数学分析55032

1、计算题第1题 (3.0) 分 计算偏导数1). 当时，按通常方法求偏导数 2). 当时，按定义求偏导数，.第2题 (3.0) 分 解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助函数为 , , 则有 .从中可得出唯一解 ， 。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积 第3题 (3.0) 分 解 利用极坐标变换第4题 (3.0) 分 解 (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用极坐标，可得.由此知 , 利用题（1），有 ，

2、 （2） 因为 ，所以 ， 。 .将曲线用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知.第5题 (4.0) 分 解 用轴上直线段, 使上半圆周和直线段构成封闭曲线. 设, .有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上, 有, , 则.因此 .第6题 (3.0) 分 由于 , , , , 于是, .第7题 (3.0) 分 解 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为，则有，解方程组得到，因而最大体积为.第8题 (3.0) 分 解 在平面上的投影区域为, 于是第9题 (3.0) 分 解 不妨设该可微函数为，则按定义可得 ，由此知. 从而又得 .联系到上面第一式，有

3、或 ,从而 .第10题 (3.0) 分 解 对原方程两端对求导，可得 ，从而知第11题 (3.0) 分 解 将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（, 于是得切线方程为 法平面方程为 =0，即 第12题 (3.0) 分 解 (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为0，但是, 所以重极限不存在.(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 ， 所以.第13题 (3.0) 分 解 先对积分后对积分.由分部积分法, 知 .第14题 (3.0) 分 解 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，。段：直线方程 ，段：直线方程 ，于是有，=0 .第15题 (4.0) 分 解 （1）令，则D变

4、成，且积分成为（ （2） 令，则D变成，且原积分成为第16题 (3.0) 分 解 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有 .第17题 (4.0) 分 解 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是 第18题 (3.0) 分 解 曲面方程表示为 ，于是所求面积S=第19题 (3.0) 分 解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是, .第20题 (4.0) 分 解 设，因为, 则是某函数的全微分.且 .第21题 (3.0) 分  解 设，则 原式 第22题

5、 (3.0) 分 解 这里是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式, , .由复合函数求导法则知.于是 , 第23题 (3.0) 分 解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为. 第24题 (3.0) 分 解 因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便 .于是, . 利用洛必达法则, 有.第25题 (4.0) 分 解. 因为, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.证明题第26题 (4.0) 分 证明 对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得 ，于是，得到 第27题 (4.0) 分 证 对于复合函数 ，由于 ，=+，因此当时，与无关，即在极坐标系里只是的函数.第28题 (4.0) 分 证明 由于