新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

1、第二章：实数知识梳理【无理数】1 .定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2 .常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有 的一些数，如：2- , 3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2 ,（5）开方开不尽的数，如 72%；'5,"9等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：J9等；无理数也不一定带根号，

2、如：）3有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数： 3.141、0.33333、 J507、兀、 $2.25、 2 .0.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有;是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125- ,0.1010010001- ,- ,J4 ,处2其中无理数有 （）个【算术平方根】：1 .定义：如果一个正数x的平方等于a,即x2 a,那么，这个正数x就叫做a的算

3、术平方根，记为：“八”, 读作，“根号a"，其中，a称为被开方数。例如 32=9,那么9的算术平方根是3,即J9 3。特别规地，0的算术平方根是0,即J0 0,负数没有算术平方根2 .算术平方根具有双重非负性：（1）若V'a有意义，则被开方数 a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3 .算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：互；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：iva。例：（1）下列说法正确的是（）A. 1的立方根是1 ;(2)下列各式正确的是()A、场 9B、

4、3.14(3)式3)2的算术平方根是 B . J42 ; ( C)、v'81 的平方根是3 ;(D)、0没有平方根;3.14C、27913 D、用 33 22(4)若 Jx有意义，则 JX1 0,求c的取值范围。(5)已知 ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a 3 (b 4)2(6)(提高题)如果x、y分别是4-小的整数部分和小数部分。求 x - y的值.平方根：1 .定义：如果一个数x的平方等于a,即x2 a,那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方(也 叫二次方根)，记做：xJa(a 0)2 .性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一

5、个平方根，它是 0本身； (3)负数没有平方根例(1)若寸'7的平方根是土 2,则x=; J16的平方根是 (2)当x 时，J3 2x有意义。(3) 一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少？这个正数是多少？3. «a)2(a 0)与d/的性质1 1) (<a)2 a(a 0)如：47)2 7(2) Ta2 |a|中，a可以取任意实数。如 后 |5| 57r3)2 |-3| 3例：1.求下列各式的值(1)肝(2)期17)2(3) (-J49) 22 .已知，(a 1)2 a 1,那么a的取值范围是 。 3.已知2<x< 3化简J(2-x)2 |x 3

6、| 。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数 x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记 为呜，读作，3次根号a。如23=8,则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1, -1.例：(1) 64的立方根是 若需 2.89,3 ab 28.9,则b等于(3)下列说法中：3都是27的立方根， 浮 y ,J64的立方根是2,3，8 24。其中正确的有 ()A、1个B、2个C、3个 D、4个【估算】用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并

7、采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m,是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m,答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根(立方根)及开平方(开立方)的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。例：估算下列各数的大小(1) 7327(误差小于 0.1)(2) J327(精确到 0.1)(3) 3/3345(误差小于 1)用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围

8、，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：(1)若a> b>0,VaVb(2)若 a>b,贝U3G3/b或 a3b3(3)若a、b都为正数，且a> b时，则s2>b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3V <10 < 4方法二：作差法。如 a>b则a-b> 0.方法三：乘方法如比较26与3m的大小。例：比较下列两数的大小(1). 10-325、2与3, 5定义：(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。 (2)实

9、数也可以分为正实数、0负实数。1a(a 0)实数的性质：实数a的相反数是-a;实数a的倒数是一(aw 0)；实数a的绝对值|a|=,它的几何意义aa(a 0)是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则： 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系： 每个实数与数轴上的点

10、是一一对应的(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。(2)数轴上的每个点都表示已个实数。例：(1)下列说法正确的是()；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有 V? ; D、不带根号的数都是有理数。(2) a, b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()11>a0 bA、7a bB、vabD、vba(3)比较大小(填“>”或“ <”).3 Tic ,J3 v20 ,7<6 6J7 ,(4)数"2, 3的大小关系是()A. .732B. 3'72 C.2.73D.327(5)将下列各数:2

11、,3f-8,<3, 1 J5,用 “v” 连接起来;(6)若 a 3,Jb 2,且 ab 0,则：a b =【二次根式】定义：形如ja(a 0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“ J ”,如J9是二次根式，而 J9 =3,3显然就不是二次根式。(2)被开方数a可以是数，也可以是代数式。若 a是数，则这个数必须是非负数；若 a是代数式，则这个代 数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式(1) V-3 V73f(3) -Ti(4) J2；3二次根式的性质：性质1： Tab 7ajb(a 0,b 0)积的算术平方根等于积中各

12、因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对 二次根式进行化简。性质2：担 iR.(a 0,b 0)商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。、, b b最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1化简:(1) 12 15(2) V27a4b2(b 0).lx整理范本2.计算:.1. 0.523 1 1 84.273 0.1253116._ 2 一一33.已知：x 7121, y 10.064 ,求代数式Jx 2Jx 10y 3/ 245y 的值。6.(提高题)观察下列等式：回答问题:1 1 -X2 2 1116n表示的

13、等式，并加以验证。（1）根据上面三个等式的信息，请猜想（2）请按照上式反应的规律，试写出用课后练习一、重点考查题型：1.-1的相反数的倒数是 2.已知| a+3|+M1 =0,则实数（a+b）的相反数3 .数一3. 14与一J!的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5 .和数轴上表示数3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是 6 .在实数中几一5 ,0,由 -3. 14,出 无理数有 个7 . 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数 （D）正数8 .若 x< 3,贝b x+3 | =。9 .下列说法正确是（）（A）有理数都是实数（B

14、）实数都是有理数（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10 .实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：(1) c-b 和 d-a(2) bc 和 ad二、考点训练：*1.判断题：(1)如果a为实数，那么一a一定是负数；()(2)对于任何实数a与b,|a b|=|b a|恒成立；()(3)两个无理数之和一定是无理数；()(4)两个无理数之积不一定是无理数；()(5)任何有理数都有倒数；()(6)最小的负数是一1;()(7) a的相反数的绝对值是它本身；()(8)若|a|=2,|b|=3 且 ab>0,贝U a b=-1;()2.把下列各数分别填入相应的集合里

15、| 3| , 21. 3, 1 . 234,ctg45° ,1.2121121112 中无理数集合2 ,m，(也-a/3 )0, 3 2负分数集合整数集合 非负数集合*3.已知 1<x<2,则 |x 3|+(1-x)2 = 4,下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数?-3,业-1, 3,- 0. 3,3 1,互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： *5.已知x、y是实数，且(X-2 ) 2和| y + 2 |互为相反数，求x , y的值6.a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2,|a+b|求;+4m-3cd=2m +1*7.已知,一 、2.2(

16、a - 3b) +| a 4|a+2=0,求 a + b =三、解题指导:1.卜列语句正确的是（A、无尽小数都是无理数B、无理数都是无尽小数2.2.C、带报号的数都是无理数和数轴上的点对应的数是（A、整数B、有理数零是（C、D、无理数A、最小的有理数B、绝对值最小的实数4.如果a是实数，下列四种说法:（1） a 2和| a |都是正数，（2） |不带报号的数一定不是无理数oC、最小的自然数=a,那么a一定是负数,D、最小的整数1（3）a的倒数是a , （4） a和一a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有*5.比较下列各组数的大小: 2 >/3 _Vl2(2)a<b<0 时，

17、a 6.若a,b满足|4-a2|+ a+ba+22a+3b=0,则a的值是*7.实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|二|c|(1) 判定a+b,a+c,c-b的符号(2) 化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8.数轴上点A表示数一1,若AB = 3,则点B所表示的数为9 .已知 x<0,y>0,且 y<|x| ,用"<"连结 x, x, 一 |y| , y。10 .最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11 .绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12 .

18、把下列语句译成式子：(1) a是负数; (2) a、b两数异号； (3) a、b互为相反数(4) a、b互为倒数; (5)x与y的平方和是非负数 ;(6) c、d两数中至少有一个为零 ; (7) a、b两数均不为0。*13.数轴上作出表示也，3 ,一寸5的点。四.独立训练：1 . 0的相反数是, 3- ji的相反数是,38的相反数是; ji的绝对值是, 0的绝对值是,木-木的倒数是2 .数轴上表示一3. 2的点它离开原点的距离是 。A表示的数是一:，且AB=J ,则点B表示的数是。232 223 -3/3 ,m1也)o-y ,0. 1313- -,2cos6(0i 31,1. 101001000(两 1 之间依次多一个0),其中无理数有,整数有,负数4 .若a的相反数是27,贝U | a|=； 5.若|a| =y2 ,贝U a=5 .若实数x, y满足等式（x+3） 2+ | 4-y | =0,则x + y的值是6 .实数可分为（）A、正数和零B、有理数和无理数C、负数和零 D、正数和负数*7.若2a与1 a互为相反数，则a等于a=8.当a为实数时，yja = -a在数轴上对应的点在（）A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧D、原点或原点左侧aba b*9.代