估算教学的困惑和解决问题的策略

1、估算教学的困惑和解决问题的策略孙树清估算教学的困惑和解决问题的策略一、一线教师在教学中所遇到的主要困惑一线教师在教学中所遇到的主要困惑主要表现在如下几个方面：1、在小学阶段估算都包括哪几种形式？每种形式估算的方法有没有不同？2、估算如何与笔算相结合？3、如何评价估算方法与结果的正确性？4、估算结果能是准确值吗？二、小学数学中的估算问题小学数学中加、减、乘、除的估算主要包括估值和区间估计两种形式。区间估计又可包括估上限和估下限两种不同的形式。 1、估值估值是指估计和、差、积、商大约是多少。如人教版课标教材三年级上册第18页例2：这道题是估计“和”大约是多少，它的主要解法有：解法一：把376看成3

2、00，把284看成200，300200=500。有的学生回答为爬行类和两栖类大约有500种，还有的学生回答为爬行类和两栖类合起来肯定比500种多。解法二：把376看成350，把284看成300，350300=650。学生回答为爬行类和两栖类大约有650种。解法三：把376看成400，把284看成300，400300=700。有的学生回答为爬行类和两栖类大约有700种，还有的学生回答为爬行类和两栖类合起来比700种少一些。这道题对和的估计大约在500700之间。 再如苏教版课标教材三年级下册第33页例题这道题是估计“积”大约是多少，它的主要解法有：解法一：把42头看成40头，把29千克看成20千

3、克，4020=800（千克）。有的学生回答为一天大约可挤奶800千克，还的学生回答一天挤奶的数量比800千克多。解法二：把42头看成40头，把29千克看成30千克，4030=1200（千克）。学生回答为一天大约可挤奶1200千克。解法三：把42头看成50头，把29千克看成30千克，5030=1500（千克）。有的学生回答为一天大约可挤奶1500千克，还有的学生回答为一天挤奶的数量比1500千克少。这道题对积的估计在8001500之间。通过上面两道例题，我们可以看出：（1）在计算教学中引入估算，符合“课标”所提倡的“算法多样化”的要求。可以有效地引导学生独立思考，发扬各自的聪明才智，表现出不同的

4、解题思路。（2）在小学“估值”教学中，由于没有精确度的要求，主要看估值的方法是否正确。第一道题在方法正确的前提下，学生对376加284的和估值在500700之间，可以认为估算正确。第二道例题在方法正确的前提下，学生对4229的积估值在8001500之间，就可以认为估算正确。（3）由于学生认识水平的限制，在估算中有较大的差异是正常现象。但教师要引导学生逐步地同比精确值相差较多向相差较少转变。如在第一题中，可以让学生通过笔算精确地计算出376284=660，让学生比一比谁的估算的结果相差得比较少，说一说是怎样估算的？第二道题，也要采用同样的方法让学生比一比，有意识的引到学生不断地提高估算水平。（4

5、）估算通常是把需要笔算的数学问题通过取整（也可能是特殊值的计算）转化为口算来解答。而每个学生口算的能力有强有弱，有的学生直接口算出准确值，还能叫估算吗？这也是我们老师比较困惑的问题。通常，估算的结果只能与精确值相近似。学生通过直接口算或通过简算得出准确值不能叫做估算。但在特定情况下有可能估算的结果等于精确值。例如237463的和是700；如果把237看成200，463看成500，200500=700。再如17429的商是6；如果把174看成是180，29看成是30，18030=6。这就是说，对于估算问题不能单纯看结果，还要看过程。只要估算的方法对，得出的结果正好是精确值也是正确的，何况在估算时

6、，学生并不知道精确值是多少。（5）在估值时，有的学生也可能体现出“区间套”思想。直接说出比谁大，比谁小。这是正确的，但这种区间估计的思想对小学生来说比较困难，不要做硬性的要求。（6）在各套教材的编写中，对于估算问题，选用的数值通常是接近整十、整百的数，以降低估算的难度。但不能说只有接近整十、整百的数才能估算，应该说在小学阶段，不能直接口算的四则式题都可以估算。也就是说，一道较大数目的计算问题，都可以采用一定的方式，通过口算，近似地得到它的结果。在“估值”教学中教师还可以适当引入一些超出小学笔算要求，但可以进行估算的问题，以提高学生对估算的认识。如：下面长方形的面积大约是多少平方米？这是一道用小

7、数乘法求长方形面积的计算题。12.58乘9.45相当于求四位数乘三位数的积，已经超过了小学数学笔算的要求。但可以引导学生采用估算的方法求出积的近似值，解决一些没有学过的计算问题。解法一：把12.58米看成是12米，9.45米看成是10米，1210=120（平方米）。长方形的面积大约是120平方米。解法二：把12.58米看成是13米，9.45米看成是9米，139=117（平方米）。长方形的面积大约是117平方米。在加法和乘法的估值中，有时需要采用一大、一小的方法。即一个加数（含因数）往大估，另一个加数（含因数）就要往小估，这样和（积）的估值与精确值比较接近。而在减法和除法的估算中，有时需要采用同

8、大、同小的方法。即被减数（含被除数）往大估，减数（含除数）也同时往大估，这样差（商）的估值与精确值比较接近。2、区间估计数值的区间估计包括估上限和估下限两种不同的情况。估上限指估算的结果比给定的数值要小，或者等于给定的值。估下限指估算的结果比给定的数值要大，或者等于给定的值。加法或乘法估上限的问题，通常把给定的数据往上估一估，口算出和或积。如果这个和或积比给定的数值小，或者等于给定的数值。则说明原来的和或积也比给定的数值小，或等于给定的值。用数学方法表示是：如果ab，cd，并且bdN，那么acN。如果ab，cd，并且bdN，那么acN。加法或乘法估下限的问题，通常把给定的数据往下估一估，口算出

9、和或积。如果这个和或积比给定的数值大，或者等于给定的数值。则说明原来的和或积也比给定的数值大，或等于给定的值。用数学方法表示是：如果ab，cd，并且bdN，那么acN。如果ab，cd，并且bdN，那么acN。数值的区间估计难点再于：在估算之前，学生并不知道这道题是估上限，还是估下限，所以不易确定估算的方法。如冀教版课标教材三年级上册第15页练一练第2题：不难看出这是和的区间估计。可以引导学生先想一想478加259的和比谁多、比谁少，再考虑是否够用。400元加上200元是600元，78元加上59元比200元少，比100元多。所以478元加上259元比800元少，比700元多，大约是7百多元，带8

10、00元够用。当然，学生也可以采用估上限的方法：（1）把478元看成500元，把259元看成300元，500300=800（元）。带800元够用。（2）把478元看成500元，800500=300（元）。剩下的300元比259元多，带800元够用。再看下面估算方法：（1）把478元看成450元，把259元看成250元，450250=700（元）。带800元够用。（2）把478元看成450元，800450=350（元）。剩下的350元比259元多，带800元够用。这两种估算方法，如果不继续做进一步说明的话，虽然结论是正确的，但估算的方法是错误的。当把桌子和椅子的价钱看得少一些，得到800元够用的结

11、论，有两种可能。第一种可能是本来800元够买一套桌椅，现在便宜了当然还够（这种估算没有实际意义）。第二种可能是原来钱不够买一套桌椅（假如只带700元钱），但把桌子和椅子的价钱看得少一些就够了，这并不能说明原来也够（估算误差过大造成错误）。如果把冀教版的这道练习题稍加改变，把桌子的价钱由478元改成578元又会怎样呢？578元如果学生还按照估上限的方法解答：（1）把578元看成600元，把259元看成300元，600300=900（元）。带800元不够用。（2）把578元看成600元，800600=200（元）。剩下的200元比259元少，带800元不够用。这两种回答虽然结论正确，如果不做进一步

12、说明的话，估算的方法是错误的。对于这道题来说，当上估时，有两种可能，第一种可能是原来800元钱就不够买一套桌椅，由于上估，还是不够，这种估算是没有意义的；第二种可能是原来的钱够买一套桌椅（假如带850元），但由于上估过高造成了不够，由于估算误差造成了错误。教师可以引导学生先想一想578加259的和比谁多、比谁少，再考虑是否够用。500元加上200元是700元，78元加上59元比200元少，比100元多。578元加上259元比900元少，比800元多，大约是8百多元，带800元不够用。当然学生还可能用估下限的方法解答：（1）把578元看成550元，把259元看成250元，550250=800（元

13、）。带800元不够用。（2）把578元看成500元，把259元看成200元。500200=700（元），带800元够用。第（1）种估算是正确的。第（2）种结论错误，过程有一定的合理性，但由于下估的过多，原来800元钱不够用，却变得够用了。这种结论上的错误是由于估算误差过大造成的。由上面的分析可以看出：受生活经验不足的限制，四则运算的区间估计对小学生来说，要比单纯的估值困难得多。在成人看起来很简单的问题，对学生，尤其是中下等生却有相当大的困难。并且区间估计所涉及到的逻辑关系也是小学生不容易掌握的，学生很难区分什么是正确的估算，什么是错误的估算。因此（1）要把估算作为解决此类问题的一种方法。解决此

14、类问题可以估算，也可以采用口算和笔算的方法。如：。如北师大版课标教材二年级下册第76页第4题：这道题采用口算、估算和笔算都可以解答，就不必限用估算的方法。（2）和与积的区间估计，学生最难掌握的是不知道什么时候需要上估，什么时候需要下估。对于加法，可以让学生想一想和比谁大、比谁小，找出和的区间就容易判断是上估还是下估。对于乘法最好有所暗示，减少估算的难度。如山东版课标教材三年级下册第26页自主练习第3题。如果把每行40棵，要种21行，改成每行45棵，要种18行，学生就很难正确的估算。（3）当出现估算错误时，教师要通过实际例子使学生认识到这样估算是错误的，就可以了。如北京版课标教材第5册第42页练

15、习五第9题： 在实际教学时，虽然三年级第一学期学生没有学过两位数乘法，但有学生却这样估算：“我把每张电影票8元一张，看成10元一张。97人看电影就需要970元。所以带800元不够。” 碰到这种情况，教师首先要让学生充分发表意见，展开讨论。然后教师可以指出：“把8元一张的电影票看成10元。每张票多算了2元，97张就多算了将近200元，所以不够了。因此在一位数乘法的估算中，通常是一位数不变，多位数取整，再口算。”（4）是否估算正确，既要考虑估算的过程，也要考虑估算的结果；还要注意减少估算可能造成的误差；还可以引导学生通过笔算来检验估算结果的正确性。三、估算与口算、笔算的有机结合在全日制义务教育数学

16、课程标准（实验稿）中指出：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化。”实验稿还提出“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。” “在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”在第一学段“数与代数”的八个案例中，与估算有关的案例就有六个。在第二学段“数与代数”的十个案例中，与估算有关的案例就有五个。这些案例涉及到对大数和时间的估计，还涉及到对整数、小数和分数加、减、乘、除的估算。另外“在空间与图形”、“统计与概率”中也有一些估算的要求。估算是思维价值比较高，学生掌握起来有一定困难，在实际生活中应用十分广泛的一种计算形式。要养成良好的估算习惯，就必须细水长流、反复出现，融汇到小

17、学数学教育的全过程之中。1、估算与口算相结合把估算与口算相结合，就要在口算的基础上，适时地进行估算的基础训练。如人教版课标教材四年级上册第7879页。在口算的基础安排估算训练，还可以扩展到其他整数、小数或分数的口算教学中，这样做有利于分散估算教学难点，增强学生估算的意识，养成良好的估算习惯，为解决具体问题，选择合适的估算方法做好准备。在口算的基础安排估算训练，还要在一定量练习的基础上，引导学生概括出估算的一些基本方法。如三位数加、减三位数的估算，通常要把两个三位数转化为可以口算的整十数或整百数；一位数乘三位数的估算，通常一位数不变，把三位数转化为整十数或整百数，然后再口算；一位数除三位数的估算，通常除数不变，把被除数转化为能被除数整除的整十数或整百数，然后再口算；2、估算与笔算相结合把估算与笔算相结合，已经成为各套课标教材普遍接受的编写形式。如京版课标教材第5册第32页例题：在教学实践中，这种编排形式已经为一线教师所接受，收到良好的教学效果。（1）估算渗透了区间套思想。在这道例题中，指出了商所在的区间，明确了商是几位数，得出商的首位数字是几。（2）四则式题的估算还可以作为笔算的一种检验的方法。假如估算是正确的，但笔算的结果在估算的区间之外，那么笔算一定是错误的；如果笔算的结果在估算的区间之内，则说明笔算可能是正确的。反过来正确的笔算结果也