第三章(第57讲)

1、第三章 连续信号的正交分解§3-1引 言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。 类似上章所述，通过信号

2、分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1） 如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量分解有相似之处。为了形象地说明信号分解，首先我们讨论矢量分解。一、 矢量的分解1、 矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。2、 矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。3、 矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：在上的分量为在上的投影：

3、AA1C1A1E其中，E为误差矢量。而在上的垂直投影的模：，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E最小的系数为：其中的称为矢量和的相似系数。其它投影情况下误差E不为最小，见上图。如果（或），则表明和相垂直（又称为正交）。 2） 矢量的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：² 显然，如果知道了标准矢量和响应的系数，就可以确定任意矢量。² 如何确定最佳的系数？情况比较复杂，对于特定的i而言，不仅与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。但是如果矢量两两正交，可以证明：4、 标准矢量基的几个限制条件：1） 归一化：标准矢量的模等于1方便计算；2） 正交化：标准

4、矢量两两正交；3） 完备性：可以不失真地组合出任意矢量。二、 信号的分解用与矢量分解相类比的方法，我们也可以推导出信号分解。1、 单个标准信号下的分解：在时间区间内，用近似任意函数，并使误差尽可能小。1） 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误差：2） 最佳系数：（也称为函数和的相似系数。3） 如果（或），则称和正交。4） 如果和是复函数，则其方均误差为：最佳系数为：2、 多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：这里的同样难以确定。但是如果标准函数之间两两正交，则可以证明：例：标准信号集：泰勒级数，三角函数：3、 对标准信号集的要求：1） 归一化：2） 正交化：，3） 完备性

5、：可以用其线性组合表示任意信号。完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。附：矢量与函数的运算与分解比较：矢量函数加法标乘乘法正交归一误差误差代价函数系数§3-3 信号表示为傅里叶级数傅里叶级数是最常用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用途。一、 三角函数形式的傅里叶级数这种正交函数集为：其中：或将正交函数集表示为：可以证明该函数集满足：1）正交性：函数集中的函数两两相正交。2）当时：² 可以将任意函数f(t)在这个正交函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）

6、：其中的系数可以根据§3-2节的结果计算出：其中的表达不太方便。为了方便表达，将分解式改写：则系数为：其中，n=0，1，2，。所以，信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。² 另外一种分解方式：令：，则上面的分解式可以表达成：它可以看成是下列正交信号集：的平移后的线性组合。其中，和是n的偶函数；和是n的奇函数；如果f(t)是实数信号。上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet(狄利克雷)证明，只要满足下面三个条件，等式就收敛：1） f(t)绝对可积，即：2） f(t)在区间内有有限

7、个间断点；3） f(t)在区间内有有限个极值点。实际信号大都满足这个条件。² 等式右边是多个周期为T的函数的和，它仍然是周期为T的函数。² 这种分解可以用在两个场合：1） 研究函数在区间内的分解；2） 研究周期为T的函数在整个时间区间内的分解。本课程中研究的是2）。² 如果f(t) 周期为T的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区间取² 在函数的分解中：称为信号的直流分量；、或称为信号的基波分量；、或称为信号的n(n时)次谐波分量；² 实际情况下，n无法计算到无穷大，只能取有限。这时，这种正交展开是有误差的。n越大，误差越小。例：方波的傅里叶级数

8、，P97。按照定义公式，可以计算出：所以该方波在一个周期（0，T）中可表示为：Gibbs（吉布斯）现象：对于具有不连续点的函数，即使所取级数的项数无限增大，在不连续处，级数之和仍不收敛于于原函数。在跃变点附近，出现振荡、超过原函数幅度的过冲。随着n趋向于无穷，在函数的间断点附近，其过冲值收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%。如果此方波是在区间上周期性变化的，那么，在上，亦有：复指数形式的傅里叶级数有两种推导方式：（1）其级数展开式是从复指数正交函数集出发，将函数展开为：其中使用的正交函数集为复指数函数：或者记为：根据前面的公式，可以得到其中的系数为：因为其中的复指数函数为正交函数集，

9、所以，（2）其级数展开式从三角函数的函数形式的傅里叶级数入手：令：，可以得到：令：通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：而：>>,² 两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个系数计算公式，可以得到：这个等式反映了与、或、之间的关系。例如：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：² 表示一种复正弦信号，其中n可以为正，也可以为负，这时就会出现频率小于零的负频率，这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。² 复指数形式的傅里叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很

10、多方便之处，所以应用广泛。二、 函数的奇偶性与其傅里叶级数关系掌握这些关系有利于傅里叶级数系数的化简和计算。1、如果函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流分量和余弦分量。偶函数:。因为，所以，有：2、如果函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量。 奇函数：。因为，所以，有：3、任意函数可以分解为一个奇函数和一个偶函数的和。4、信号的平移可以使函数的奇偶性改变。5、奇谐函数:奇谐函数的定义：满足的周期为T的函数。代表奇次谐波的余弦项和正弦项，（k=0,1,2,）,以及由这些项叠加所组成的函数符合，而代表偶次谐波的余弦项、正弦项，（k=0,1,2,）和代表直流分量的常数项，以及由这些项叠加所组成

11、的函数，都不符合。所以，奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量,不包含直流分量和偶次谐波分量。6、偶谐函数：偶谐函数的定义：满足的周期为T的函数。偶谐函数实际上是周期为的函数。偶谐函数的傅里叶级数中只有直流和偶次谐波的余弦分量。习题：3.3(1);3.7;3.10.*§3-4 周期性信号的频谱频谱是信号的一种图形表示方法，它将信号各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来。它可以说明信号的特性，而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处。频谱图有两个组成部分：振幅频谱：表示信号含有的各个频率分量的幅度。其横坐标为频率，纵坐标为各个对应频率分量的幅度。相位频谱：表示信号含有的各个

12、频率分量的相位。其横坐标为频率，纵坐标为各个对应频率分量的相位。频谱图有两种形式：1、如果采用正弦函数展开形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：其中，振幅频谱为：相位频谱为：而，其中，n=0，1，2，。 按照这种定义做出的频谱，因为只有时才有意义，做出的图只有的一边，所以又被称为单边频谱。例：周期性方波的单边频谱。，所以：其振幅频谱图为：其中，。特点：1） 离散频谱；2） 的整数倍；3） 振幅随谐波次数的增高而逐渐趋小。注意：单边频谱中，对于点上的振幅频谱，即为信号的直流分量，应为的一半，即 ；2、如果采用复指数展开形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：其中，振幅为，相位频谱为：，则做出的频谱出的

13、图又被称为双边频谱。例：周期性方波的双边频谱。其振幅频谱图为：0由于对于实数信号而言，其频谱具有对称性，所以一般情况下对于双边频谱也只要作出部分就可以了。这样一来的双边频谱与单边频谱就有些相似，但是含义不同。在频谱形状上，两者的相位频谱相同，但是振幅频谱的幅度大小为双边频谱是单边谱的一半。单边频谱在物理概念上容易理解，但是双边频谱对于后续的处理带来很大的好处。所以在后面的内容中，频谱往往都是用双边频谱。周期性信号的频谱有下面三个特点：1、 离散性：它有不连续的线条组成；2、 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；3、 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零。例：周期性方波

14、脉冲的频谱：其中：，称为抽样函数。信号的频谱如下图。该图中信号的振幅频谱和相位频谱可以合二为一。根据周期性方波的频谱，我们可以得到关于信号特性的几个一般性结论：1、 T增加>函数：1）收敛性不变；2）谱线幅度降低；3）谱线密度加大（=2/T）。当T趋向无穷大时，信号成为非周期信号，这时，谱线幅度降低为无穷小。2、 下降>函数：1）收敛性不变；2）谱线幅度降低；3）谱线密度不变（=2/T）。3、 信号的频带：由于信号的频谱的收敛性，一般可以在一个信号分量主要集中的频率区间内研究信号的特性，而忽略信号其它部分的分量。响应的频率区间就是信号的频带。信号频带有下列几种确定方法：1） 以信号

15、最大幅度的为限，其它部分忽略不计；2） 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计；3） 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计；4、 信号的边沿对信号频带的影响信号的边沿变化越快，信号的频带越宽。§3-5 傅里叶变换与非周期性信号的频谱非周期性信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。一、 从周期信号到非周期信号从傅里叶级数到傅里叶变换 根据周期信号傅里叶级数展开公式，其各个频率分量的幅度为：当时，从周期信号转变到非周期信号,此时：1） 频谱间隔趋向无穷小，信号在各个频率点上都有信号分量>频率取值变成连续的。2） 在每一个频率点上的频率分量大小趋向

16、零。上述第2）点给计算带来了麻烦，所以无法用傅里叶级数表示非周期信号。这时，为了消除系数公式中趋向无穷小的部分，定义：这时上式可以得到一个非零的值。令，则，而成为一个连续的变量，假设其表示为连续的变量，则可以得到傅里叶变换公式：n 因为，该式有“单位频带内信号幅度”的量纲，所以被称为“频谱密度函数”。它表示信号在该频率点上分量的相对大小，而信号在此频率点上的实际分量大小为零。n 与傅里叶级数一样，如果f(t)是实数函数，的幅度是的偶函数，的相位是的奇函数。二、傅里叶反变换怎样用计算f(t)即：这个公式实际上也表示了将信号分解为一系列复指数函数的子信号之和（积分）。这个公式也可以表达成为一个在物

17、理上更容易理解的实数三角函数形式：（由于第二个积分项中的函数是奇函数，所以等于零。）总结：正反傅里叶变换公式：FT：IFT：n 和之间是一一对应的，根据其中的一个可以确定另外一个。可以认为，它们包含了相同的信息，只不过自变量不同，它们是相同信号的不同表达形式。正变换将以时间为自变量的函数变成了以频率为自变量的函数，将信号从时域变换到了频域。反变换将以频率为自变量的函数变成了以时间为自变量的函数，将信号从频域变换到了时域。所以，建立在这种变换上的系统分析方法称为变换域法。这种变换通常经过积分计算得出，所以也称为积分变换。n 傅里叶变换所牵涉的两个函数都是连续函数，所以它完成的是从连续函数到连续函

18、数的变换；而傅里叶级数则是完成从连续函数到离散函数的描述。n 傅里叶变换存在的条件依然是Direchlet条件，只不过这时考虑的时间区间为。n 在频域中我们用作自变量，目的是为后面引入拉普拉斯变换给出一个基础性的概念。三、非周期信号的频谱这里同样可以用图的形式，在变换域中表示信号。响应的频谱图称为信号的振幅（或幅频）特性曲线和相频特性曲线。例：方波的频谱：而，四、傅里叶变换的另外几种形式：1、将频域中的自变量从变成，则：FT：IFT：或：FT：IFT：这种形式上正反傅里叶变换形式上比较对称，但是使用时并不方便。2、一些文献上也可以见到另一种形式的傅里叶变换公式：FT：IFT：§3-6

19、 常用信号的F.T常用信号的FT见P125129表。现在将一些结论列举如下：1、 冲激函数：反变换：不满足绝对可积条件。此时，引进下式：则，从冲激函数的定义考虑问题：，时，上述极限表达式为零。而有：所以，2、 单边指数信号：3、 双边指数信号：以上两个信号的FT只在时存在。4、 门函数：5、 阶跃信号：6、 直流：Ø 阶跃信号和直流信号并不满足绝对可积条件，严格地说不存在傅里叶变换。但是通过引入冲激函数，也可以找到其傅里叶变换的表达式，从而也可以用傅里叶变换的方法进行分析.习题：.3.9*§3-7 周期性信号的傅里叶变换这里特别提这个问题是因为周期性信号是功率信号，不满足绝

20、对可积条件，因而无法讨论其傅里叶变换。但是，在允许冲激函数存在，并认为它是有意义的前提下，通过引入冲激函数，从极限的观点来分析，一样可以找到傅里叶变换（广义傅里叶变换）。1、 复指数（正弦）信号的傅里叶变换：这个积分不满足绝对可积条件，因而我们引入冲激函数来解决。而，将上式中，则：所以，n 根据这个变换以及后面要证明的傅里叶变换的线性特性，可以推导出：2、 周期性信号的傅里叶变换周期性信号可以展开成傅里叶级数：由此可以得到周期性信号的傅里叶变换为:可见，周期性信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列。3、 脉冲信号（FT为）按照周期T进行周期化后信号的FT：（这里假设周期化后各个脉冲没有重叠）f(t)周期化后可以表示成为傅里叶级数：所以：其中：即，所以：n 通过查表，可以很方便地得到：1） 非周期信号的FT。2） 周期信号的FT。3） 周期信号的傅里叶级数。4、 均匀冲激序列的FT：由周期性信号的傅里叶变换式:其中，得到冲激函数对应的