辅助角公式的推导

1、精选文档辅助角公式asin bcos402b2sin()的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化 asin bcos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式asin bcos = va2b2 sin( Kasin bcos =Ja2 b2cos( )，让一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1 .引例例 1 求证：/3sin +cos =2sin (+ ) =2cos ( -其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出结 论:可见，J3sin+cos可以化为

2、一个角的三角函数形式.般地,asin +bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢？2 .辅助角公式的推导例2化a sin bcos为一个角的一个三角函数的形式. a22 cos ), b2解：asin +bcos = a2b2 ( := sin、a2b2令La、a2b2=cos , - =sina2b2贝 asin +bcos= a2 b2 (sin cos +cos sin a2b2 sin(一» b+),(其中 tan =-)aa a2b2=sin=cos，则asin +bcos=,a2b2 (sin sin +cos cos 尸，a2b2 cos,- a、(- ),(其中 t

3、an =)b其中的大小可以由sin 、cos 的符号确定的象限，再由tan 的值求出.或由tanb 一二一和(a,b)所在的象BM来确止.a推导之后，是配套的例题和大量的练习但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令；a =cos , , b =sin ?让学生费解二是这种“规定”式的推导, . a2 b2Ja2 b2学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式asin bcos = Vo2 b2sin()来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.bcos 已经是一个角的一

4、个三图1首先要说明，若a=0或b=0时，asin 角函数的形式，无需化简.故有abM.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示，则总有一个角，它的终边经过点P.设OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数的定义知可编辑bsin =一 rbJa2 b2acos =一ra；a2 b2所以asin+bcos = a2 b2 cos sin + , a2b2 sin cos= a2b2 sin().(其中tan2.若在平面直角坐标系中，以b为横坐标，以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设 OP=r,贝 r= Ja2b2函

5、数的定义知a asin = , 二r a2b2的终边.由三角b bcos =r.a2b2asin +bcos = a2b2sinsin a2 b2 cos cosb2cos(a).(其中 tan =-)b例3化J3sinCOS为一个角的一个三角函数的形式.解：在坐标系中描点p( J3,1),设角 的终边过点P, WJ OP=r=12 =2.sin1=,cos2 3sincos =2cos sin +2sin cos =2sin(、3).tan =.2k ,； 3sin cos =2sin( 一66经过多次的运用，同学们可以在教师的指导下，总结出辅助角公式asin +bcos= a2b2 ( s

6、in.a2 b2bcos )=a2b2 a2b2 sin(、. b),(其中tan =).或者 aasin +bcos=4ab2 (a sinJa2 b2b-cos )=Ja2 b2 a2 b2 cos(a),(其中 tan =) b我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解asin +bcos 凑成 V02b2 ( ,- sin + ,-.a2b2Ja2 b2cos)的道理，以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinJ3cos 为一个角的一个三角函数的形式点(1,- J3)在第四象限.OP=2.sin32cos足条件2k ,kZ.sin2sin( 3 cos2(1sin232c

7、os )2(sincoscos sin )5)2sin( 32k5)2sin( 3).p(- J3 ,1)在第,OP=2,设角sincos足条件的最小正角为2k,kZ.sin.3 cos2(-sin2cos ) 2(sin sin cos cos )2cos()2cos( I2k2cos( 6 ).关于辅助角的范围问题由 a sin bcos a2 b2 sin(）中，点P（a,b）的位置可知，终边过点P（a,b）的角可能有四种情况（第一象限、设满足条件的最小正角为1，则2k.由诱导公式（一）知a sinbcosb2 sin(4ab2 sin( 1) .其中 1 (0,21的具体位置由sin1

8、与cos 1决定，1的大小由tan 1b决定. a类似地,asinbcos a2 b2 cos(），的终边过点P （ b,a）,设满足条件的最小正角为2,则2 2k.由诱导公式有asin bcosb2 cos()、 a,2b cos(中 2 (0,2 ), tan2的位置由sin 2和cos 2确定,2的大小，. a-由tan 2 一确止.2 b注意：一般地,2；以后没有特别说明时，角 1 （或2）是所求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为a sin bcos

9、 aa b2 sin( 1) 的 形 式 或 a sin bcos4a_b2cos(2)的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.例5 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.(1)73 sincos ；.二.，6 ,否,、(2)sin(一) cos(一).63633sin cos 2( sincos )解：22(1) 2 22(sin cos cos sin ) 2sin( )666 2 6-Tsin(T )cos(T)63632 13二sin(T) V cos(T)3 2323(2) ：°x2rsin()cos cos()sin 333332 . ,2、sin()3

10、 3在本例第(1)小题中，a J3, b 1,我们并没有取点p ( J3, 1),而取的是点p (J3, 1).也就是说，当a、b中至少有一个是负值时.我 们可以取p ( a , |b|),或者p ( b , a ).这样确定的角1 (或2)是锐角，就更加方便.例6已知向量a (cos(x ),1),b3(cos(x -), -), 32c (sin(x 一),0),求函数 h(x) = a3r r rb b c 2的最大值及相应的 x的值.21解:h(x) cos (x )-sin(x)cos(x2 、1 cos(2x -)212sin(2x 一 )232) 21 2、=cos(2x 一 )

11、2 3,2 .2=cos(2x2212-sin(2x -)232上万-)sin(2x322=cos(2xh(x)max 21112J22r 11这时2x2k12,x11 .k Z.24此处，若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁，而且易错，请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为45，半径为1,矩形PQMN内接于这个扇 形，求矩形的对角线l的最小值.，而且涉及辅角的范围，在相应范解:连结 OM,设/AOM= .则 MQ= sin,OQ= cos ,op=pn= sinpq=oq-op= cos sin