第十章10.3第二课时复数三角形式的乘除法2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、第二课时复数三角形式的乘除法课标要求素养要求i.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方 运算.2.掌握复数的代数形式与三角形式的运 算特点.从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养，提升数学运算素养.课前预习 知识探究教材知识探究，情度引入复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算 .问题 三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？提示 三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使运算简便.B新知梳理1.复数三角形式的乘法简记为：模数相乘，辐角相加设复数 zi = ri (cos 削+ isi

2、n 例)，z2=r2(cos 色 + isin a)，则 ziz2= ri(cos 0i +isin d)x r2(cos (2+ isin (2) = rir2cos( 6 + (2)+isin(0i+ (2),即由两个复数 zi, z2 的三角形式可得ZiZ2的三角形式：Zi的模乘以Z2的模等于ZZ2的模,Zi的辐角与 Z2的辐角之和是ZiZ2的辐角.几何意义：设Zi, Z2对应的向量分别为OZi,粒2,将OZi绕原点旋转J2,再将OZ i的模变为原来的E倍，如果所得向量为OZ,则OZ对应的复数即为ZiZ2.2JT数的乘方简记为：模数乘方，幅角n倍r(cos 0+ isin 9n=rnco

3、s(n ®+isin(n 町,nCN,即复数 n 次黑的模等干模的 n 次方,辐角等于复数辐角的n倍.3.复数三角形式的除法 简记为：模数相除，辐角相减、门一3rzi ri (cos 8 +isin 削)设复数 zi= ri(cos U + isin 制)，z2=r2(cos (2+ isin 但)，则二=;.一'八 '"z2 r2 (cos (2+isin 色)rizi= r2cos（如一（2）+isin（鱼一切,即由两个复数zi, z2（z2w0）的二角形式可得z2的二 zi . zi角形式：zi的模除以z2的模等于z2的模，zi的辐角减去z2的辐角是z

4、2的辐角.教材拓展补遗微判断兀兀 1 .复数z= 2 cos 3+ isin 3的共腕复数的二角形式为 z = 2 cos - isin 3 .(X)提示 z与z在复平面内对应的点关于x轴对称，故z的三角形式为2 cos 3 + isin 3 .2. cos 3+isin 3微训练1 .把复数a+ bi（a, bC R）在复平面内对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（）A.a biB.-a+biC.b-aiD.-b+ai解析 按顺时针旋转90°,即将复数与i相乘，所求复数为（a+bi） （-i）=b ai.答案 C一亡 了 了 . &2 .

5、 2 cos 4+isin 4 cos 3+ isin 3冗 冗4+351、 匚冗 冗斛析原式=42 cos 4+3 + isin =2 co鼐 + isin12.答案 42 cos 12+ isin 12-13 .z= 2(cos 20 平 isin 20 ),则 g=解析1 cos 0 4 isin 0 0z 2 cos 20 + isin 20)1= 2cos(20 )+isin( 20 ).答案 2cos(20 ) + isin( 20 )微思考1 .三角形式下两个复数相乘，积的辐角等于这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐角主值”吗，即arg(z1z2)与argz1, arg

6、z2有怎样的关系？提示 积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一个，求和角，所有和角 组成的集合，即为积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和.arg(z1z2)=argz1 + argz2+2kTi；其中整数 k使 argz1 + argz2+2kTtC 0 , 2兀.)2 .由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解复数乘法的几何意义？提示复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向与角度取决于从另一 复数的辐角集合中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小.课堂互动【例11题型一复数三角形式的乘法(1) 2 cos -3+ isin 53 co

7、s 6+ isin 6 ； (2)3(cos 20 +isin 20 ) 2(cos 50 +° isin 50 )10(cos 80 + isin 80 ) - 77. . 7 冗(3)( 1 + i)43 cos4 升 isin 解原式=2X3 8s 246+isin/6 =6 8s 衿 isin 5f = 3«+31 (2)原式=3x 2x 10cos(20 + 50 +80 )+ isin(20 书50 +80 )= 60(cos 150 + isin 150 户二 30>/3+30i./7 7t 7 7t(3)( 1 + i) y3 cos 彳+ isin

8、彳=2cos isin ?cos + isin ?cos3+ 7f + isin 亨 + 7f55 7ticos 2冗+ isin -2 = p6i.规律方法两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的 辐角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.【训练 1】 已知 zi =8(cos 240 书 isin 240 ),° z= 2(cos 150 isin 150 ),° 求 ziz2 的代数形式.解 Z2 = 2(cos 150 - isin 150 ) 0 =2co

9、s(150 )+ isin( 150 J, Z1Z2 = 8X2cos(240 - 150 ) + isin(240 - 150 )= 16(cos 90 +isin 90 )=l6i.题型二 复数三角形式的除法_ 一 。 1【例 2】 计算：i3+2 (cos 120 isin 120 ).1解 i3+2 (cos 120 +isin 120)1，。、。=i 5 (cos 120 +isin 120 )1，、二(cos 270 + is in 270 )博(cos 120 + isin 120 )=2cos(270 120 )°+ isin(270 120 )= 2(cos 150

10、 +isin 150 )=二V3+i.规律方法 两个三角形式的复数相除（除数不为0）,则商还是一个复数，它的模 等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的 辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算【训练2】 计算:(1)4 cosisin f +2 cosisin ; 3366(1+V3i) (V3+i) (1 + i) (-1-i) 2 (-1 + i)(1)4 cos -3- + isin _3+2 cos 6 + isin -6二2cos 432t 52t + isin 竽一年=2 cos 2+ isin 2 =2i._、，匚.一九.冗(2

11、) = 1 + y3i = 2 cos 3+ isin 3 , V3+ i = 2 cos 5T+ isin 562c, 1 + i="2 cos 4+isin 4 ,1 i =亚 cos 52t+ isin 学，1 + i =啦 cos #十 isin #,C) (-y3+i) (1 + i)( 1 _ i) 2 ( 1 + i)_tc 5jt jrcos 3+ 6 + 4+isin 3+ 沿 4cos 乎 + isin 5+ 宁九 5冗 冗 5冗 3冗 . 九 5冗 冗 5九 3冗2 cos 3+ 6 +4- 2 - 4 +isin 3+ 6 +4一 2 一 411. .11=2

12、 cos 6 冗 + isin - 6 九=3+i.题型三 复数乘法、除法的几何意义【例3】若OZ1与OZ2分别表示复数zi = 1 + 2V3i, Z2 = 7 +#i,求/ Z2OZ1并判断 OZ1Z2的形状.Z1解 欲求/Z2OZ1,可计算Z2.Z1 1 + 2 5i (1+2*i) (7-V3i)1+V3iz2 7 + 正厂(7 + V3i)(7-V3i)一=-='1 冗，. .冗=2 cos 3+ isin 3，/ Z2OZ1 =3由余弦定理，设|OZi|=k, |OZ2|=2k(k>0),则 |ZiZ2|2= k 4- 3-2- 4- 3-=2 cos -3"

13、; + "3"+"4 +isin 万+丁+(2k)2 2k 2k cos33k2, . Z亿2| = V3k,而 k2+(V3k)2 = (2k)2, .OZ1Z2为有一角为60°的直角三角形.规律方法 复数相乘、相除实质上就是复数所对应的向量的旋转和伸缩， 旋转的 角度与方向，取决于另一复数的辐角的正、负与大小【训练3】 设复数Z1, Z2对应的向量分别为OZ1, OZ2, O为坐标原点，且Z1=1+用,若把OZ1绕原点逆时针旋转 李，把OZ2绕原点顺时针旋转 丫 所得 34两向量恰好重合，求复数Z2.解依题意知（病8苧isin短cos.4JT, .

14、. 4JT3jr, . . 3jt-Z2 = ( 1+3i) cos 3 + isin 3 cos 4 +isin 4八 11 , . . 11=2 cos 1 冗 + isin 彳兀=一2+ /2i.核心素养II全百捉升、素养落地1从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方等运算的几何意义，培养学生 的逻辑推理素养，提升数学运算素养.2 .两个三角形式的复数乘法法则：模数相乘，辐角相加；乘方法则：模数乘方, 辐角n倍；除法法则：模数相除，辐角相减.3 .做复数的乘法运算时，三角形式的代数形式可以交替使用，但结果一般保留代数形式，复数的乘、除法可以理解为对应向量的旋转与伸缩 .二、素养训练1

15、.复数z= sin6一icos若zn=z (nC N),则n的最小值是(A.1B.3C.5D.7解析z= sin7t7t6T8s 6=工，. 工 cos 3 + isin 3 ,工_不工nz cos 3+isin 3 cos 3 + isin 3n最小值为5.=cos Y + isin 孑,由于 n C N ,答案 C2 .复数z= (sin 25 +°icos 25 f的三角形式是()A.cos 195 + isin 195 0B.sin 75 书 icos 75 0C.cos 15 + isin 15 0D.cos 75 + isin 75 0解析 z= (sin 25 +

16、76;icos 25)3 = (cos 65+isin 65 )3=°cos 195 + isin 195.0答案 A3 .把复数3 J3i对应的向量按顺时针方向旋转1冗，所得向量对应的复数为()3A.2mB.-2V3iC.V3-3iD.3+V3i解析3 43i = 2V3 cos 6 + isin -6，顺时针方向旋转J即得z=7t7t7tcos6+isin 6 +cos 3+.冗 _ rrisin 3 =237t7tcos 2 + isin 2=2：3i.答案 B4 .计算:3(cos 15 isin 15 ) (1 + i)也(sin 22 -P icos 22 户解析原式=3

17、 cos(15 ) + isin(15 )cos 45 4 isin 45 )、/2(cos 68 书 isin 68 ) 0=3X亚x 也 cos(15 °+ 45 °+68 ) + isin( 15 + 45 68 )= 6(cos 98+is in 98 ).答案6(cos 98° + isin 98 ) °课后作业基础达标、选择题1.复数Z= cos 15+isin消是方程x5+ a= 0的一个根，那么a的值为()3 1A.-2+2iB.2+当C. 一122iD. 1当解析z5=57tcos 15+ isin 岳 =cos3+ isin 3 =2

18、+返5a= - z =2.若复数1 + i1-i为实数，则正整数n的最小值是(A.1B.2C.3D.4解析1+icos 4+ isin 41-icos亚 cos -4+isin_rc4n .5 2+ isin 2 =cos n+ isinnjt2，由sin，0,得n= 2k(kC Z),又n为正整数，n最小为2.答案 B3.计算 4cos75+isin 喘1sin 3+ icos 3的结果是（）1212233AC 5 j 5A.2 cos 12+isin 12 冗B.2 sin 12 + icos 12一冗，一冗C.2 cos 4+ isin 4_ _九，一冗D.8 cos 4+ isin 4

19、一 一，、冗斛析 原式=4 cos12+ isin7t7t12 2 cos 6+isin g2 cos 12+ 6 + isin 12 + 6冗冗=2 cos 4+ isin 4 .答案 C4 .已知关于x的实系数方程x2 + x+ p=0的两虚根a, b满足|ab|=3,则p的值 是（）“ c-1-5一A.2B. 2C.2D.1解析 方程x2+x+ p = 0的两虚根a, b互为共腕复数，设a= r（cos叶isin 0）, 则 b=rcos （一 + isin （ 9） , p=r2,又 a+b= 1, |ab|= 3,. 2rcos 9 =- 1, |2rsin 0i| = 3, r2=

20、 2.答案 C、-5 冗 ,cos 29+ isin 28,，一、，5 .设冗 线了，则复数 8s 0Tsin 0的辐角王值为（）A2 k 3 9B.3 9- 2 九C.3 9D.3 9-九cos 20+ isin 2 0 cos 20+ isin 2 0解析z=cos 30+ isin 3 0, = tK （Xcos 0 isin 0 cos （ 0） + isin （一 ®景，；3 代 3 k 15 .argz= 3 9- 2 7t.、填空题55556 .，3 cos 12 什 isin itt yJ6 cos 6 升 isin 6 冗=解析原式=3 2cos 12+ 6 冗 +

21、 isin 初九 + 6 冗=3 2cos 4+ isin 苧=3 3i.答案 3- 3i7 .设 z= ( 3*+3/2i)n, nCN*zC R 时，n 的最小值为.解析 z=( 3也+32i)n= 6 cos 32t+ isin 芋=6n cos 344isin 34 R,sin =0, = k兀k C Z), n = 3k(kC Z),又 n C N ,n 的最小值为 4.答案48 .如果向量OZ对应复数4i, OZ绕原点O逆时针旋转45°后再把模变为原来的V2 倍，得到向量OZi,那么与OZi对应的复数是.解析zi = 4i42(cos 45 + isin 45 ) = 4

22、2 cos(90 + 45 ) + isin(90 书 45 ) = - 4 + 4i.答案 4+ 4i三、解答题9 .设复数zi = *+ i,复数z2满足|冽=2,已知ziz2的对应点在虚轴的负半轴上, 且argz2 (0,冗)求z2的代数形式.解 因为 zi = 2 cos 6+isin 6 ,设 z2 = 2(cos a+ isin氏(0,九)2所以 ziz2= 8 cos 2 a+ $ + isin 2 a+ $ .,一 一 九 一 3 九由题设知 2a+ 6=2kTt+ _2(kZ), 一 2 兀所以 a= k 兀+ &(kC Z),325又延(0,冗)所以d= 3,所以

23、z2= 2 cos §+ isin § =1 +通1010.计算：（1）1一学制;(2)2(cos 50 + isin 50 ) . = 16cos( 200 ) +isin ( 200 ).能力提升 11.设 z1=1 2i, z2=1 + i, z3=1 + 3i,则 argz1 + argz2+argz3=()A. 2B.35C.5.7D.725解析argz1+ argz2 + argz3 = arg(z1z2z3)+2k乃 kC 乙又 Z1Z2Z3=(1 2i)(1+i)(1 + 3i) = 10i, . arg(Z1Z2Z3) = 2.又argz1<2&am

24、p;argz2=4, 2<argz3< tt,argz1+ argz21冗斛(1)原式=cos 3 + isinio冗37t7t+3 cos 2+ isin /10几=cos 3 + isin10几7t7t+3 cos 2+ isin 27t7t= cos "3- + isin_3 -3 cos 2+isin 5_ 1二3cos "3"_2 + isin 万一1二3,5.3.1.cos 6+ isin 6 ="6" + 6i.原式二2 (cos 50 4isin 50 )°1 4。4=2 cos(50 )+isin( 50 )4答案 C .兀一. 一一，一一12 .右复数z辆足arg(z+ 4)=6，WJ |z|的取小值为()A.1B.2