空间角与距离和空间向量

1、空间角与距离 1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3.计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角 范围：0°90° 方法：平移法；补形

2、法.直线与平面所成的角 范围：0°90° 方法：关键是作垂线，找射影.二面角范围：0°180° 方法：定义法； 三垂线定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算（2）空间距离两点之间的距离. 点到直线的距离. 点到平面的距离. 两条平行线间的距离.两条异面直线间的距离. 平面的平行直线与平面之间的距离. 两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化

3、成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.补法把不规则的图形转化成规

4、则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变例51.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角为( ) (A)30°(B)45° (C)60°(D)90°例52. 如图，AB=2，AC，BD，C，D，CD=1，则直线AB与所成的角为（ ）(A)30 (B)60 (C)arctan (D)45例53. 已知正方形ABCD，沿对角线AC将ADC折起，设A

5、D与平面ABC所成的角为b，当b 取最大值时，二面角BACD等于( ) (A)1200 (B)900 (C)600 (D)450例54. 若三直线PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点P到平面ABC的距离为（ ）(A) (B) (C) (D)空间角与距离和空间向量空间角与距离例55. 等边ABC的边长是1，BC边上的高是AD，沿AD折成直二面角，则点A到BC的距离是（ ）(A) (B) (C) (D)1例56. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E是的中点，那么异面直线OE和之间的距离等于( )(A) (B)1 (C) (D) 例57.正方体ABCD-A1B1

6、C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为 ；（2）A1C与底面ABCD所成的角的正切值为 ；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为 。例58. 若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是 .例59. 二面角为，在其内一点到平面的距离分别为2，3，则的周长的最小值为 . 例60. 如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中.（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；（3）求到平面PAD的距离.空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等

7、的向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.空间向量及其运算2.共线向量与共面向量: (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意两个向量总是共面的(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点 P在直线上的充要条件是存在实数,满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量

8、共面的充要条件是存在实数对，使. 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间任一定点O，有.3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z, 使 (这里隐含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，则向量用即证. 4.两个向量的数量积(1)向量的数量积 (2)向量的数量积的性质:(是单位向量)；.(3)向量的数量积满足如下运算律:交换律:; 与实数相乘的结合律=

9、; 分配律:. 注:向量的数量积不满足结合律即5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、 yOz平面、z0x平面作空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy=1350,yOz=900对于空间任一向量，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记为=对于空间

10、任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使，即点A的坐标为.空间向量及其运算空间向量的直角坐标运算:设=(a1,a2,a3),，则, (用到常用的向量模与向量之间的转化：)设，则=这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标则，这就是空间两点间的距离公式6. 法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果, 那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为. (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) 利用法向量可

11、求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.直线与平面所成角(为平面的法向量).异面直线间的距离 (的公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). (实质是在公垂向量方向上的投影的绝对值)例61.已知向量(1，3，2)，(2，0，2)，(0，2，1)，则的模为( )(A) (B) (C)12 (D)13空间向量及其运算例62. 如图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于( ) (A) (B) (C) (D) 例63. 若、三个单位向量两两之间夹角为,则|+

12、|( )(A)6 (B) (C)3 (D)例64. 设，则使A、B、C三点共线的条件是( )(A)，(B) (C) (D)例65. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是( )(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定例66. 设是平面 a 内的两个非零向量，则0，0是为平面 a 的法向量的( )(A)充分条件 (B)充要条件 (C)必要条件(D)既非充分又非必要条件例67. 若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三个顶点，则x 例68. 已知，若，共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1, 2, 1)移到点M2(3, 1,

13、 2)，则合力所作的功为_.例69. 这四个点是否共面_.(注:共面填“是”,不共面填“否”) 例70. 如图直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.求的大小（用反三角函数表示）；设OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；O到平面SBC的距离.设_. 异面直线SC、OB的距离为_.（注：只要求写出答案）数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体)答案例51. A 例52.B 例53B例54.B例55.C 例56.A例57. (1)450（2）（3）300 例58. 75 0或1650 例59. 作点A关于的对称点A1，A2，A1A2的长度即为所求