1以知识为依托发展学生的推理能力

1、对推理能力的理解及培养策略推理在数学中具有重要的地位。标准（2011年版）指出，“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”在总目标中指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。小学数学的演绎推理演绎最基本的形式是三段论，它是一个包含大前提、小前提和结论部分的论证形式。三段论又有很多种形式，其中最典型的是全称肯定型。比较有代表性的例子是亚里士多德给出的“凡人皆有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死”。这

2、句话中分为三个短句，依次是大前提、小前提和结论。 在小学数学中，有很多地方都涉及演绎推理，比如加法运算的规则，乘法运算的规则、分数运算的规则、基本平面图形的面积公式和三角形内角和公式等。从本质上讲，自然数的加减法都是数数，都是+1的复合，不同的是，加法是顺着数，减法是倒着数。从这种意义上讲，a+b 就表示在a的后面依次顺着数数，最后一个数到几，结果就是几；a-b就表示a的前面顺着依次倒着数数，最后一个数到几，结果就是几。但是，当数字很大时，我们一个一个地数数，需要花很长时间，于是人们便发明了笔算加减法，其本质是十进制计数法的“位置原理”。当加数和被加数的同位数字相加不超过10时，其结果是同位数

3、字上的数分别相加的结果。比如35+23（3105）（2103）=（310+210）+（5+3）=（3+2）10+（5+3）=510+8=58。同理可以得到，当减数同数位上的数字小于等于被减数时，其差是同位数字上的数分别相减的结果。当情况与上述情形相反时，问题就显得复杂了，这就是所说的进退位加减法。对于加法，要遵守“满十进一”的原则，当同位数字之和大于10时，结果向前进位（前一位相当于加上一），而把余下的数字作为同位数字相加的结果。比如，35+28=（310+5）+（210+8）=（310+210）+（5+8）=（3+2）10+13=510+13=510+110+3=（5+1）10+3=610+

4、3=63。现代乘法竖式的计算规则是利用乘法分配律来完成的。比如，要计算bcxyz,根据十进制计数法，可改写bc（100x+10y+z）；根据乘法分配律，等于（bcx）100+（bcy）10+bcz。此外，几何中的演绎思想同样有体现。平行四边形面积公式的推导，可以采用演绎的方式得到。在教学中可以这样操作，教师发给学生一个平行四边形和一把剪刀，然后提问：怎样推导平行四边形面积的公式呢？现在做个实验：把平行四边形剪一刀，拼成一个长方形。等学生操作结束后，教师继续提问：你是沿着哪条线把平行四边形剪开的？剪 开后，你是怎样拼成长方形的？平行四边形转化成长方形后，什么变了，什么没变？长方形的长与平行四边形

5、的底有什么关系？长方形的宽与平行四边形的高有什么关系？根据这些条件，你能推导出平行四边形的面积计算公式吗？小学数学的归纳推理归纳推理，是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，是一种基于推断的推理。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等，因此，通过归纳推理得到的结论是或然的。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，通过事物的现在推测它的将来或者过去，或者根据事物的过去和现在推断它的将来。很多数学结论，都是通过归纳推理先得到的结果，再辅以演绎推理加以证明。比如，费马达定理、庞加莱猜想等，几百年前就被发现了结论，到20世纪末21世纪初才被数学界证明了。因此，

6、很多数学家都认为，数学结论是看出来的，而不是证出来的，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向；而且，看的过程表现出很大的创造性，这正是数学不断创造新成果的一种重要方式。在小学数学中，我们使用最多的归纳推理是简单枚举推理（也叫做不完全归纳推理），即从一些个别或者特殊事物出发，概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。从某种程度上讲，小学数学的知识都建立在简单枚举推理的基础之上，因此，我们在教学中要重视简单枚举推理的教学，要引导学生进行充分想象与联想，根据已有的知识经验去发现数学的新结论、新方法。比如，对于“鸡兔同笼”的教学，就可以采用简单枚举的形式，让学生体验归纳推理的全过程 。首先

7、，教师呈现问题，“鸡和兔同在一个笼子里，数一数一共有35个头、94只脚，问鸡和兔名有多少只？”然后引导学生分析题目隐含的条件，一只鸡有一个头、两只脚，一只兔子有一个头、四只脚。如何解决这个问题呢？我们可以用列表的方法进行尝试。通过列表，学生可以归纳出，每增加一只兔子（用一只兔子换一只鸡），脚的数目增加2，怎么才能从70增加到94呢？比较自然的方法有两种；一种是沿用刚才的思路一直写下去，当鸡的数目为23而兔子的数目为12时，刚好232+124=94；另一种是70只脚到94只脚还差24只脚，需要将其中的12只鸡换成12只兔子，这样23只鸡和12只兔子，刚好有94只脚。如果老师们想让学生用列方程的方

8、法解决鸡兔同笼问题，也可以顺着列表的方法进行教学。如果我们用a表示鸡的数目，那么兔子的数目为35-a，上面的表格自然变成这样的形式，这样学生就逐渐归纳出合适的方程为a2+（35-a）4=94。又如，在学习“长方形的面积公式”时，老师可以让学生在方格纸上观察一些典型的长方形，然后写出它们的面积，就很容易归纳出“长方形的面积等于长乘宽”。其实，运用归纳的形式进行教学，学生很感兴趣，因为每个学生都可以用自己的思维方式看数学问题，都能有自己独特的发现，都能体会到数学发现和创造的乐趣，都能经历数学家的过程。纵观千余年的历史，除法竖式经历了若干次演变，才到了今天的形式。它表现为程序性的运算形式，如果不理解

9、其实质，仅靠死记硬背和机械运算，就容易出现差错。因此，“除法竖式”的数学，要让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清“要分层书写”“除到哪位商到哪位”和“不够除补零”等形式中隐藏的道理，并在此基础上领悟除法竖式的数学本质。下面我们通过一个数学实例，来看看怎么运用归纳推理的方法进行除法竖式的数学，来看一看这种抽象化、形式化的数学内容是怎么被学生生动活泼地创造出来的。第一步，探索除法竖式的表达形式师：老师为每个学习小组准备了42根小棒，请动手把它平均分给两个小朋友。分完后，请告诉老师，你是分几步完成的？第一步对应的数学算式是什么？生：我分两步来分的。第一步，把4捆平均分给两个人，每人两捆，对应算

10、式42=2；第二步，把两根平均分给两个人，每人1根，对应算式22=1（老师把一两个算式写在黑板上）。最后结果为，每人21根。师：很好。如果我让大家用除法竖式表示，你怎么表示？（学生给出三种表达方式，并简单解释各数的含义。）师：好，非常好。请把同学们把小棒放回上课前的样子。老师要提新问题了：把这42根小棒平均分给3个小朋友，你怎么分？请你分一分，分完后请告诉老师，你是分几步完成的？每一步对应数学算式是什么？生：我分三步来分的。第一步，把4捆平均分给3个人，每人1捆，还余下1捆，对应算式43=11；第二步，把余下一捆打开，和2根放在一起，得到12根，对应算式10+2=12；第三步，把12根平均分给

11、3个人，每人4根，对应算式123=4（老师把三个算式写在黑板上）。最后结果为，每人14根。师：很好。如果我让大家用除法竖式表示，你怎么表示？学生给出三种表达方式，并简单解释各数的含义。评析：从实物操作到算式表达，沟通了除法算式从直观到抽象的联系，并为下一阶段的学习打下基础。同时，让学生用自己的方法书写除法竖式，不但能培养学生的数学表达与交流能力，还能培养学生的创造力。第二步，体会现代除法竖式的优点师：这三种表示方法可以看作三种计算除法的方法。假如我让大家用除法竖式计算423，你觉得哪种计算方法好？为什么？生：第一种好，因为它反映了刚才分小棒的三个步骤，并且隐藏了每一步所对应的算式。生：第一种方

12、法应该具有代表性，刚才422也可以用它来算。它把除法这种比较复杂的运算，分解为一些按顺序计算的简单计算，并适当记录了中间计算的过程和最后的结果。师：你的见解真深刻！大家对另外两种方法怎么看？生：第二种虽然简单，但体现不出过程，数字大了看不出结果。生：第三种用了两个算式，比较浪费，还是一个竖式对应一个问题好。还有一个问题是，分4捆的算式43=11在第三种方法里变成了403=1010，违反余数要小于除数的原则。师：用竖式计算422，我们以后选择哪一种？生：第三种，其实，第三种方法就包括了前两种所表达的意义（解释略）。评析：通过辨析，让学生领悟现代除法竖式的优点，领悟数学表达的简约性与计算方法的程序

13、性，让学生领悟一种深层次的数学美，进而进而培养学生对数学的热爱和积极学习数学的情感。第三步，体会除法竖式的算法师：请同学们再次把小棒放回上课前的样子。老师又要提新问题了：把这42根小棒平均分给4个人，请你用刚才的第一种方法分一分，分完后请告诉老师，你是分几步完成的？第一步的数学算式是什么？生：分三步来分的：第一步，把4捆平均分给4个人，每人1捆，对应算式44=1；第二步，把第一步余下的和2根放在一起，得到2根，对应算式0+2=2；第三步，把2根平均分给4个人，每人0根，余下2根，对应算式24=02（教师把三个算式写在黑板上）。最后结果为，每人10根余下2根。师：你能用除法竖式表示吗？生：能（写除法竖式，并找出隐藏在其