专题三：数与式内容分析与教学（一）

1、数与式内容分析与教学（一） 胡：老师们，大家好！数与式是整个初中代数内容的基础。今天起，我们谈一谈数与式内容的教学。我们将数与式的内容分为两课时介绍。本课时，先介绍有关数的内容与教学分析。 本学段主要研究的数是有理数和实数。确切地说，是负数和无理数。那么，这两类数的学习重点分别是什么呢？请马老师给我们简单介绍一下。 马：我们知道，任何数的学习，主要包括表示和运算。首先谈谈负数。引入负数，首先是解决实际问题的需要，有了负数就可以方便地表示现实世界中具有相反意义的量： 字幕：加速、减速；上升、下降；进口、出口；收入、支出；赢球、输球；向东行驶、向西行驶。等等。相比较学生以往学习的正数，增加了负数，

2、或者说形成了有理数以后，数的确定需要两个因素大小、方向。从表示法上就出现了相反数、绝对值，甚至数轴上的点。至于有理数的运算，仍然采用与小学运算相同的意义： 字幕：加法就是“合并”、减法就是“移除”。乘法与加法的关系、除法与减法的关系也是类似。所以，运算法则与运算律是不变的。所以，从学习运算的角度上看，有理数与先前的非负数的学习是相近的。 程：事实上，这一点也可以从请标准对有理数内容的要求中看到。 字幕： 1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）。 3.理解乘方

3、的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。 4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 5.能运用有理数的运算解决简单的问题。 胡：下面我们谈谈无理数吧。 马：从历史上看，无理数的出现首先是数学上的一种“觉悟”：比如，单位正方形的对角线长总是一定的，究竟是多少呢？在有理数集里找不到答案。所以引入了新数：无理数。再将它与有理数做类比，可以得到相同的表示法，以及四则运算法则、运算律。这些与有理数的出现很接近。当然，由于无理数的引入，数的运算就多了一个种类开方。 程：标准对实数学习的要求是： 字幕：1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方

4、根、算术平方根、立方根。2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 6.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 胡：我想很多老师关心的是数的教学应当抓住哪些重点。 程：我想，从前面的分析，不难发现，数的学

5、习关键是“表示法”和“运算”。其中，表示法比较新相对小学而言，多了方向的要素，学生可能开始不习惯，这里，借助数轴可以对教学有所帮助：在数轴上看3与-3的异同点、看2与-3之间的距离，等等；其次，运算则更多地体现为相似从运算法则到运算律。所以可以采用类比以往运算的方式，让学生从实例中归纳出运算律。这样不仅可以加深学生对知识的理解，还可以发展他们的归纳与类比能力。 字幕： 数的表示：借助数轴可以对教学有所帮助：让学生在数轴上看3与-3的异同点、看2与-3之间的距离； 数的运算：类比以往的运算，通过实例归纳出运算律。 需要注意的是，最简二次根式的引入主要是明确相关运算的要求算到哪一步为准。而不希望引

6、入复杂的根式运算，特别地，标准明确指出， 字幕：根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如，等。为此，标准专门提供了案例48：计算：（1）；（2）。 其实，如何教学有理数运算，广大一些教师作了许多探索，大家不妨看看以下文章立足学生原有认知结构 重构有理数加减运算。出处？讨论问题？阅读材料 有理数的小知识有理数的含义。有理数是指一切形如的分数。一切分数都可以化为有限小数或无限循环小数，因此，我们可以基于小数来定义有理数：“有理数是有限小数或者无限循环小数（无理数是无限非循环小数）”。有理数的扩充过程，一般经历了自然数（零与正整数）集合（）中添加负数形成整数集（），在整数集体中添加分数形成有理数集（）。有理数，英文的单词：rational number，意思是“理性的数”，翻译