数值分析6.1数值微积分引言

1、第第6章章 数值微积分数值微积分 6.1 引言引言 6.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 6.3 复化求积公式复化求积公式 6.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 6.5 高斯求积公式高斯求积公式 6.6 数值微分数值微分进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数到被积函数 f(x)的下列一些情况：的下列一些情况：的原函数的原函数)()(d)(aFbFxxfIba 对定积分对定积分 baxxfId)(的被积函数的被积函数)(xf已知，在高等数学中可用牛顿已知，在高等数学中可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式)(xF6.1 引引 言言 实际问题当

2、中常常要计算积分，有些数值方法，实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系联系.（4） f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据或图形给出，列如为实验或测量数据.xxxexxfxsinsinln1)(22 , , , （2） f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如的原函数不能用初等函数形式表示，例如411)(xxf （3） f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂

3、，例如其原函数表示形式相当复杂，例如cbxaxxf 2)(（1） f(x)复杂，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如 以上的以上的 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的要，因此，有必要研究定积分的数值计算数值计算问题；问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分数值求积分

4、和数值求微分的的方法。方法。 由积分中值定理由积分中值定理, 对连续函数对连续函数 f(x), 在区间在区间a, b内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 bafabxxfI)()(d)( 只要对平均高度只要对平均高度 f( ) 提供一种提供一种近似算法近似算法, 便可相应便可相应地获得一种地获得一种数值求积方法数值求积方法. 即即矩形公式矩形公式.6.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 例如例如, 用区间用区间a, b两端点的函数值两端点的函数值 f(a)与与f(b)的的算术平均值作为算术平均值作为f( ) 的近似值的近似值, 可导出可导出求积公式求积公式)()(2d)(bfafa

5、bxxfIba 这便是人们所熟知的这便是人们所熟知的梯形公式梯形公式. 如果改用区间如果改用区间a, b的中点的中点 c=(a b)/2 处的函数值处的函数值f(c)近似代替近似代替f( ), 则又可导出则又可导出(中中)矩形公式矩形公式 babafabxxfI)2()(d)( 一般地一般地, 在区间在区间a, b上适当选取点上适当选取点xk (k=0,1,n), 然后用然后用 f(xk) 的的加权平均值加权平均值作为作为f( ) 的近似值的近似值, 可得到可得到更为更为一般的求积公式一般的求积公式 其中：点其中：点xk叫叫求积节点求积节点, 系数系数Ak叫叫求积系数求积系数. Ak仅与节仅与

6、节点点 xk 的选取有关的选取有关, 而与被积函数而与被积函数 f(x) 无关无关.求积公式的求积公式的截断误差截断误差为为)(d)()(0kbankknxfAxxfIIfR R(f) 又称为又称为求积余项求积余项.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0注：注：这类数值积分方法通常称为这类数值积分方法通常称为机械求积机械求积，其特点，其特点是将积分求值问题归结为是将积分求值问题归结为函数值函数值的计算，这就避开的计算，这就避开了牛顿了牛顿莱布尼兹公式寻求原函数的困难莱布尼兹公式寻求原函数的困难.6.1.2 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 如果求积公式如果求积公式 bankkkx

7、fAxxfI0)(d)(1) 对所有次数不超过对所有次数不超过m的多项式都精确成立；的多项式都精确成立；(2) 至少对一个至少对一个m+1次多项式不精确成立，次多项式不精确成立，则称则称该公式具有该公式具有m次代数精度次代数精度. 数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对们自然希望求积公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念地成立，这就提出了所谓代数精度的概念. 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。 定理定理1 一个求积公式具有一个求积公式具有m次代

8、数精度的次代数精度的充要充要条件条件是该求积公式是该求积公式: (1) 对对xk(k=0,1,m)精确成立；精确成立； (2) 对对xm+1不精确成立不精确成立. 故一般地，要验证一个求积公式具有故一般地，要验证一个求积公式具有m次代数次代数精度，只要令对于精度，只要令对于 f(x)=1, x, , xm求积公式精确成求积公式精确成立等式就行立等式就行. 解解 当当 f (x)=1时时, 1d,baxb a 左左1 1,2baba 右右此时公式精确成立。此时公式精确成立。例例1 验证梯形公式验证梯形公式)()(2d)(bfafabxxfIba 具有一次代数精度。具有一次代数精度。当当 f(x)

9、=x时，时， 221d2bax xba 左左2222babaab 右右公式也精确成立。公式也精确成立。当当 f(x)= x2 时，时， 2331d3baxxba 左左22,2baab 右右公式对公式对x2不精确成立不精确成立.故由定理故由定理1知知, 梯形公式的代数精度为梯形公式的代数精度为1次次. 对于求积公式对于求积公式 给定给定n+1个互异的求积节点个互异的求积节点 x0 , x1, xn-1, xn ,令求积公式对令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立精确成立,即得即得 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn求解

10、该方程组即可确定求积系数求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公所得到的求积公式式至少具有至少具有n 次代数精度次代数精度.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0 例例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.)()()(d)(hfAfAhfAxxfIhh102210 解解 令令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得代入公式两端并令其相等，得 hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得解

11、得hAhAA3438011,得得求积公式求积公式为为令令 f (x)=x3，得，得)()()(d)(hhfhfhhfxxfIhh380343822038033223)(dhhhxxhh令令 f (x)=x4，得，得544224531638564hhhhxxhhh)(d故故求积公式求积公式具有具有3 3次次代数精度代数精度.注：注：构造上面的求积公式，本质上是一个确定参数构造上面的求积公式，本质上是一个确定参数xk和和Ak的代数问题的代数问题.6.1.3 插值型求积公式插值型求积公式设给定一组节点设给定一组节点bxxxxann 110且已知且已知 f(x)在这些节点上的函数值在这些节点上的函数值

12、 f(xk), 则可求得则可求得 f(x)的拉格朗日插值多项式的拉格朗日插值多项式(因为因为 Ln(x)的原函数易求的原函数易求) nkkknxlxfxL0)()()(其中其中lk(x)为插值基函数为插值基函数, 取取), 1 , 0d)()(d)(0nkxxlAIxfAxxfIbakknknkkba 由上式确定系数的公式称为由上式确定系数的公式称为插值型求积公式插值型求积公式。xxLxxfbanbad)(d)( 即即则则 f (x) Ln(x)由插值余项定理由插值余项定理, 其求积余项为其求积余项为()( )( )dbnnaR fIIf xLxx (1)0( )()d(1)!nnbkakfx

13、xxn 其中其中 = (x) 如果求积公式是插值型的，按照插值余项表达如果求积公式是插值型的，按照插值余项表达式，对于式，对于次数不超过次数不超过n的多项式的多项式 f(x)，其余项，其余项 R(f )等于零，因而等于零，因而这时求积公式至少具有这时求积公式至少具有n次代数精度次代数精度. 反之，如果求积公式至少具有反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，次代数精度，则它必定是插值型的则它必定是插值型的. 事实上，这时求积公式对事实上，这时求积公式对于插值基函数于插值基函数 lk(x)应准确成立，即有应准确成立，即有0( )()nbkj kjajlx dxA lx注意到注意到lk(xj)=kj

14、，上式右端实际上即等于，上式右端实际上即等于Ak，因而，因而下面式子成立下面式子成立., 1 , 0d)(nkxxlAbakk 结论结论1 具有具有n+1个节点的数值求积公式个节点的数值求积公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(是插值型求积公式的是插值型求积公式的充要条件充要条件为为: 该公式至少具有该公式至少具有n次次代数精度。代数精度。 综上所述，我们有结论为综上所述，我们有结论为 这时令这时令f(x)=1代入又有结论为代入又有结论为 结论结论2 对插值型求积公式的系数必有对插值型求积公式的系数必有.d0abxAbankk 其中其中h=max(xi- -xi- -1)，则称求积公式，

15、则称求积公式Akf(xk)是是收敛的收敛的.*6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，若中，若 nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，由于计算中，由于计算f(xk)可能产可能产生误差生误差k，实际得到，实际得到 ，即，即 . 记记kkkfxf )(kf.)(, )()(00 nkkknnkkknfAfIxfAfI如果对任给小正数如果对任给小正数0，只要误差，只要误差|k|充分小就有充分小就有,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI它表明求积公式它表明求积公式Akf(xk)计算是计算是稳定的稳定的，由此给出，由此给出,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI 定义定义3 对任给小正数对任给小正数0，若存在，若存在0，只要，只要 就