2412垂直于弦的直径(人教版九年级数学上册20141101）

1、 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（隋炀帝大业年间（595-605595-605年），至今已有年），至今已有14001400年的历史，是今天世界上最古老的石拱年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人. .赵州赵州桥的特点是桥的特点是“敞肩式敞肩式”，是石拱桥结构中最，是石拱桥结构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。长虹饮涧。尤其

2、是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。19911991年年被列为世界文化遗产被列为世界文化遗产. . 赵州石拱桥赵州石拱桥 1300 1300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是圆的桥拱是圆弧形弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱

3、的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).OAB24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 （垂径定理）（垂径定理）1 1、举例什么是轴对称图形。、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。2 2、举例什么是中心对称图形。、举例什么是中心对称图形。 把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180180，如果旋转后的图形，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做

4、中心对称图形。形。3 3、圆是不是轴对称图形？、圆是不是轴对称图形？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。都是它的对称轴。 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图

5、形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，CAEBO.D想一想：想一想：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦

6、所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AE=BE,AD=BD. AC=BC, 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD =BD.条件条件CD为直径为

7、直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论推论：推论：平分弦（不是直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧OABCDECDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BMAC=BC,AD=BD.可推得可推得推论：推论：“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意: :当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限

8、制的限制. .垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另

9、一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBACE EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1O OB BA AE ED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等在下列图形中，你能否利用垂

10、径定理找到相等的线段或相等的圆弧的线段或相等的圆弧.O O判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！ 一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3

11、)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦cm32cm32 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2OO的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦

12、ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习 2A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E方法归纳方法归纳: : 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABOE E例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8

13、cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的的半径。半径。讲解讲解A AB B.O O垂径定理的应用垂径定理的应用解：连接OA，作OE2+OE2=52如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦，相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.E已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆为圆心的

14、两个同心圆中，大圆的心的两个同心圆中，大圆的弦弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。.ACDBO图图再逛赵州石拱桥再逛赵州石拱桥 如图，用如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设知由题设知ABABABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石我国隋朝建造的赵州石拱桥拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对是弦的长所对是弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥