概率统计——第二章

1、随机变量离散型随机变量及其概率分布随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布 问题：为什么引入随机变量？将随机现象数量化！将随机现象数量化！实例 1 抛掷骰子，观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXXS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换eeX )(我们用e代表样本空间的元素，将样本空间简记成S=e。实例 2 抛一枚均匀硬币，观察出现正面 H 和反面 T 的情况。S=正面正面、反面反面 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?S正面正面反面反面)(eX10以 X

2、记三次投掷得到正面 H 的总数，那么注：随机变量X=X(e)不一定是单射,具体如何定义要看随机试验的目的.一次随机试验中,可定义不同的随机变量.例 2.1.2某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 假设某人到达该车站的时刻是随机的，若要考察其候车时间，定义合适的随机变量。定定义随机变量义随机变量X, 表示此人的候车时间表示此人的候车时间. 显然显然, 0X5.离散型非离散型连续型其它随机变量随机变量(1)(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或可列 个, 叫做离散型随机变量。(2)(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。例 2.1.3

3、若随机变量X记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则X的可能值是: 例 2.1.4设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则X的可能值是: 例 2.1.5随机变量X为“灯泡的寿命”，则X的取值范围是： 对随机变量，不仅要知道它取什么值，还要知道它取这些值的概率！随机变量的概率分布随机变量的概率分布离散型随机变量的分布律常见的几种离散型随机变量的概率分布两点分布二项分布泊松分布超几何分布几何分布一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp nnpppxxxX212

4、1Xkpnxxx21nppp21 离散型随机变量的分布律也可表示为：离散型随机变量的分布律也可表示为：例 2.2.1设汽车开往目的地途中经过4组信号灯，每组信号灯以p=0.5的概率禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，已经通过的信号灯组数，求X的分布律。kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p Xkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布1.1.两点分布两点分布注：两点分布是最简单的一种分布,可用来描述任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女

5、、明天是否下雨、某次试验中关心的事件A是否发生等。 Xkp0p 11p若随机变量X只能取 0 和 1 两个值，它的分布律为：则称X服从以p 为参数的(0-1)(0-1)分布分布或两点分布两点分布。例 2.2.2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件，检验是否合格。 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.随机变量随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp01200190200102.2. 二项分布二项分布定义定义 2.2.22.2.2（重复独立试验）（重复独立试验）将将试验试验 E E 重复进行重复进行 n n 次次，若若各次试验的结果

6、各次试验的结果互不互不影响影响 ，即即每次试验结果出现的概率都不依赖于每次试验结果出现的概率都不依赖于其它其它各次试验的各次试验的结果结果，则则称这称这 n n 次试验是相互次试验是相互独立的独立的，或或称为称为 n n 次重复次重复独立试验独立试验。 n重伯努利试验中，以 X 记事件A出现的次数 事件A出现k次的概率？ 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAA 次次1 knAAAAAqnknknnkpqpknpqnqpnkX 1110X X的分布律：的分布律：二项分布二项分布1 n两点分布两点分布例 2.2.3已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中抽取20件，求其中恰有 k 件一

7、级品的概率，其中 k=0,1,20.X：其中包含一级品的件数.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP 二项分布的图形例 2.2.4（最可能成功次数）设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发中打中飞机的最可能次数是多少？求其相应的概率。例 2.2.5保险业是最早使用概率论的行业。保险公司为了估计企业的

8、利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型问题之一。若一年中某类保险者中每个人死亡的概率为0.005，现有一万人参加这类保险，试求未来一年中在这些投保者里面，（1）有40个人死亡的概率；（2）死亡人数不超过70个人的概率。二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp n太大，实际计算困难3.3. 泊松泊松分布分布l 泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出与分析放射性物质放出的的 粒子粒子个数的情况时个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放

9、射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤话呼唤次数、交通事故次数等次数、交通事故次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 例 2.2.7(用泊松分布近似二项分布)某公

10、司生产一种产品300件。根据历史生产记录知该种产品的废品率为0.01，问这300件产品中废品数大于5的概率是多少？4.4. 超超几何分布几何分布次品率次品率5.5. 几何几何分布分布例 2.2.8某人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把可以开门。他每次随机选取一把钥匙开门，失败后放回。问此人在第s次试开时成功的概率多大？每次开门是一次伯努利试验，用 X 表示成功开门时的试开次数，那么21xXxP 12xXPxXP ?)(2xF)(1xF分布分布函数函数 21xXxP ).()(12xFxF 实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量

11、 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 0,0,1( ),01,21,1.xF xxxxoxo ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1右连续818383813210pX0, 0,1 8, 01,( )4 8, 12,7 8, 23,1, 3.xxF xxxx xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 思考：思考：不同的

12、不同的随机变量，它们随机变量，它们的分布函数一定也不相同的分布函数一定也不相同吗？吗？ . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX注注: 不同的随机变量可以服从相同的分布不同的随机变量可以服从相同的分布; 随机变量随机变量的分布类型由分布函数决定的分布类型由分布函数决定.例 2.3.2（连续型随机变量的分布函数）一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比，并且所有射击都能中靶。若以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。2m?xX(x)PF注：这

13、里的随机变量注：这里的随机变量X取值范取值范围围 是是0,2,属于连续型随机变量。属于连续型随机变量。F(x)图形图形为一连续曲线为一连续曲线X 的分布函数的分布函数为为： . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF.d)()(ttfxFx 则则 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf概率密度函数概率密度函数概率密度函数的定义与性质几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布指数分布正态分布l概率密度的性质：概率密度的性质：xo)(xf1d)( xxfSxxfSxxd)(211 11S2x 1x .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxx

14、kxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设例 2.4.1.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例 2.4.2x)(xf a b注：X的分布函数是xo)(xF a b 1注：“均匀”的含义 若XU(a,b)，则X落在(a,b)子区间的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。几何概型的等可能性几何概型的等可能性例 2.4.3设KU(0,5)，求方程有

15、实根的概率。02442KxKx35P 解： 有实根的充要条件：K-1或K2； 根据均匀分布的概率密度求PK -1和PK2。- /-01(x)0(x)dx1xffedx且注：注：分布函数1 e,0,( )0, 0.x xF xx 通常用指数分布来作为各种“寿命”分布的近似。例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、随机服务系统的服务时间等都常假定服从指数分布。应用与应用与背景背景u指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性注：指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布。22(x-)-2-1(x)dxedx2f注：2t-2-1edt12令t=(x-)/u正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征

16、;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ;0)(,)3( xfx时时当当;)4(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xfu正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 正态分布是最常见最重

17、要的一种正态分布是最常见最重要的一种分布，例如分布，例如测量误差，人的身高测量误差，人的身高、体重，测量误差，海洋波浪体重，测量误差，海洋波浪的高度，农作物的收获量，工厂产品的尺寸：直径的高度，农作物的收获量，工厂产品的尺寸：直径、长度、长度、重量、高度重量、高度等都近似服从正态分布等都近似服从正态分布. .u正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 另外，有些另外，有些分布分布( (如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布) )的的极极限限分布是分布是正态分布。正态分布。二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换u正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)(

18、 xXP ? 被积被积函数函数不是不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包软件包计算计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算,de21)(,e21)(2222xtxtxxx-x-附表2标准化随机变量标准化随机变量例 2.4.4（标准正态分布下概率计算）设XN(0,1)，计算P1X2, P-1X1, PX-1.24。解：P1X2=(2)-(1)=0.9772-0.8413=0.3159;P-1X1=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826;PX-1.24=(-1.24)=1-(1.24)=1-0.8925=0.1075.例 2.4.5（一般正态分布下概率计算）设XN(,2)，求PaXb。解：)-a(-)-b(重要关系式重要关系式例 2.4.