现代控制理论倒置摆课程设计

1、现代控制理论课程设计倒置摆概念倒置摆是处于倒置不稳定状态，认为控制使其处于动态平衡的一种摆。如级演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在非线性、非自知不稳定系统。常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，期中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、求平衡系统和平行式倒立摆等。 z如图所示，设摆的长度为l、质量为m，有铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车世家控制力u，相对参考位移z。如不给小车世家控制力，则单倒摆会想做或向右倾倒。我吗的控制目的在于，当倒置摆

2、无论出现想做或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。为了简化问题，我们忽略一些次要因素：摆杆的质量、执行电动机的惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力等。【建模分析】一、列出微分方程设小车水煎位置为z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为（z+ lsin）。在控制力u的租用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有M+m（z +l sin）=u即（M + m）-ml=u 由于饶白轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平和，因而有m（z +l sin）l=mg l即+l 二、线性化处理由于控制的目的是保

3、持道白之力，因此，在施加合适u的条件下，可以认为均接近零，此时，且可忽略项，于是将式化简为（M+m）+ml=u =g 由，可得=-+u =-u 消去中间变量，课得到输入量为u、输出量为z的系统微分方程为-u三、列出状态方程选取小车的位移z及其速度、摆的角位置及其角速度作为状态变量，z作为输出变量，并考虑恒等式=，=及式子，可列出系统的状态空间表达式为 0 1 0 0 0 0 0 - 0 = 0 0 0 1 X + 0 u 0 0 0 Y = 1 0 0 0 X式子中 X =嘉定系统参数M = 1kg，m = 0.1kg， l = 1m，g = 9.81m/，则状态方程中参数矩阵为 0 1 0

4、0 0 0 0 -1 0 1A = 0 0 0 1 b = 0 c =（1 0 0 0） 0 0 11 0 -1四、被控对象特征分析1、能控性、能观性分析利用秩判据，rank M = rank （b Ab b b）= 4, 即满秩，rank N = rank （c Ac c c）= 4，即满秩。因此，单倒置摆的运动状态是可控的、可观测的。2、稳定性分析利用MATLAB仿真，变量的结果：变量z的结果：变量的结果：变量的结果：很显然，系统是发散的，系统不稳定。须要对被控系统进行反馈综合，使得系统能够收敛，使系统处于渐近稳定或大范围渐近稳定，从而满足系统的稳定工作并达到良好的动、静态性能。【解决方案

5、】采用全状态反馈。去状态变量z、为反馈信号，状态反馈控制规律为u=v-kx设 k=（ ）式中，分别为z、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为设置期望闭环极点为-1，-2，-1+i,-1-i由matlab可求得： =-0.4，=-1，=-21.4，=-6程序如下：如下图画出状态反馈系统结构图：图像显示：变量z的结果：变量的结果变量的结果：变量的结果：如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。观察仿真曲线：单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即=0），小

6、车也保持稳定（即z=某一常数）。如果不将4个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、的信息。因此，需要设置z、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。1、 判断被控对象的状态能观性。由前面的分析判断，可知，系统是能观测的。2、全维观测器的运动方程为 式中 全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减

7、的速率。 设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估计值至少以规律衰减。其中，G由下程序得到：故：=9，=42，=-148，=-492用全维状态观测器实现状态反馈的结构图如下：图像显示：变量z的结果：变量的结果：变量的结果：变量的结果由以上分析可见状态反馈系统为稳定闭环系统,，仿真结果表明状态反馈控制理论对倒立摆系统的控制是有效的，倒立摆能够被控稳定。状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置这为我们提供了控制系统的手段, 假如系统的所有状态都可以被测量和反馈的话, 状态反馈可以提供简单而适用的设计。系统通过MATLAB对单级倒立摆系统进行仿真控制研究，仿真结果表明状态反馈控