当ab时，无解解(1)由正弦定理得，sin A.a>b，A&g

3、t;B，A60°或A120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120°15°，c.综上，A60°，C75°，c，或A120°，C15°，c.(2)B60°，C75°，A45°.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.变式迁移1(1)在ABC中，若tan A，C150°，BC1，则AB_；(2)在ABC中，若a50，b25，A45°，则B_

4、.探究点二余弦定理的应用例2已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值解(1)a2c2b2ac，cos B.0<B<，B.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0<A<，sin A，tan A.方法二将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由正弦定理，得sin Bsin A.由(1)知，B，sin A.又ba>a，B>A，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sin

5、cos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.变式迁移2在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B，b，ac4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin

6、A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由0<2A<2，0<2B<2，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2b×b2a×，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移3在ABC中，.(1)证明：BC；(2)若cos A，

7、求sin的值课堂练习 一、选择题(每小题5分，共25分)1在ABC中，a15，b10，A60°，则cos B等于 ()AB.CD.2.在ABC中AB3，AC=2，BC=，则等于 ()ABC.D.3在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形4(2011·聊城模拟)在ABC中，若A60°，BC4，AC4，则角B的大小为()A30°B45°C135°D45°或135°5(2010·湖南)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别

8、为a，b，c，若C120°，ca，则 ()Aa>bBa<bCabDa与b的大小关系不能确定二、填空题(每小题4分，共12分)6在ABC中，B60°，b2ac，则ABC的形状为_7已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则sin C_.8在锐角ABC中，ADBC，垂足为D，且BDDCAD236，则BAC的大小为_三、解答题(共38分)9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，=3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值10(12分)在ABC中，已知B45°，D是BC边上的一点，AD10，A

9、C14，DC6，求AB的长11(14分)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值五 课堂小结1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和

10、方法“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口 家庭作业一、 选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分） 1、在中，下列式子与相等的是 （ ） A、 B、 C、 D、2、在中，已知a=5，c=10，A30o，则B等于 （ ） A.105o B. 60o C. 15o D.105o或15o3、在ABC中，A=450,B=600,a=2,则b= ( ) A B2 C D4、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ，有两解 B. ,有一解 C. ，有两解 D. ，无解5、在中，,则是 （ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形6、在ABC中，一定成

11、立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA7、在中，若则等于 （ ） A、 B、 C、 D、二、 填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 1、在ABC中，a，b，B45°，则A等于 . 2、在，AB=则BC的长度是 3、在ABC中，已知 60°，如果ABC 两组解，则x的取值范围是 .4、 已知的三边分别为a，b，c，且，那么角C . 5、已知ABC中，A60°，最大边和最小边是方程x2-9x80的两个正实数根，那么BC边长是_6、在中，若则 .7、在ABC中，已知a7，b8

12、，cosC，则最大角的余弦值是_三 、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）1、在中，已知,解此三角形。 2、在ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，a2b2c2ab，求A参考答案变式迁移1(1)(2)60°或120°解析(1)在ABC中，tan A，C150°，A为锐角，sin A.又BC1.根据正弦定理得AB.(2)由b>a，得B>A，由，得sin B×，0°<B<180°B60°或B120°.变式迁移2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c2

13、2accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，联立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.变式迁移3解题导引在正弦定理2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)证明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.因为<BC<，从而BC0.所以BC.(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A.又0<2B<，于是sin 2B.从而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B.所以sinsi

14、n 4Bcos cos 4Bsin .课后练习区1D2.D3.B4.B5.A6等边三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60°，ABC为等边三角形71解析由AC2B及ABC180°知，B60°.由正弦定理知，即sin A.由a<b知，A<B，A30°，C180°AB180°30°60°90°，sin Csin 90°1.8.解析设BAD，DAC，则tan ，tan ，tanBACtan()1.BAC为锐角，BAC的大小为.9解(1)因为cos，所以cos A2cos21，sin A.(4分)又由·3得bccos A3，所以bc5，因此SABCbcsin A2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)