空间曲线插补算法的研究

1、2007年10月第35卷第10期机床与液压MACH I N E T OOL &HY DRAUL I CSOct 12007Vol 135No 110空间曲线插补算法的研究周海安,赵玉刚,吕晓倩(山东理工大学机械工程学院,山东淄博255049摘要:空间三维曲线有两种数学表达形式:隐式方程曲线及参数方程曲线。本文提出这两种方程的高效准确的插补算法,实现了数控机床的空间三维曲线轨迹插补。其中隐式方程曲面交线采用的是建立在进给选择基础上的插补算法,而且保证了该算法的位置误差不超过一个进给单位;参数方程曲线采用小直线段逼近的插补算法,这种线性化方法对插补参数曲线而言具有高效的优点。关键词:插补算

2、法;交线;三维轨迹;参数化中图分类号:TG547文献标识码:A 文章编号:1001-3881(200710-094-2The Research of Space Curve I n terpol a ti on Ar ith m eti cZ HOU Haian,Z HAO Yugang,LV Xiaoqian(School ofMechanical Engineering,Shandong University of Technol ogy,Zibo Shandong 255049,China Abstract:There are t w o kinds of curve definiti

3、ons:i m p licit curve and para metric curve .An efficient and accurate inter polati on algorith m s for t w o curves was p r oposed which can drive the cutter of a C NC machine al ong three 2di m ensi onal (3D traject ories .The method uses the i m p licit definiti on t o inter polate the intersecti

4、 on curve based on step selecti on rules which guarantees one step positi on err or at most .For the para metric curve,the method uses straight 2line seg ments t o app r oxi m ate the desired path .This linearizati on has obvi ous advantage of high efficient .Keywords:I nter polati on algorith m s;I

5、 ntersecti on curve;Three 2di m ensi onal traject ories;Parametric0前言在数控系统中精度与速度是矛盾的,尤其是复杂型面的加工,由于曲线方程插补点位置求解的难度较大,一般的插补算法是以牺牲速度来保证精度的,但是这种降低生产效率的方式对企业的发展是很不利的。因此找到一种既能保证精度又能提高加工效率的空间曲线插补算法是非常具有实际意义的。本文给出了一种计算简单、运算速度快、适合于一般空间曲线的插补算法。1空间隐式方程曲线的插补算法空间曲线隐式方程表达式为f (x,y,z =0g (x,y,z =0(1 图1空间隐式方程曲线的插补路径插

6、补曲线过程中,插补下一个点时需要计算判断一次,称为一次步进选择。在三轴数控系统中,一次步进选择可以用如下向量公式表示:s =d x,d y,d z (2d x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z |1其中1代表选定的进给单位长度。插补曲线时,如果插补点在曲线上,则满足方程(1,如果插补点不在曲线上则离曲面越远偏差越大,正负值则取决于插补点在曲面的哪一侧。作者在研究插补方法时发现:要使插补点逼近方程曲线必须首先逼近曲线所在的曲面。要使插补点逼近曲面必须满足相邻的两个插补点在曲面的两侧或至少一个点在曲面上。数学表达式如下:f (x,y,z f (x +d x,y +

7、d y,z +d z 0g (x,y,z g (x +d x,y +d y,z +d z 0(3但是直接求解方程(3过于复杂,为了确定d x 、d y 、d z 引入曲面法向量grad f 、grad g 及微分变量f 、g 。微分变量f,g 数学表达式如下:f =grad f s =9f 9x d x +9f 9y d y +9f9zd zg =grad g s =9g 9x d x +9g 9y d y +9g9zd z(4d x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z |1微分变量是曲面法向量与一次步进选择的向量积。由泰勒公式可得:f (x +d x,y +d

8、 y,z +d z =f (x,y,z +f +2fg (x +d x,y +d y,z +d z =g (x,y,z +g +2g(5由于2f,2g 是高阶微分,值很小,可以忽略,不影响方程(3的实际计算结果。因此数学表达式(5可以表达为如下等价方程:f (f +f 0g (g +g 0(6但是仅仅满足方程(6并不能确定唯一的插补点,要确定插补点,在满足(6的条件下每一次步进选择还必须尽量与所插补的曲线切线方向相一致(最大程度地平行于曲线的切线方向,这样才能保 证沿曲线方向进行插补。曲线切线向量 t =t x ,t y ,t z 与2个曲面f 、g 在这点的法向量垂直,因此t =grad f

9、 ×grad g = i j k 9f 9x 9f 9y 9f9z9g 9x 9f 9y 9f 9z(7t x =9f 9y 9g 9z -9f 9z 9g 9y ,t y =9f 9z 9g 9x -9f 9x 9g 9z ,t z =9f 9x 9g 9y -9f 9y 9g 9xd x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z | 1满足插补方向条件的数学表达式如下max ( S t (8( 注意:方程(8必须首先满足方程(6即求 S 与 t 的向量积在满足方程(6的条件下的最大值(当两向量方向一致时,值最大。因此步进选择的数学表达式为f (f +f

10、0,g (g +g 0max (t x d x +t y d y +t z d z (9由于起始点f 、g 均为0(因为起始点在曲线上,所以第一次步进选择f 、g 只需要满足方程(8。当第二次步进选择时,f 、g 等于f 、g 。这样每次步进选择f i +1=f i +f i ,g i +1=g i +g i ,当前的f 、g 等于上一次的值加上f 、g 。同理,f 、g 、t x 、t y 、t z 采用相同的迭加算法,大大简化了计算量。但是因为方程(6有很小的舍入误差,所以累积误差图2隐式方程曲线插补流程图不能忽略。步进选择一定次数,需要将当前点的值代入f 、g 中校正一次。每步进选择一次

11、后的位置为当前插补点的位置加坐标增量。给出空间曲线的插补初始点,插补步进过程在新的插补点计算,重复插补过程,直至到最终空间曲线上的插补终点,插补过程结束。其插补流程如图2所示。2空间参数方程曲线的插补算法空间曲线的参数方程为x =x (t y =y (t z =z (t (10曲线的增量方程为x =x (t +t -x (t y =y (t +t -y (t z =z (t +t -z (t (11t 的选择依据是(x 2+(y 2+(z 2L(12L 是拟合的直线段的长度,L 的取值与实际加工的插补精度和运算速度有关,精度要求较高时则L 可以取较小值,如果偏重于运算速度则L 可取值较大,这都

12、取决于加工的具体要求。在插补开始时计算t,t 的求解有两种方法:当方程(12并不复杂时可以直接求解方程,求出t ;当方程复杂时可以先赋给方程一个大约合理的初值t,然后利用线性化校正的方法求得t 。t =t L /(x 2+(y 2+(z 2(13方程(13线性化校正的原理是:对于光滑曲线,在插补点附近的微小曲线段近似为直线(直线图3参数方程曲线插补流程图插补点附近的微小线段仍为直线,因此当插补点处的t 值固定时,t 在较小的范围变化,L 的值是近似于线性变化的。当拟合m (大小取决于实际加工的需要段小直线后,对t 进行校正计算一次,保证了拟合线段长度的均匀稳定性。这样空间复杂曲线可以拟合为一段

13、一段的小直线,计算量小,插补运算速度快,而且直线段的两端点都在曲线上,因此保证了直线段之间没有累积误差。其插补流程如图3所示。3算法误差分析及结论空间隐式方程曲线插补算法的误差已经由数学公式推导证明不超过1个进给单位,由于证明过程繁琐这里不再给出证明;空间参数方程曲线的插补算法有两种误差,用弦逼近弧的拟合误差=R -R 2-L 2/4(R 为插补点处曲率半径和插补微小直线段的误差(不超过一个脉冲当量。因此总误差满足|-|+|。当取的直线段较短尤其是当曲线的曲率半径较大时,是很小的,可以获得较高的加工精度。在探索空间曲线插补算法(下转第142页59第10期周海安等:空间曲线插补算法的研究 基于“

14、PC +运动控制器”的控制方案,如图4所示。该控制系统硬件主要由PC 机、运动控制器、端子板、驱动器、行程开关、继电器、光码盘和拉线式位移传感器等组成。该方案一般适用于对运动控制要求比较高,运动轨迹较复杂的场合,具有抗干扰能力强、速度快、可靠性高、精度高、编程简单、开发周期短、灵活性高和成本较低等优点。314控制系统硬件方案的选择该交流伺服螺旋精压机的滑块,是根据控制系统预先设置的优化工艺曲线而进行运动,针对不同的加工工艺,优化工艺曲线各不相同。该设备还要求控制系统具有工作循环数据库建立、增添和调用的功能。因此,综合考虑以上三种方案的可靠性、经济性、灵活性和实用性,针对该设备选择“PC +运动

15、控制器”的控制方案是比较合适的。4控制系统软件的设计“PC +运动控制器”的方案是运动控制系统一个主要的发展方向。这种方案可充分利用计算机资源,适用于运动轨迹比较复杂,而且柔性比较大的设备上。在该控制方案中,运动控制器选用固高公司图5控制系统控制流程图GT2002S V 运动控制器。固高GT2002S V 运动控制器,提供了W in98/2000系统下的设备驱动程序,同时提供DOS 下的运动函数库和W in 2dows 下的运动函数动态链接库,用户通过主机程序调用相应的函数,也就是发出运动控制命令,运动控制器将根据主机的要求,自动完成轨迹规划、安全检测、伺服刷新等复杂运算,计算结果转换成相应的

16、模拟电压控制伺服电动机运动。用户可以使用VC 、VB 、Del phi 等三种高级语言来开发实现特定功能的程序。系统的软件程序框图如图5所示。系统初始化并自检包括运动控制器与运动控制轴的初始化,并检查运动控制器与运动控制轴是否存在异常;选择成形工艺类型是根据实际加工的工件,选择需要的加工工艺;工艺参数的设定包括材料参数、滑块参数和模具参数等的设置;根据材料和成形工艺类型调用相应的控制程序是控制系统根据加工的材料和工艺类型从数据库里调用适当的程序来控制设备的运动,从而达到优化工艺的目的;实时信号采集与处理和状态曲线与关键参数显示包括滑块位移信息的采集与处理,滑块状态曲线以及滑块位移、滑块速度、滑

17、块加速度、工作周期和循环次数等主要工作参数的显示。5结语控制系统是交流伺服螺旋精压机至关重要的组成部分,其性能的好坏与该设备的性能息息相关。因此,必须以使该设备的性能得到最大的发挥为前提条件,综合考虑可靠性、经济性、灵活性和实用性,来确定控制系统的控制方案。参考文献【1】罗炳军,陈健,等1基于运动控制器的开放式运动控制系统研究与应用J 1工业仪表与自动化装置,2006(3:10-121【2】陈先锋,舒志兵,等1基于多伺服控制模式的运动控制系统研究与应用J 1伺服控制,2006(1:26-281【3】苏宏志,高文华1基于DSP 交流伺服位置控制系统的研究J 1测试与控制,2006(3:139-1

18、411【4】杨宏斌,闫花茹,等1固高运动控制板在数控研齿机运动系统中的应用J 1煤矿机械,2006(6:1069-10711作者简介:梁文炎,男,1981年生,广东江门人,硕士研究生。研究领域:先进成型装置及智能控制。电话:135*,E -mail:l w y91802921cn 1com 。收稿日期:2006-11-08(上接第95页时,很多其它方法要么计算过于复杂,不满足实时性要求,要么计算值偏差较大,效果不理想。部分文献认为直线拟合的插补方法不是很理想,而且提出了很多独到的算法,但是他们的插补算法大多是针对平面曲线,而且是某一特定类型曲线,复杂程度与空间曲线相差较大;而本插补算法适用于一般空间曲线,速度及精度均可以达到生产要求,有较好的应用价值。参考文献【1】廖效果1数控技术M 1武汉:湖北科学技术出社,20011【2】赵玉刚,宋现春1数控技术M 1淄博:机械工业出版社,20031【3】