重积分的应用

1、重积分的应用目 录引言31 二重积分的概念及应用41.1 二重积分的概念41.2 二重积分在积分不等式证明中的应用41.3 利用二重积分求旋转体的体积62 三重积分的概念及应用62.1 三重积分的概念62.2 利用三重积分求空间物体的质量72.3 利用三重积分求物体的重心72.4 利用三重积分求物体的转动惯量83 多重积分的概念及其应用103.1 多重积分的概念103.2 多重积分的应用10结论12致谢13参考文献14摘 要为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想

2、,和处理重积分在各个领域的应用能力结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的关键词:重积分；转动惯量；不等式AbstractIn order to research the applications ofmultiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problemThrough exploring t

3、he various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the applic

4、ation of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is ve

5、ry necessaryKeywords: multiple integral; moment of inertia; inequality引 言重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解决一些生活实际问题等方面的有力工具它有相当广泛的应用范围和非常重要的应用价值数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和繁琐,而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的例如二重积分在积分不等式证

6、明中的应用,借助一些定理,通过变换间接解决相关不等式的证明问题,运用二重积分证明不等式,不但可以丰富不等式证明的方法、开阔视野、创新思路,而且在特定情况下可以起到事半功倍的效果同时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问题借助重积分工具去研究空间物体问题,不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 因此,我们应该对重积分有比较深刻的了解,而且在遇到具体问题时要能够熟练运用由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用,因此,对重积分的研究不可忽视. 我们应该加大对重积分的研究深度,使之在各个领域起到更大的作用本文就重积分的应用,谈一点个人的感悟和体会

7、1 二重积分的概念及应用本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积分的概念及应用1.1 二重积分的概念设二元函数在有界闭区域有定义，用任意分法将分成个小区域：，设它们的面积分别是. 在小区域上任取一点，作和 称为二元函数在区域的积分和令定义 1.1 设二元函数在有界闭区域有定义，若当时，二元函数在区域的积分和存在极限（数与分法无关，也与点的取法无关），记为即，有则称函数在可积，是二元函数在的二重积分，记为或其中称为积分区域，称为被积函数，或称为面积微元1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式，本章介绍借助一些定理

8、，通过变换间接证明积分不等式在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论：定理1.1 若函数在闭区域上可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且特别地 当在矩形区域上连续时，有推论 若函数在上可积，函数在上可积，则乘积函数在闭矩形域上也可积，且例1.1 若连续且，则证明：（其中： ）1.3 利用二重积分求旋转体的体积本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积分公式在计算中需用到的定理：定理1.2 由连续曲线，直线，及轴所围成的曲边梯形绕不穿过曲边梯形内部的共面直线旋转一周所围成的旋转体的体积为：例1.2 求由

9、，所围成的平面绕直线旋转一周所围成旋转体的体积解：，在右下方，即，都有，所以由上述公式有2 三重积分的概念及应用本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所必需的2.1 三重积分的概念设三元函数在有界闭体有定义，用分法将分成个小体：，设它们的体积分别是在小体上任取一点若时，和式的极限存在，且与区域的分法和点的选取无关，则称在上可积，并称此极限为在上的三重积分，记为或称为被积函数，称为积分区域，或称为体积微元2.2 利用三重积分求空间物体的质量设物体占有空间区域，体密度为，则物体的质量例2.1 设空间区域由与平面围成，已知上任意一点的密度与该点到原点距离平方成正比，求的质量解：

10、由已知密度，则作柱面坐标变换：，则2.3 利用三重积分求物体的重心设物体占有空间区域，体密度为，则物体关于轴的转动惯量为：如果是均匀的，即密度函数是常数，不妨设，的体积是，则的重心的坐标分别是例2.2 计算密度函数的均匀上半球体的重心 解：因为均匀半球体关于与都对称，所以在公式中，下面求设是半径为的的半球体体积，已知，求三重积分，作柱面坐标变换：，有于是，均匀上半球体的重心是2.4 利用三重积分求物体的转动惯量设物体占有空间区域，体密度为，则物体关于轴即原点的转动惯量为例2.3 计算密度函数的均匀球体，关于三个坐标轴的转动惯量解：由上面公式知，球体关于三个坐标轴的转动惯量分别是因为球体关于三个

11、坐标面对称，被积函数关于每个变量都是偶函数，所以，设，有作球面坐标变换有,即3 多重积分的概念及其应用与一元函数的广义积分概念和应用类似，重积分概念也可以维空间3.1 多重积分的概念类似于以上两章二重积分和三重积分的概念，中在上的重积分，记为3.2 多重积分的应用本节介绍利用多重积分证明毕达哥拉斯定理的一种推广考虑维欧氏仿射空间中的一个维单形 其中有个顶点,即和还有个侧面，即个顶点的对面，分别是除某个顶点以外其他个顶点组成的凸包，是一个维单形显然，只有一个侧面不通过原点，即的对面记作且以表示它的面积（维体积）;其余个侧面都通过原点，顶点所对侧面记作且以表示它的面积，文献利用单形体积公式证明了现

12、在利用多重积分来证明式因为顶点所对侧面是由与超平面，相交所成的维单形，即，所以由文献求得 是由与超平面相交所成的维单形，有显示表示 其中 由文献得 根据式(3-2)和式立即推得式，因此毕达哥拉斯的推广得证结 论重积分在高等数学中应用非常广泛,涉及到数学知识的许多方面本文讨论了重积分的有关知识,深入研究了用二重积分简便计算平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积的一般方法，而且给出了用二重积分证明积分不等式的证明思路利用三重积分的物理意义和性质求物体的质量，空间物体的重心坐标和转动惯量，简便了以往复杂的计算过程通过以上讨论我们了解到重积分是我们研究数学问题的一个有力工具,在今后的学习和日常生活中

13、,我们需对重积分做进一步全面的理解和认识,让重积分这个有力的工具在我们的手中发挥更大的作用致 谢 首先要感谢我的论文指导教师杨丹老师,从论文的选题、定稿、撰写,杨老师都给了我精心的指导,提出了许多宝贵的修改意见和建议,使我的论文能够顺利的完成,在此我深深的表示感谢!希望她在以后的生活里工作顺利,万事如意!其次，我要感谢培养教育我的沈阳大学,在沈阳大学浓厚的学术氛围中,我不断汲取知识，丰富自己的内涵感谢对我倾囊赐教、鞭策鼓励的理学院诸位师长、恩师,他们的谆谆教诲我将铭记在心祝恩师们事事顺心,家庭幸福!感谢同窗好友及学长们陪我共同度过了两年美好难忘的大学时光,我非常珍视和他们的友谊!祝他们前程似锦,事业有为!最感谢生我养我的父母,养育之恩无以回报,唯愿他们健康长寿，青春常驻! 参考文献1刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义（下）M北京：高等教育出版社,2008：333-3852章曙雯二重积分在不等式证明中的