2020年九江一模理科数学试题含答案

1、九江市2020年第一次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上2. 第I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题第I卷（选择题、选择题：本大题共 目要求的.12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合M

2、x|X 5，N xx 2,则 MI N (A)A. x| 1 XB. x| 2 x 5C.x1 X 5D.x0 X 22.设复数Z满足z(1i)2 ,则Z在复平面内所对应的点位于（D）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知非零向量b 满足 Iallbl ,则 “ a2b| |2a b|” 是b ”的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解2x4.已知实数X） y满足约束条件 Xy2y 2 ,则Z X 3y的最大值为(C)A. 4B. 2Cr5D. 05.设等差数列an的前n项和为Sn ,已知13aaS1352 ,则 S9(B)A

3、. 9B. 18C. 27D. 366.已知函数f （x）是定义在R上的偶函数，当 X 0时，f（x） ex,则a3f ( 2') , b f (g9)，C fc5）的大小关系为（C）D. b.其中有C a-种起卦方法称为“金钱A. a b CB. a CbC. b a C7.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到 桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻1若每一枚钱币正面向上的概率为一，则一卦中恰有两个变爻的概率为2B. 1

4、564C.24P729(D)D毕40968.已知函数f (x) Asin( X ) ( A示，若f（ax)f (ax) O ,则 IaA. 12B.A,B（点A位于第一象限），交9.过抛物线2px(p0）的焦点F且斜率大于O的直线l交抛物线于点其准线于点若IBC3 BF ,且IAF 3 ,则直线 AB的方程为（A）A. 2 . 2x2,2 OB. . 2x y 2 2 OC. 2 2xD. . 2x y 2 O1O.半正多面体（SemiregUIar solid ）亦称"阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体A.2B.1C.4D.33

5、XOy中，已知An,12.在平面直角坐标系2Bn是圆X2 2y n上两个动点，且满足UUlU UIUUOAn QBnn2N*),设 An ,Bn到直线X - 3yn（n 1） 0的距离之和的最大值为an ,若数列 an的前n项和Sn333A.（一，）B.一，）C.（一，）D.442m恒成立，则实数 m的取值范围是(B)90分)第卷（非选择题.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,本卷包括必考题和选考题两部分学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2O分.32，）13.曲线y ex（x2 2）在点（0,2）处的切线方程为14. (X -2)4

6、的展开式中X2的系数为X15. 在三棱锥A BCD中，已知BC CD BD 2AB 、2AD=6 ,且平面ABD 平面BCD ,则三 棱锥A BCD外接球的表面积为2 2XV16. 已知双曲线C :2 1 ( a 0,b 0)的左右焦点分别为 F1, F2，O为坐标原点，点M为双曲线右a b支上一点，若F1F2 2 OM ， tan MF2F1 2 ,则双曲线C的离心率的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)在 ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c ,已知(a 3b)si nA bsinB GSi nC

7、 .(I )求角C的值；( )若 SinAsin B 匕3 , C 2 ,求 ABC 的面积.418.(本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC AlBICI中，已知四边形 AACQ为矩形,AA 6 , AB AC 4,BACBAA60 ,AlAC的角平分线 AD交CG于D .BB1Z'(I )求证:平面BAD平面AACIC ；()求二面角ABG A1的余弦值.19.(本小题满分2 已知椭圆C : XTaAV12分) 1(a b O)的上顶点为E ,左焦点为F ,离心率为于，直线EF与圆X相切.(I )求椭圆 ()设过点C的标准方程；F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于AlB两点，线段 代

8、B的垂直平分线交X轴于点+ V判断PF是否为定值？并说明理由AB20.(本小题满分12分)O随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了 5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为 启3套环境监测系统，若至少 有2套系统监测出排放超标，1200万元，日常全天候开则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统1小时的监测，且后启动的这 2套监测系统中只.设每个时间段(以 1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为P(O

9、 P 1),且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立1(I )当P -时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；2( )若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过 预算(全年按9000小时计算)？并说明理由21.(本小题满分12分)已知函数 f(x) alnx X ( a R).(I)讨论f (x)的单调性;( )若对 X (0,),f (x) ex ax 0恒成立，求a的取值范围请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

10、一题计分22.(本小题满分10分)选修44 :坐标系与参数方程在直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为1+cos1 cos2si n1 cos为参数).以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为( )设直线l与曲线C交于A B两点，求1OA1OB的取值范围0( 0(0, ),将曲线G向左平移2个单位长度得到曲线C.(I )求曲线C的普通方程和极坐标方程;九江市2020年第一次高考模拟统一考试数学试题(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上2

11、. 第I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回第I卷(选择题60分)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合M x| 1 X 5 , Nxx 2,则 Ml N (A)A. x| 1 X 2B. x| 2 x 5C. x| 1 x 5 D. x|0 X 2解:Q N x| 2 X 2M I N x| 1 X 2,故选 A.A.第一

12、象限B.第二象限C.第三象限2 解:Q Z1 i ,故选D.1 ir rr r r r3.已知非零向量a，b满足Iallbl ,则“|a 2b2a b|”是“；A.充分不必要条件r r r r|a 2b=2a b|r r r rIa 2b| |2a b|B.必要不充分条件a b 0 a b ,故选C.充要条件r r J Q r 4a b 4b =4a 4aC.D.第四象限b ”的(C)D.既不充分也不必要条件解2x4.已知实数X, y满足约束条件y 2y y02 ,则0Z X 3y的最大值为(C)A. 4B. 2解：如图，作出可行域，当直线l : X 3y14Z X 3y取得最大值T，故选C.

13、5.设等差数列an的前n项和为Sn ,已知A. 9B. 18解:Q 13a3 S13 13a3 13a7 52，a36.已知函数f (X)是定义在R上的偶函数,0时,f(x)3则 a f( 2), bf (log2)，C fC. 5)的大小关系为(0A. a b c解:依题意得a f (递增， f (Iog2 9)B. a c b3322)3f(22) f(, 5),即 b af(22)，Q 5 22C. bc,故选D. b c alog2 9 ,当 X 0时，f(x)在0,C.)上单调7.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为

14、：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到 桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻1若每一枚钱币正面向上的概率为-，则一卦中恰有两个变爻的概率为(D)2A.-64解:由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率240D 1215729' 40961 3 1P 2 (-)3-，得到六爻实际为六次独立重复试验,2 4Ik12示，若f (a x) f (a x) 0 ,则a的最小值为(A)A.B.C.TtD.5126312解：由图象易知A 2,f(0)1 ,即 2sin1 , Q2，6，11T.一.11 *2

15、4k2121824由图可知2k(kN ),Q12611111111-T412P(X 2) C62 (4)2 (3)412154096,故选D.8.已知函数 f (x) ASin( X ) ( A 0,0,-)的部分图像如图所2由 k1 得2 , f (x) 2sin (2 x) , Q f(a x) f (a x)0, f (x)关于点(a,0)对称，即6有2a kak上，k Z， a的最小值为卫，故选A.6 2 12 129.过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A,B(点A位于第一象限)，交其准线于点C ,若BCl3 BF ,且AF 3 ,则直线 AB的方程为(

16、A)A. 2 . 2x y 2 20C2 2x y ,20解:作 AA准线于A1, BBI准线于B , FF1AA 于 F1.在 Rt|BF|1, tanCBB12。，l的斜率为2.2 ,|BC|3又 BCBI:AFF1 ,|AF1|1-|AF |1 , P|AR| 2,BCB1 中，CoS CBB1直线AB的方程为y 2 2(x 1),即2.2x y 220 ,故选A.10.半正多面体(SemiregUIar solid )亦称"阿基米德多面体”，是由边数 不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体 就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六

17、个 正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为 1的正方形，粗线 部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为(D)A.B.C.16D.203解：如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图，由三视图可知,该几何体的棱长为2 ,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去 8个三棱BB1IBClyA1OFB1CF1A锥所得到的,该几何体的体积为V203故选D.11.定义aa,b,a b,已知函数a bf(x)2 52 Sin Xg()则函数F(X)A.2B.1C.4D.33g (x)的最小值为f()(A)2解：依题意得F(X) f(x)，F(X)g(x),则 2F(X)f() g(x)

18、,C22 cos Xf(x)g(x)12 sin2 X 22cos X1 13(2 sin2x1穴“2sin2 x)2(2 cos x)1(222 cos X22 Sin X22 sin X、2-)cos X1(22 22 cos X 2 sin x、2 Sin x 2 cos X-(当且仅当2 cos X32 sin222 Sin XBn . 2,即 Sin X2 cos X2CoS X”成立.此时,f (X) g(X)32F(x)F(X)的最小值为,故选A.312.在平面直角坐标系 XOy中，已知An，2 2 2Bn是圆X y2UnJJn上两个动点，且满足 QAnUnJUOBnn2(n N

19、*)，设 An，Bn 到直线 X 3yn(n 1)0的距离之和的最大值为 an,若数列的前n项A 333A.(Z,)Bq)CQ )D.和Sn m恒成立,则实数m的取值范围是(B)IUinn22可得 AnQBn 120 ,设线段AIBn的中点为Cn ,则Cn在圆X咱)InUU解：由 QAn QBn22n A 上，An，4Bn到直线X . 3yn(n 1)0的距离之和等于点 Cn到该直线的距离的两倍点Cn到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,n(n+1) 2 V12 an n 2n2(-七),Sn2 n n 22n ，4,故选B.90分)本卷包括必考题和选考题两部分学生根据要求作答.

20、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第卷(非选择题.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,13.曲线y ex(2 2)在点(0, 2)处的切线方程为y 2x 2解：Q f (x)X 2e (X 2x 2)， f (0)2 ,又 Q f (0)2，所求切线方程为 y 2 2x ,即y 2x 2.14. (X -X2)4的展开式中x2的系数为28.248鉀1 c、4 (X 2x 1)(X 1)解:Q(X 2)4= VXx4x4，展开式中x2的系数为C228 .15.在三棱锥A BCD中，已知BC CDBD 2AB. '2AD =6 ,且平面A

21、BD 平面BCD ,则三棱锥A BCD外接球的表面积为48 .解:在等边三角形 BCD中，取BD的中点F,设等边三角形 BCD的中心为O，2 连接 AF，CF，OA.由 BC 6 ,得 BO Co DO CF3由已知可得 ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，AF又由已知可得平面 ABD 平面BCD， AF 平面BCD，OA OF2AF22 /3，O为三棱锥A BCD外接球的球心，外接球半径R OC2,3，三棱锥BCD外接球的表面积为4 (2.3)2D2 3，OFBD, AF OF，16.已知双曲线2XCra2 y b21(0,b 0 )的左右焦点分别为 FI, F2，O为坐标原点，点M为双曲

22、线右支上一点，若IF1F22 OM解:法一 :Q F1F22 OM，tanMF2F1F1MF2Q MF1设MFIMF2MF2 t2a，则e22 ,则双曲线C的离心率的取值范围为(1,.弓.4c2MF1MF2 , tan MF2F1IMFJMF2 ,t2 1t2 2t 1法二：Q F1F22 OM，F1MF2r2 2ccos ，2a r1r2=2c(s inIMF12MF22MF22(IMFIlMF2)2 ImfJ2 2MFIIMF2mf12 I mf2MF24c24a2mf22，令 MFCOS )，r1，MF2，MF2F1 =e ，Sin cose25，tan2，r =2csin ，1212

23、1 1 1e2 =(Sin cos )1 Sin2 I 2tan1 21 tan三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)1 e 5.在ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, C ,已知(I )求角C的值；( )若 Sin ASin B1+ 3,C 2,求 ABC的面积.4解:(I )由(a3b)sin Absin BCSinC及正弦定理得(a即 a2+ b2 c2.3ab.2 分2 .-2 2IT由余弦定理得cosCa十bC34分2ab2Q 0 C,C6分6ABC外接圆的半径为()法一：设R,则由正弦定理得(a3b)si

24、nA bsin B CSi nC .3b)a+ b2=c2 ,2RSin C丄4Sin6a 2Rs in A4sin A， b 2Rsin B4sin B , ab 16sin AsinB 4(110分11 _1S ABC 2 absinC 2 4(I 3) 23 ,即 CosAcosB212分法二：由(I )得cosCSin ASin B1+3Q Si nAsi nB45 5 QA B (,)6 613CosAcosB -,cos(A B)COSACOSBSin ASin B712，由正弦定理得bCSin BSinC2si nSin610分1SABC bcs in A22.2 2si n7

25、2.2(丄 1 -2 ) 1312 2 2 2 211分当B A 时,318.(本小题满分同理可得S ABC 1 3 ,故ABC的面积为1 312分)12分如图，在三棱柱ABC AlBICI中，已知四边形 AAGC为矩形，AAIBACBAA60 , AIAC的角平分线AD交CC1于D .B1(I )求证：平面BAD 平面AACIC ；( )求二面角A B1C1 A1的余弦值.解:(I )如图，过点D作DE/AC交AA于E,连接CE,BE ,设 ADI CE O ,连接 BO，Q AC AA1， DE AE，又AD为 AAC的角平分线，四边形AEDC为正方形， CEAD又 QAC AE , BA

26、C BAE, BA BA, BAC BAE ,又QO为CE的中点， CE BO3分又QAD)BO 平面 BAD，ADI BOCE平面BAD又 QCE 平面 AA1C1C，平面BAD平面AA1C1CAC 4，( )在 ABC 中，QAB1在 Rt BOC 中，QCO -CE 2 2 ,2BAC60， BCBO 2 2，2分BC BEBi4分5分y1又 AB 4，AO -AD22 2，Q BO2AO2 AB2,BOAD,XEA1A又 BO CE，ADI CEAD)CE平面 AA1C1C，BO平面 AAICIC，故建立如图空间直角坐标系XyZ则 A(2, 2,0)，A(2,4,0)，C1( 2,4,

27、0)，B1(0,6,2.2)UUJU_GB (2,2,2 2),UJUrAC1(4,6,0)，UJUjrGA (4,0,0)，Ir设平面AB1C1的一个法向量为 m (x1,y1,z1),则U mU mULUrCI BI UUl，AC14x12x16y12y1IrL令 x1=6 ,得 m (6,4, 5.2)设平面A1B1C1的一个法向量为n (X2,y2,z2),则UurC1B1Uur，GA4x22X22y2 2 2z20令 y2= 2 ,得 n (0,、2,1)10分COS m, nIr r m n t m9.23 .1710 3，故二面角A BQ1Al的余弦值为T1712分19.(本小题

28、满分2已知椭圆C : x2a12分)2J 1(b21(a b 0)的上顶点为E ,左焦点为F ,离心率为丄2 ,直线EF与圆X2相切.(1)求椭圆C的标准方程；()设过点F且斜率存在的直线断PF是否为定值？并说明理由IAB解：(I )如图，Qe C直线EF的方程为XQ直线EF与圆X22相切,5分椭圆C的标准方程为( )设 A(X, y),B(X2,y2) , P(Xo,O),设直线丨:y k(xy1),联立X224kX1 X222k 1,X1X222k 1k(x2yABl ；1 k2 (X1 X2)2 4X1X2法一 ：Q P在线段AB的垂直平分线上,Q代B在椭圆C上,2y12X1代入得(N

29、X0)2(X2I),消去 y得(2k21)X2 4k2X22k 20 ,k2.(2k24k21)2 42k2 22k2(X1X。)22y12 2(k2 1)2k2 1(X2 X0)22y22y2X0)22×22X；2L ,化简得x0-I(XI4X2)10分1PF x0 1=|4(XIX2)1| |14k21l法二：线段AB的中点为(2k22k212k22kI)k212k2111分线段AB的垂直平分线为k(yk ) X2k212k22k2 1 ,令y 0，得X0PFPFABX0 1k222k|1k2.2k2 1丄|2k21l2 2(k2 1)10分k2 12k2111分亠，故PF4AB

30、为定值12分随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立T 5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万兀，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少 有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套2k2 120.(本小题满分12分)f(x)在(O, a)上单调递减，在(a,)上单调递增3分系统监测出排放超标，则立即同时启动另外 2套系统进行1小时的监测，且后启动的这 2套监测系统中只 要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统设每个时间段(以.1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的

31、概率均为P(O P 1),且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立1(I )当P -时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；2( )若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由解:(I )Q某个时间段在开启 3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为11312C3(2) 1(2)932某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为1

32、_9252 32 32Q P(X1500)1 2C3p(1 P) , P(X900)11C3p(1P)27分E(X)9001 c3p(1 P)2 1500c3 p(1P)29001800p(1 p)2 8分令 g(p)p(12P) ,p(0,1),则 g (P)(1 P)22p(1P)(3P 1)(P 1)9分()设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，贝U X的可能取值为900, 1500 5分1 1 当P (0,-)时，g (P)0 , g( P)在(0,-)上单调递增；3 311当P (一,1)时，g (P) 0 , g(P)在上(-,1)单调递减10分3314g(P)的最大值为g()

33、11分3274 4实施此方案，最高费用为 100 9000 (9001800) 10 41150 (万元),27Q 1150 1200 ,故不会超过预算21.(本小题满分12分)12 分已知函数 f (x) alnx X ( a R).(I )讨论f (x)的单调性；( )若对 X (0,) , f (x) eXax 0恒成立，求a的取值范围解：(I) f (x) a 1JaXX1分当 a 0时，由 f (X)0得 X a, f (X)0 得 0 X a ,当a 0时，f (X)0恒成立，f (X)在(0,+)上单调递增( )法一：由 f(X)ex ax 0 得 a(x InX) X ex,令

34、 S(X)XXe(X0),则 S(X) 1 ex 0 , S(X)在(0,)上单调递减,S(X)s(0)1,S(X)X0 ,即 X e 0同理可得X InX 0,XX e(*)X InXXX e当a 0时，Q丄旦X InX(*)式恒成立，即f (X)Xe ax0恒成立，满足题意法二：由 f (x) ex ax0 得 f (x) ax eX，Q f (ex) ax ex,f(X) f (eX)上单调递减,令 S(X) X ex( X 0),则 S(X) 1 ex 0 , S(X)在(0,S(X) s(0)1, S(X) 0,即 X ex当a 0时，由(I)知f (X)在(0,)上单调递增,f (x) f (eX)恒成立，满足题意)上单调递减,当 a 0时，令(x) aln ex ,则()在(0,又(1) e 0,当 X 0时，(X)r (0,1),使得(r)0当 X0 (0,r)时，(x°)(r) 0,即 alnx0ex010分又 X。 ax。,x0alnx0 X0 e0 ax°,f(X0)x0e0 ax00 ,不满足题意11分综上所述，a的取值范围是0,)12分请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)选修44 :坐标系与参数方程在直角坐标系XOy中,曲线G的参数方程为1 + cos1 co