福建省宁德市高二下期末数学试卷文科解析

1、2015-2016学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求1已知集合A=x|x22x30，B=xZ|x2，则AB中的元素个数为（）A2B3C4D52已知命题p：x1，x21，则命题p是（）A：x1，x21Bx1，x21C：x1，x21Dx1，x213为了研究高中学生对某项体育活动的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得K26.84，则有（）以上的把握认为“喜欢体育活动与性别有关系”P（K2k0）0.1000.0500.0250.01

2、00.0050.001k0）2.7063.8415.0246.6357.87910.828A0.1%B1%C99%D99.9%4已知i是虚数单位，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1iB1+iC0D15曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）Ay=By=eCy=xDy=xe+6假设某人的手机在一天内收到1条、2条、3条垃圾短信的概率分别为0.5、0.3、0.2，则该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信的概率为（）A0.1B0.16C0.2D0.57已知命题p：定义在R上不恒为常数的函数y=f（x），满足f（x）=，则函数f（x）的周期为6； 命题q：函数f（x）=2x+1是增函数下列

3、说法正确的是（）Apq为假Bpq为真C（p）q为真Dp（q）为真8函数f（x）=的图象大致为（）ABCD9已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，给出四个结论：函数f（x）一定有两个极值点若x=x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）上单调递减f（x）的图象是中心对称图形若f（x0）=0，则x=x0是f（x）的极值点则结论正确的有（）个A1B2C3D410已知函数f（x）=lg（1+）+1，若f（a）=2，则f（a）的值是（）A2B0C1D211已知f（x）的定义域为（0，+），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（+1）（1）f（x1）的解

4、集是（）A（0，4）B（1，4）C（1，+）D（4，+）12已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）2+af（x）0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A9B10C11D12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=14已知定义在R上的函数f（x）=，若存在a0且f（1a）=f（1+a），则a=15函数y=的图象的对称中心为（0，0）；函数y=+的图象的对称中心为（，0）；函数y=+的图象的对称中心为（1，0）；由此推测函数y=+的图象的对称中心为16已知点M在曲线y=ln（x1）上，点N在曲线y=

5、（x1）上，点P在直线y=x上，则|PM|+|PN|的最小值为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合A=m|方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，集合B=x|log2xa（）求集合A；（）若xB是xA的充分不必要条件，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=x32ax2+3ax，在x=1时取得极值（）求a的值（）若关于x的不等式f（x）k0在0，4上恒成立，求实数k的取值范围19为了美化景区环境，景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理为了更好地实行措施特向游客征求意见，随机抽取了200人进行了调查，得到如表数据：罚款金额x（单位：元）

6、0102050100会继续乱扔垃圾的人数y20151050（）画出散点图，判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并求回归直线方程=x+，其中=0.18， =；（）由（）分析，要使乱扔垃圾者的人数不超过5%，罚款金额至少是多少元？20已知函数f（x）=ax+（k1）ax（a1）是定义域为R的偶函数（）求k的值（）若f（1）=且g（x）=a2x+a2x2mf（x）的最小值为3，求m的值21已知函数f（x）=lnxmx2（mR）（）当m=2时，求函数f（x）的单调区间（）当m0时，是否存在实数x1，x2（0x1x2），使得当xx1，x2时，函数 f（x）的值域是ax121，ax221（aR）？若存在

7、，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由选修4-1：几何证明选讲22如图，O的半径为6，线段AB与相交于点C、D，AC=4，BOD=A，OB与O相交于点E（1）求BD长；（2）当CEOD时，求证：AO=AD选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（4，0），B（2，），圆C的极坐标方程为=2sin（）求直线AB和圆C的直角坐标方程（）已知P为圆C上的任意一点，求ABP面积的最大值选修4-5：不等式选讲24已知f（x）=|x|+|x|，记f（x）2的解集为M（）求集合M（）若aM，试比较a2a+1与的大小2

8、015-2016学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求1已知集合A=x|x22x30，B=xZ|x2，则AB中的元素个数为（）A2B3C4D5【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断【解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即A=x|1x3，B=xZ|x2，AB=xZ|1x2=1，0，1，2，则AB中的元素个数为4，故选：C2已知命题p：x1，x21，则命题p是（）A：x1，x21Bx1，x2

9、1C：x1，x21Dx1，x21【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：x1，x21，故选：B3为了研究高中学生对某项体育活动的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得K26.84，则有（）以上的把握认为“喜欢体育活动与性别有关系”P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k0）2.7063.8415.0246.6357.87910.828A0.1%B1%C99%D99.9%【考点】独立性检验的应用【分析】把观测值同临界值进行比较得到有99%的把

10、握说学生喜欢体育活动与性别有关系【解答】解：由题意，K26.846.635，对照表格，可得有99%的把握“喜欢体育活动与性别有关系”故选：C4已知i是虚数单位，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1iB1+iC0D1【考点】程序框图【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，输出结果【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1执行循环体，S=1+i，k=2满足条件k13，执行循环体，S=i，k=3满足条件k13，执行循环体，S=0，k=4满足条件k13，执行循环体，S=1，k=5满足条件k13，执行循环体，S=1+i，k=6观察规律可知

11、，S的取值周期为4，故满足条件k13，执行循环体，S=1，k=13满足条件k13，执行循环体，S=1+i，k=14不满足条件k13，退出循环，输出S的值为1+i故选：B5曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）Ay=By=eCy=xDy=xe+【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求在x=e处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：f（x）=，f（x）=，f（e）=0x=e，f（e）=曲线f（x）=在x=e处的切线方程为y=，故选：A6假设某人的手机在一天内收到1条、2条、3条垃圾短信的概

12、率分别为0.5、0.3、0.2，则该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信的概率为（）A0.1B0.16C0.2D0.5【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信包括三种情况：明天收到两条垃圾短信后天收到三条垃圾短信；明天收到三条垃圾短信后天收到两条垃圾短信；明天、后天都收到三条垃圾短信，由此能求出结果【解答】解：某人的手机在一天内收到1条、2条、3条垃圾短信的概率分别为0.5、0.3、0.2，该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信的概率：p=0.3×0.2+0.2×0.3+0.2×0.2=0.16故选：B7已知命题p：定义在

13、R上不恒为常数的函数y=f（x），满足f（x）=，则函数f（x）的周期为6； 命题q：函数f（x）=2x+1是增函数下列说法正确的是（）Apq为假Bpq为真C（p）q为真Dp（q）为真【考点】复合命题的真假【分析】根据函数的性质分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：f（x）=，f（x）f（x+3）=1，则f（x+6）f（x+3）=1，即f（x）f（x+3）=f（x+6）f（x+3）=1，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期是6，故p是真命题，命题q：函数f（x）=2x+1是增函数，为真命题，则pq为真，其余为假，故选：A8函数f（x）=的图象大致为（）

14、ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数为奇函数，它的图象关于原点对称，当x0时，f（x）0，当x趋于+时，f（x）趋于0，从而得出结论【解答】解：由于函数f（x）=为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除B；由于当x0时，f（x）0，故排除A；再根据当x趋于+时，f（x）趋于0，故排除D，故选：C9已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，给出四个结论：函数f（x）一定有两个极值点若x=x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）上单调递减f（x）的图象是中心对称图形若f（x0）=0，则x=x0是f（x）的极值点则结论正确的有（）个A1B2C3D4【考点】利用导数研究函数的极值【分

15、析】根据二次函数的性质判断即可根据极值点的定义进行判断根据三次函数的性质进行判断【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，若=4a212b0，函数无极值点，故错误；若x0是f（x）的极小值点，则f（x）必有极大值x=m，且mx0，则函数f（x）在区间（m，x0）上单调递减，故错误；f（x）=（xx0）3+b（xx0）+y0的对称中心是（x0，y0），f（x）=x3+ax2+bx+c如果能写成f（x）=（xx0）3+b（xx0）+y0的形式，那么三次函数的对称中心就是（x0，f（x0），设f（x）=（xx0）3+p（x+m）+n，得f（x）=ax3+3amx2+（3am2+p）x+am3+pm+

16、n，3am=b； 3am2+p=c； am3+pm+n=d；m=，p=，n=d+，f（x）=a（x+）3+（c）（x+）+d+，故函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形，故正确；若f（x0）=0，则x=x0不一定是f（x）的极值点，故错误；故选：A10已知函数f（x）=lg（1+）+1，若f（a）=2，则f（a）的值是（）A2B0C1D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可【解答】解：f（x）=lg（1+）+1=lg+1，f（a）=2，f（a）=lg+1=2，则lg=1，f（a）=lg+1=lg+1=lg1+1=1，故选：C11已知f（x）的定义域为（0，+），f

17、'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）xf（x），则不等式f（+1）（1）f（x1）的解集是（）A（0，4）B（1，4）C（1，+）D（4，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式【解答】解：设g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）+f（x）0，即当x0时，函数g（x）=xf（x）单调递减，f（+1）（1）f（x1）（+1）f（+1）（x1）f（x1），g（+1）g（x1），解得：x4则不等式的解集为（4，+），故选：D12已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）2+af（x）0恰有1个

18、整数解，则实数a的最大值是（）A9B10C11D12【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数f（x），如图所示，f（x）2+af（x）0，当a0时，af（x）0由于关于x的不等式f（x）2+af（x）0恰有1个整数解，因此其整数解为4，f（3）=0可得f（5）a，af（4）0，解出即可得出【解答】解：函数f（x），如图所示，f（x）2+af（x）0，当a0时，af（x）0，由于关于x的不等式f（x）2+af（x）0恰有1个整数解，因此其整数解为4，又f（5）=52+3×5=10f（4）=42+3×4=4，f（3）=32+3×3=0f（5）a，af（4）0则10

19、a4，a0不必考虑，可得：实数a的最大值是10故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】分母实数化，求出z即可【解答】解：z（1+i）=1，z=i故答案为：i14已知定义在R上的函数f（x）=，若存在a0且f（1a）=f（1+a），则a=1【考点】分段函数的应用【分析】对a讨论，分a0，a0，由分段函数式，可得a的方程，即可得到a的值【解答】解：若a0，则1a1，1+a1，由f（1a）=f（1+a），可得2（1a）+a=1（1+a），解得a；若a0，则1a1

20、，1+a1，由f（1a）=f（1+a），可得（1a）+1=2（1+a）+a，解得a=1综上可得，a=1故答案为：115函数y=的图象的对称中心为（0，0）；函数y=+的图象的对称中心为（，0）；函数y=+的图象的对称中心为（1，0）；由此推测函数y=+的图象的对称中心为（，0）【考点】归纳推理【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，1，即0，此数列通项公式易求【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，1，即0，由此推测，函数y=+的图象的对称中心为（，0）故答案为：（，0）16已知点M在曲线y=ln（x1）上，点N在曲线y=（x1）上，点P在直线y=x上，则|PM|+

21、|PN|的最小值为2【考点】两点间距离公式的应用【分析】求出曲线y=ln（x1）与曲线y=（x1）的交点为（2，0），两曲线在（2，0）处有相同的切线，利用（2，0）到直线y=x的距离为，可得|PM|+|PN|的最小值【解答】解：由题意，曲线y=ln（x1）与曲线y=（x1）的交点为（2，0）y=ln（x1），y=，x=2时，y=1；y=1，y=，x=2时，y=1，两曲线在（2，0）处有相同的切线，（2，0）到直线y=x的距离为，|PM|+|PN|的最小值为2，故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知集合A=m|方程x2+mx+1=0有两个

22、不相等的实根，集合B=x|log2xa（）求集合A；（）若xB是xA的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（）根据二次函数的性质得到0，解出m的范围即可；（）求出集合B，结合充分必要条件的定义求出a的范围即可【解答】解：（）由方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，=m240，解得：m2或m2，A=m|m2或m2；（）B=x|log2xa=x|x2a，由xB是xA的充分不必要条件，2a2，解得：a1，实数a的取值范围为1，+）18已知函数f（x）=x32ax2+3ax，在x=1时取得极值（）求a的值（）若关于x的不等式f（x）k0在0，4上恒成

23、立，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出f（x）的导数，得到f（1）=0，从而求出a的值，检验即可；（）x0，4，f（x）k0恒成立，即kf（x）max，根据函数的单调性，求出f（x）的最大值，从而求出k的范围即可【解答】解：（）由题意的得f'（x）=3x24ax+3a，x=1是函数的极值点，f'（1）=0，即34a+3a=0，解得a=3，经检验a=3符合题意，a=3；（）由（）知f（x）=x36x2+9x，x0，4，f（x）k0恒成立，即kf（x）max，由（）可知f（x）在0，1）单调递增，

24、在1，3单调递减，（3，4单调递增，fmax=f（1）=f（4）=4，k419为了美化景区环境，景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理为了更好地实行措施特向游客征求意见，随机抽取了200人进行了调查，得到如表数据：罚款金额x（单位：元）0102050100会继续乱扔垃圾的人数y20151050（）画出散点图，判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并求回归直线方程=x+，其中=0.18， =；（）由（）分析，要使乱扔垃圾者的人数不超过5%，罚款金额至少是多少元？【考点】线性回归方程【分析】（）根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图先求出罚款金额x和会继续乱扔垃圾的

25、人数y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程（）由题意可知，回归直线方程0.18x+16.48200×5%，求得x的取值范围【解答】解：（）散点图：由散点图可判断它们之间负相关 由表中数据条件可得=36， =10，则，故回归直线方程为，（）由0.18x+16.48200×5%，可得x36，所以，要使乱扔垃圾者不超过5%，处罚金额至少是36元20已知函数f（x）=ax+（k1）ax（a1）是定义域为R的偶函数（）求k的值（）若f（1）=且g（x）=a2x+a2x2mf（x）的最小值为3，求m的值【考

26、点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质【分析】（）运用偶函数的定义：f（x）=f（x），化简整理可得k=2；（）由，可得a=，即有f（x）=2x+2x，g（x）=22x+22x2m（2x+2x），可令t=2x+2x2，则22x+22x=t22，令h（t）=t22mt2，求出对称轴，讨论与区间2，+）的关系，求得最小值，解方程可得m的值【解答】解：（）由f（x）是定义域为R的偶函数，可得xR，f（x）=f（x），即ax+（k1）ax=ax+（k1）ax，化简得：（k2）（axax）=0因为x为任意实数，所以k=2（用特殊值法要检验，否则扣一分）；（）由（）得f（x）=ax+ax，因为，所以

27、，解得a=或a=2（舍去），故f（x）=2x+2x，g（x）=22x+22x2m（2x+2x），令t=2x+2x2，则22x+22x=t22，令h（t）=t22mt2=（tm）2m22，t2，又因为hmin=3，当m2时，h（t）在2，+）上是增函数，则h（2）=3，即44m2=3，解得m=，当m2时，h（t）在2，m上是减函数，在m，+）上是增函数，则h（m）=3，即m22=3，解得m=±1（舍去） 综上：m= 21已知函数f（x）=lnxmx2（mR）（）当m=2时，求函数f（x）的单调区间（）当m0时，是否存在实数x1，x2（0x1x2），使得当xx1，x2时，函数 f（x）的

28、值域是ax121，ax221（aR）？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（）设g（x）=f（x）（ax21）=lnx（m+a）x2+1，则y=g（x）必须有两个不同零点x1，x2； 通过讨论函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）当m=2时，函数f（x）=lnx2x2，定义域为（0，+），由f（x）=0，得，（x=舍去） 列表：x（，+）f（x）+ 0f（x）递增极大值递减f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+）（）假设存在实数x1，x2（0x1x2），使得当x

29、x1，x2时，函数f（x）的值域，由于a1a1（0x1x2），所以a0 当m0时，f（x）在区间（0，+）上单调递增，f（x1）=a1，f（x2）=a1，设g（x）=f（x）（ax21）=lnx（m+a）x2+1，则y=g（x）必须有两个不同零点x1，x2； 当m+a0时，g'（x）0，g（x）单调递增，没有两个不同零点，不成立； 当m+a0即am时，由，列表：x（0，）g（x）+0g（x）递增极大值递减g（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+），g（x）的最大值=要使y=g（x）有两个不同零点x1，x2，则 g（x）的最大值，解得：又x+或x0时，g（x）所以存在实数a，取值范围mam 选修4-1：几何证明选讲22如图，O的半径为6，线段AB与相交于点C、D，AC=4，BOD=A，OB与O