洛朗级数20101126

1、§4.1 洛朗()级数教学目的：1 理解双边幂级数的定义, 会求双边幂级数的收敛圆环2 熟练掌握圆环内解析函数洛朗(罗朗)展式(特别是解析函数在其孤立奇点去心邻域内洛朗展式)的求法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：本节, 我们先介绍可能含有负幂次项形式幂级数-双边幂级数,然后讨论圆环形区域内解析函数与双边幂级数的关系.§双边幂级数【定义】考虑两个级数 (幂级数)（负幂次项级数）通常把上述两个级数相加所得的形如的级数, 称为双边幂级数简记为.【定义】若级数和同时收敛, 则称双边幂级数收敛, 其和为这两个级数的和函数相加. 否则称双边幂级数发散.下面, 我们来讨论

2、双边幂级数的收敛范围. 对, 它是幂级数, 设它的收敛半径为, 则它在其收敛圆 ()内收敛于一个解析函数；（如图5.1(a)对, 作变换, 它可转换成一个幂级数, 设此幂级数的收敛半径为 (), 则在其收敛圆内收敛于一个解析函数, (如图5.1(b)从而在也收敛于一个解析函数.综上所述(根据定义2), 仅当时, 双边幂级数在圆环内收敛(此圆环也称为收敛圆环), 且收敛于解析函数(如图5.1(c).§解析函数的洛朗定理【定理4.7】(洛朗定理) 若函数在圆环形区域 (, )内处处解析, 则在该圆环形区域内必可展成双边幂级数 其中 (, , , ) (), 并且展式还是惟一的.此定理的证

3、明方法与泰勒定理的证明类似.证：设为内任意取定的一点,(如图5.2 ) 总可在内找到两个同心圆周 , , 使得 .由题设 在闭圆环上解析, 由柯西积分公式得 - ()对上式的第一个积分, 同泰勒定理的方法完全相同可得 - ()其中 (, , , )对于上式中的第二个积分 ,由于 (因为在上 )又在上有界, 所以上式可在上逐项积分,并再以乘以两端得- ()其中 (, , )将()和()代入()得 任取圆周 (), 由多连通区域上的柯西定理(, , , ) (, , )即系数可统一地表示成 (, , , ).最后证明展式的惟一性. 假设在圆环内还有一个展式 在上式两端同乘以函数(此函数在圆周()上

4、是有界的), 再沿逐项积分得 (, , , ) (注意上式中用到 ) ，故 展式是惟一的.注: 10 定理中等式称为函数在点的洛朗展式, 而系数 (, , , )称为洛朗系数,展式右边的级数称为洛朗级数. 20 当圆环中 时, 由柯西积分定理知 (, , )，从而 在圆域内的展式变为它恰好是的幂级数展式.圆域内解析函数的幂级数展式为洛朗展式的特殊情形.30设双边幂级数的收敛圆环为 (, ), 则(1)在其收敛圆环内绝对收敛.(2) 在收敛圆环内解析且在收敛圆环内可逐项求任意阶导数；(3) 可沿内的任一条简单曲线C逐项积分.§ 解析函数洛朗展式的求法由定理知, 解析函数的洛朗展式是惟一

5、的.在求具体函数的洛朗展式时,一般不直接根据洛朗定理通过求洛朗系数来求展式, 而是采用间接的方法(比如: 借助第四章所给出的解析函数的基本展式以及幂级数的一些运算性质等)来求展式.例1 函数 在平面上只有两个奇点:,. 它们可将平面划分成三个互不相交的区域, 使得在每个区域内都是解析的：(1) ; (2) ; (3) 试将函数分别在上述三个区域内展开成洛朗级数.(如图5.3)解(1) 在圆内, 由于，从而 . 所以(实际上这也是的幂级数展式) (2) 在圆环内, 由于, , 所以(3) 在圆环内, 所以.【定义】若函数在点a的某一去心邻域内解析, 点a是的奇点, 则称a为的孤立奇点. 若a是的

6、奇点的聚点,则称a为的非孤立奇点.由洛朗定理知, 若a为函数的孤立奇点, 则在a的某去心邻域 (特殊圆环)内必可展开成洛朗级数. 称为在孤立奇点a的去心邻域内的洛朗展式.例:函数以以及(,) 为奇点(因为在这些点无意义), 由于是的聚点, 所以为的非孤立奇点.例2显然和是函数的两个孤立奇点, 试求分别在这两点洛朗展式.说明：欲求函数在某点的洛朗展式, 必须求出以此点为心同时使函数解析的所有同心圆或者同心圆环内, 函数的洛朗展式.因此，在求函数在某点的洛朗展式时，应先确定以此点为心，使函数解析的所有可能的同心圆以及同心圆环，然后在相应的同心圆或同心圆环内分别求出函数的洛朗展式.解 因 (1) 在

7、的最大去心邻域内, 在以为心外圆半径为的最大的圆环内,.（如图5.4）(2) 在的去心邻域内,在以为心外圆半径为的最大的圆环内, （如图5.5）思考题:设为函数的孤立奇点,试问在点的洛朗展式与在点的去心邻域内的洛朗展式有何关系与区别?例3在平面上仅有一个孤立奇点, 其最大的去心邻域为:, 在其中的洛朗展式为.例4在平面上也仅有一个孤立奇点, 其最大的去心邻域为:, 在其中的洛朗展式为.例5求函数孤立奇点, 并求在它的孤立奇点去心邻域内的洛朗展式.解 显然在平面上仅有一个孤立奇点, 在的最大去心邻域 内 .例6将函数在内展开为洛朗级数.解 .例7试求以为中心点的洛朗展式.解 在复平面上只有奇点,

8、因此复平面被分成两个的解析区域：，.（1）在 时,.（2）在 时,.练习:将函数在的去心邻域内展为洛朗级数.解 .练习:将函数在去心邻域内展为洛朗级数.解 .练习:将函数在去心邻域内展为洛朗级数.解 .例8 利用级数计算下列积分(1)；（2）；解 (1)因为函数在圆环域内解析,且在此圆环内,所以利用复合闭路定理以及第二章第一节的重要例题结论知 在内的洛朗展示系数,乘以即为所求积分值.又因为在内所以 ;故 .(2) 解 因为函数在圆环域内解析,且在此圆环内,所以在内的洛朗展示系数,乘以即为所求积分值.又因为在内所以 ; 故 .练习：求下列函数的孤立奇点, 并求出函数在孤立奇点去心邻域内的洛朗展式. (1)； (2)； (3).解 （1）解法1： 的孤立奇点为的零点，即，且 在的最大去心邻域内 逐项求导得即.所以在的最大去心邻域内.在的最大去心邻域内 ，逐项求导得所以在的最大去心邻域内 .解法2：因为，且仅有两个孤立奇点.在的最大去心邻域内逐项求导得即所以在的最大去心邻域内同理，在的最大去心邻域内 逐项求导得 所以在的最大去心邻域内 .（2） 的孤立奇点为.在的最大的去心邻域内 .（3） 的孤立奇点为.在的最大的去心邻域内 .小结：1.函数在圆环内解析时，在此圆环内