空间角的求法精品(教案)

1、空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是 转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是： 一找、二证、三计算。一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围:（一）平移法【例1】已知四边形 目 为直角梯形， I , ri , 平面 回，且日 ,，求异面直线 PC与BD所成角的余弦值的大小。【解】过点目作 目 交回的延长线于|回，连结回，则回与臼所成的角为 目或它的补角与由余弦定理得M回与| Ld所成角的余弦

2、值为 0（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱 I I的底面边长为8,侧棱长为6,凹为回 中点。求异面直线|_x|与回所成角的余弦值。【答案】02 / 8,所以1为等边三角形。，点id在平面回、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围:方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2如图，在三棱锥中，I X I ,X ,内的射影百在Ld上，求直线 回 与平面 El所成的角的大小。【解】连接叵，由已知，三J为直线回与平面H所成角设Ld的中点为|回，连接日 。I,所以 I I不妨设 gj ,则I【变式练习1】如图，四棱锥 i = i 中，,侧面 叵1为等边三角形。_ ,求w与平面国所成的角的大小。【解】

3、由平面叵知，平面平面回作三j ,垂足为| 国 ,则曰平面回作 I * 1,垂足为s ,则 I连结回，则 I I ,又 I - I ,故o平面三 ,平面三I平面三I作 * 1, |回为垂足，则 J平面向I ,即回到平面E的距离为三由于 L=J ，所以凹平面X ,故回到平面H 的距离11也为回设与平面|臼所成的角为回，则 I x |,则 I x |【变式练习2】如图，在四棱锥,求直线臼与平面上|所成角的正弦值。于点寸，连接Ld面山，则 3 是直线皿与平面 0 所成角中，底面目是矩形,F!平面 L=l I中,中,面角的求法面角的范围:求二面角的大小， 关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角

4、度出发，有以下几种方法：（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等） ，过这一 “点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱锥 行I中,求二面角的余弦值。X I ,则 * 为可3 / 81,与面目所成角的大小为 回,求二面角 的大小。【解】在回上取 21 ，作【变式练习】 如图，点21在锐二面角1= 的棱 K 上，在面目内引射线 归|,使H 与臼 所成【解】在射线|臼上取一点|回，作 日 于点可作 1 = 1 于回（二）利用三垂线三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线

5、在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面 内的射影。从半平面| h内的任一点d出发向另一个半平面 回引一条直线 臼，过日作棱的垂线 X ,垂足为国，连回，则由三垂线定理可证日 ，故 日 就是二面角 口山 的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面 内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。，点回在平面回【例4】如图，在三棱锥中， I x , 匹内的射影 另在日 上，求二面角的大小。【解】过臼中点作于回，连接回，由已知可得，回平面山据三垂线定理可知，

6、则叵为 Ji的平面角易知，若闫则InJ , I x 在 中， I x -【变式练习】在直三棱柱I I 中， I X |, I X I ,直线区|与平面区成二角，求二面角|y|的正弦值。【解】由直三棱柱性质得平面可 “平面 XI ，过Id作叵I日平面|x垂足为回，则日平面|x| （回即为我们要找的垂线）在平面Lrl内过回作回凶棱，垂足为习，连囚则 区I即为二面角的平面角。上|在平面巨内的射影为也J , I I| I ，又 | 23-= I,得 I X IT直线匡与平面巨成引角一 ，又 ，则 二 中，由勾股定理得L=Jri ,在 中， I I ,得 | x |E=J即二面角l x |的正弦值为0从

7、不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ 回 ）求出二面角的大小,。求证： X I【例5】如图，网为正方体 | 一 | 的棱J 的中点，求平面 山 和底面 L 所成锐角的余弦值。【答案】所求二面角的余弦值为10 / 8【变式练习】如图,时是正方形匕J所在平面外一点，且求面口与面三I所成二面角的大小。四、真题演练1 .（山东）已知二棱柱1 X 1 的侧棱与底向垂苴，体积为_为底面 山 的中心，则 可 与平面 叵1所成角的大小为（回回3 3回日

8、2 .（大纲）已知正四棱柱1 - 中，|_=_| ，则 叵与回国同目囚区3 .（山东）如图所示，在二棱锥占J 中， 山 平囿 3J1 X 1 , 1 X1 的中点，1 X 1 , H与叵交于点11）证明：臼/ H ;（2）求一面角的余弦值。4 .（陕西）如图，四棱柱1 II的底面日是T ,=1。（1）证明： LJ平面 1工1；（2）求平面LrJ与平面1-1的夹角4的大小。,底面是边长为凶的正三角形，若回）回X半面山所成角的止弦值等于（）3 0,1 4 , 1 1 分别是J ,叵与叵交十点21 ,连接回。P上方形，为底向中心，山平囿D_AB5 .（湖南理）如图在直棱柱L=J（1）证明:;（2）求

9、直线叵|与平面山所成角的正弦值。6 .（四川理）如图，在三棱柱I 中，侧棱 EI底面 石, I _ I ,1_2壬J,回分别是线段二|的中点，”是线段|臼|的中点.（1）在平面 国 内，试作出过点与平面 上平行的直线可，说明理由，并证明直线 臼平面LT ； （2）设（1）中的直线，交LJ于点1 ,交 自 于点3|,求二面角| I的余弦值.BBi7 .如图，在四棱锥 N3 中，I I 且;平面 曰|凹|平面 日I 一二 ;为回的中点， I I .求：（1）点回到平面ijj的距离；（2）二面角 r 1 的大小。【解】（1） 一1,且 曰 平面 巨1j -平面 叵则|回点到平面 叵的距离等于点到平面 巨的距离可平面日平面 _故 ,从而巨口由 mi ,得又由 I 7 知回平面日从而叵为点| k到平面叵的距离(2)如图，过佃作 1一 1,交回于点-,又过M点作 | 一 1 交臼于：J故 nn 为