课时12向量的数量积和向量的应用

1、第12课时 向量的数量积和向量的应用【课前自主探究】考纲链接（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.（3）了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具. 教材回归基础重现：1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·= 叫做与的数量积（或内积）,规定 2（1）向量的投影：cos= ，称为向量在方向上的投影.（2）数量积的几何意义： ·等于 3向量的模与平方的关系： 4平面向量数量积的运算律：（1）交换律成立： （2）对实数的结合律成立

2、： （3）分配律成立： 5两个向量的数量积的坐标运算：（1）已知两个向量，则·=（2）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =，则 叫做向量与的夹角cos= ,当且仅当两个非零向量与同方向时，= ，当且仅当与反方向时= .（3）垂直：如果与的夹角为900，则称与 ，记作 6向量方法解决实际问题的步骤：（1）建立实际问题与向量的联系，用向量表示问题中的关系，将实际问题转化为向量问题；（2）通过向量的运算，研究所给元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；（3）把运算结果“翻译”成实际问题基础重现答案：1. cos 2（1）R （2）的长度与在方向上的投影的乘积34（1）（2）（

3、3）5（1） （2）AOB=（）= 00 1800（3）垂直 思维升华：1下面的各式能否成立？ （1）；（2）；（3）=0=或=.2由于，能否说与的夹角为思维升华答案：1（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=2不能，与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 基础自测1若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是 （填序号）（a+b）+c=a+（b+c）；（a+b）·c=a·c+b·c；m（a+b）=ma+mb；（a·b）c=a（b·c）答案： 解析：因为（a·b）c=|a|·|b|&

4、#183;cos·c，而a（b·c）=|b|·|c|·cos·a而c方向与a方向不一定同向.2（2010重庆文数）若向量a =（3，m），b =（2， 1），a·b =0，则实数的值为 答案：6 解析：a·b =，所以=6.3（2010湖南文数改编）若非零向量a，b，满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，则a与 b的夹角为 答案：1200 解析：由（2a+b）·b=0，可得2a·b =b=|b|=|a|·|b|，设a，b的夹角为，则，所以1200.4（2010重庆理数改编）已知向量

5、a，b，满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2ab|= 答案： 解析：.5已知力F(3,5)，在力F的作用下发生的位移S(6,9)，则F所做的功为_ _ 答案：63 解析：WF·S(3,5)·(6,9)184563.【课堂师生共探】 经典例题题型一 对平面向量积定义的理解例1已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.分析：两个向量平面时夹角为°或180°，两个向量垂直时夹角为90°，直接利用数量积公式代入计算即可.解：当时，若与同向，则它们的夹角°，··cos0°3&#

6、215;6×118；若与反向，则它们的夹角180°，·cos180°3×6×（-1）18；当时，它们的夹角90°，·；当与的夹角是60°时，有·cos60°3×6×9.点评：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当/时，有0°或180°两种可能，而两个向量只要垂直其数量积一定为零.变式训练1：已知平面上三点A、B、C满足|=2，|=1，|=，则·+·+·的值等于_答案：4

7、 解析：|2+|2=|2，ABC为直角三角形且C=90°.·+·+·=|+0+|=4.变式训练2：（2009陕西卷文）在中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于 答案： 解析：由知，为的重心，根据向量的加法，则=.题型二 与夹角有关的向量数量积问题例2已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.分析：由两组向量垂直可得到向量数量积与向量模之间的关系，再利用求夹角的表达求之即可.解：由已知条件，可得(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a&

8、#215;b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 两式相减： 2a×b = b2，代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q ，则cosq =，q = 60°点评：根据向量数量积的计算公式知道，要求两向量夹角，只要知道两向量数量积和它们的模.解题过程中值得注意的是：由2a·b = b2不能推出2a= b，前者是实数等式，后者是向量等式，向量运算中没有除法.变式训练1：（2009·全国卷文）设非零向量、满足，则、的夹角为 答案：120°解析：由向量加法

9、的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长.变式训练2：已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，的取值范围.解析：a+b与a+b的夹角为锐角，则有（a+b）·（a+b）0，即a2+（2+1）a·b+b20.由|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，得2+（2+1）··3·+90，即32+11+30，解得或.又当a+b与a+b同向时，设a+b=k（a+b），则有，解得.所以的取值范围或且.题型三 与向量模有关的问题例3 已知平面向量a，b

10、，c满足abc0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|2，求|a|.分析：设出a，b的模，利用已知条件中的关系建立方程组来求.解：根据题意，设平面向量a，b，c的模分别为x，y，由abc0得acb，则a·bc·bb·b，又a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，所以xyy·2y2，故x1y，再由abc0得abc，两边平方得x2y22xycos 135°4，将式代入得x.点评：求向量的模一般是先平方，利用向量的数量积来求；有时也可对已知向量之间的关系式两边同时点乘一个向量来达到数

11、量化.变式训练1：已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= . 答案：.解析：.变式训练2：设，则的最大值是 答案： 解析：，当时，的最大值是.题型四 向量的综合运用例4 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角ABO，使ÐB = 90°，求点B的坐标.分析：设出点B的坐标，表示出向量，利用及|=|列出方程组来求.解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2).，x(x-5)+ y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y = 0.又|=|，x2+y2=(x-5)2 +(y-2)2即：10x +4y

12、=29.由B点坐标或.点评：向量是一个工具，它可以解决很多实际问题，如平面几何问题、物理中的问题，解决这些问题的关系是能把所给问题转化为向量的问题.变式训练：若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为 .答案：或解析： 平移后，得，其与圆相切，即圆心到直线的距离为，即，解得或.高考新题零距离1.（2010· 湖南高考题）在中，=90°，AC=4，则等于 .答案：16 解析：=90°，则.2（2010· 江西高考题）已知向量，满足，与的夹角为60°，则 .答案： 解析：，由余弦定理得：.典型错误警示1在进行向量的数量积运算时，由于两向量的夹角找错而导

13、致错误，如例1及其变式.2向量的数量积的运算律中由于搞不清是数量还是向量而导致错误，如向量数量结合律.3向量的实际应用中由于不能把实际问题很好的转化为向量而导致问题出错，如例4及其变式.典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：学以致用第12课时 向量的数量积和向量的应用 基础级 1已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2

14、，|b|=5，则（2ab）·a= 答案：13 解析：（2ab）·a=2a2b·a=2|a|2|a|·|b|·cos120°=2·42·5（）=13.2（2009·重庆高考题改编）已知，则向量与向量的夹角是 答案： 解析：因为由条件得a·ba2=2，所以2+ a2=3=a·b=|a|·|b|cos，3正的边长为，若设，则的值是 答案： 解析：.4（2009·广东高考题）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大

15、小为 答案： 解析：，所以.5已知向 .答案：120°提示：设，则，又，所以，得，.6（2009·浙江高考题）已知向量，若向量满足，则 答案： 解析：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有7（2010·天津高考题）如图，在中，,则 .答案： 解析： 升华级8（2009·安徽高考题）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是_答案：2 解析：设，则，即9已知=(，)，=(,)，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.解析：,又，解得.但，与不共线（否则均不全题意）.当与共线，则，解得.故所求的实数的

16、取值范围是：且.10设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.解析：（1）依题设f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.11（2010·江苏高考题