【2020年高考必备】四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)及解析

1、四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知集合A=（x, y） | y=f （x） , B= （x, y） |x=1，则 AGB 中元素的个数为（）A.必有 1 个B. 1 个或 2 个 C.至多 1 个D.可能 2 个以上2.（5 分）已知复数 z 满足 I ,则复数z 的虚部是（）z 1+211-1A.】B. 一 C.D.亠5515513 . （ 5 分）已知向量一，：:是互相垂直的单位向量，且，则：=（ ）A.- 1 B. 1C. 6 D.- 64.（5 分）

2、已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为()A. =0.7x- 2.3 B. ，.-= 0.7x+10.3 C. = 10.3x+0.7 D.=10.3x- 0.75.(5 分)设 f (x) =asin (n+a)+bcos (n+ ，其中 a，b，a， B都是非零实数，若 f (2017) =- 1,那么 f (2018)=()A. 1B. 2C. 0 D.- 16.(5 分)若 0vmv1,则()A. logm(1+m) logm(1 - m)B. logm(1+m) 0丄丄C. 1 - m

3、( 1 +m)2D i . r i 7.(5 分)已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为()A.二 B. 4 C. 3 D.228.（5 分）函数 f （x） =x3+x2- ax-4 在区间（-1, 1）内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为（）A. （1,5）B. 1,5）C.（1,5 D. （-X,1）U（5,+）9.（5 分）如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜边与 30直角三角板的 30角所对的直角边重合.若 一： . 一 1：:,则 x+y=（）A.：乙 B.= C.二 D.10. （5

4、分）已知 A, B, C, D 是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形，AD 丄平面 ABC, AD=2AB=6 则该球的体积为（ ）A.L B.48nC. 24nD.16n11. （5 分）已知抛物线 C: x2=4y,直线 I: y=- 1, PA PB 为抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A, B,则 点 P 在 l 上”是“PAPB的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. (5 分)已知函数 f (x) =1 - 一 (xe, e=2.71828 是自然对数的底数)lnx+1若 f (m) =2ln 讥-f (n),则 f (mn

5、)的取值范围为()A. ：, 1)B匚，1)C十,1) D. : , 1二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13._ (5 分)门 的展开式中有理项系数之和为 _ .14. (5 分)函数 I -.的单调递增区间是 _.15. (5 分)若圆 01： x2+y2=5 与圆 O2: (x+m)2+y2=20 ( m R)相交于 A, B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是_ .16.(5 分)定义域为 R 的偶函数 f (x)满足对？x R,有 f (x+2) =f (x)- f(1),且当 x 2, 3时，f (x) =-2x2+12x-

6、18,若函数 y=f (x)- loga(| x|+1) 在(0,+x)上至少有三个零点，则 a 的取值范围是_ .三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)17. (12 分)已知数列an的前 n 项和为 乳 且 S1=2an- 2.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列C 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.518. (12 分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5, 15,(15, 25 , (25, 35 , (35, 45,由此得到样本的重量频

7、率分布直方图 (如图).(1) 求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2) 从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在5, 15内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)骑i査N 分别是 DE, AB 的中点.(1) 证明：MN /平面 BCE(2) 求锐二面角 M - AB- E 的余弦值.E2 220.(12 分)已知椭圆1，-的左焦点为 F,左顶点为 A.J；0(1) 若 P 是椭圆上的任意一点，求 即-门;的取值范围；(2)已知直线 I: y=kx+m 与椭圆相交于不同的两点 M , N (均不是长轴的端点)，AH 丄 MN

8、，垂足为 H 且求证：直线 I 恒过定点.21.(12 分)已知 a R,函数 f (x) =ln (x+1)- X +ax+2.(1) 若函数 f (x)在1, +x)上为减函数，求实数 a 的取值范围；(2)令 a=- 1, b R,已知函数 g (x) =b+2bx - x2.若对任意 (- 1, +), 总存在 x2 - 1, +x),使得 f (X1)=g (X2)成立，求实数 b 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(a为ly=sina参数)，在以原点为极点，x

9、轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为门.-二-|_-(1) 求 C 的普通方程和 I 的倾斜角；(2) 设点 P (0, 2), I 和 C 交于 A, B 两点，求|PA+| PB .23. 已知函数 f (x) =|x+1| .(1) 求不等式 f (x)v| 2x+1| - 1 的解集M ;(2) 设 a, b M，证明：f (ab) f (a)- f (- b).2018年四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. (5 分)已知集合A=

10、(x, y) | y=f (x) , B= (x, y) |x=1，则 AGB 中元 素的个数为()A.必有 1 个 B. 1 个或 2 个 C.至多 1 个D.可能 2 个以上【解答】解：集合 A= (x，y) | y=f (x) ，B=(x，y) | x=1，则 AAB= (x，y) | y=f (x)，且 x=1，当 x=1 时，f (1)的值存在，AAB= (1, f (1) ，有一个元素；当 x=1 时，f (1)的值不存在，AAB=?，没有元素； AAB 中元素的个数至多一个.故选：C.2(5 分)已知复数z满足丄，则复数z的虚部是(Ax B C D【解答】解：由.，z 1+211

11、-1得一 宀zJ复数 z 的虚部是-.5故选：C.3 . ( 5 分)已知向量是互相垂直的单位向量，且一 1，则一 . -=( )A. 1 B. 1C. 6 D. 6【解答】解：向量,；是互相垂直的单位向量，且 .i_ -:,则“ ：=0L+5:二1+5X(1)=6.故选：D.4.(5 分)已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据:x651012y6532则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为()A.=0.7x 2.3 B. -= 0.7x+10.3 C. ：-= 10.3x+0.7 D.：-=10.3x 0.7【解答】解：根据表中数据，得；:J (6+5+10

12、+12)=仝,44_=1(6+5+3+2) =4,4且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，所以，验证匸=时，,.= 0.7X+10.34，4y4即回归直线=0.7x+10.3 过样本中心点(匚，一).故选：B.5.(5 分)设 f (x) =asin (n+a)+bcos (n+ ，其中 a，b，a， B都是非零实数，若 f (2017) = 1,那么 f (2018)=()A. 1 B. 2C. 0D. 1【解答】解：f (x) =asin (n+a)+bcos (nxB)，其中 a，b，a，B都是非零实 数，若 f(2017)=asin(2017a)+bcos(2017B)=as

13、inbcosB=1，则 asinabcosB那么 f(2018)=asin(2018n+a)+bcos(2018 冗+B)=asin +bcosB=1 故选：A.6. (5 分)若 Ovmv1,则()A. logm(1+m) logm(1 - m) B. logm(1+m) 01 12 C. 1- m( 1+m)D. :, -. ：rI -【解答】解：TOvmv1,A函数 y=logmx 是(0, +x)上的减函数，又/ 1+m 1 - m0, logm(1+m)vlogm(1 - m);二 A 不正确；2TOvmv1 , 1+m 1 , logm(1+m)v0；AB不正确；3T0vmv1 ,

14、 0v1 - mv1, 1+m 1 , 1 - m( 1+m)2；二 C 不正确；40vmv1 , 0v1 - mv1 ,函数 y= (1 - m)x是定义域 R 上的减函数，丄j_又T訂三，：.J f | r；D正确；故选：D.7. （5 分）已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如 图所示，则该截面的面积为（）A. B. 4 C. 3 D.2 2【解答】解：由三视图还原原几何体如图,截面是等腰梯形 FHDE正方体的棱长为 2, FH=匚，DE 二匚，梯形的高为 二-该截面的面积为 S= |-.故选：A.8. (5 分)函数 f (x) =x3+x2- ax-4 在区

15、间(-1, 1)内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为()A. (1,5)B. 1,5)C.(1,5 D. (-X,1)U(5,+)【解答】解：由题意，f( x) =3x2+2x - a,则 f(-1)f(1)v0,即(1-a) (5-a)v0,解得 1vav5,另外，当 a=1 时，函数 f (x) =x3+x2- x- 4 在区间(-1, 1)恰有一个极值点， 当 a=5时，函数 f (x) =x3+x2- 5x- 4 在区间(-1 , 1)没有一个极值点， 故选：B.9.(5 分)如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三 角板的斜边与 30直角三角板的 3

16、0角所对的直角边重合.若 -八 : - -,则 x+y=( )CA.-B.匚 C. -D.【解答】解：由题意得，若设 AD=DC=1 贝 UAC 顼,AB=2伍,BC 五，由题意知，川）.: , BCD 中，由余弦定理得DB2=DC?+CB?- 2DC?CB?co（45+90 =1+6+2X1X宁八音 7+2 二vZADC=90,. DB2=x2+y2，X2+=7+2.如图，作亍，:厂，亠 .，贝 uCC =-1，C B=yRtACCB,由勾股定理得BCcCf+CB即 6= （X-I）2+y，由可得X=1+7二，y=；.那么：x+y=1+2:故选：B.c10. （5 分）已知 A，B，C，D

17、是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形,AD 丄平面 ABC AD=2AB=6 则该球的体积为（ ）4A.二门二 B. 48nC. 24nD.16n【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径,AD=2AB=6 OE=3 ABC 是正三角形，所以 AE=匚A=-所求球的体积为： | |= _, =327.故选 A.11. （5 分）已知抛物线 C: x2=4y,直线 I: y=- 1, PA PB 为抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A, B,则 点 P 在 I 上”是“PAPB的（）A.充分不必要条件 B.

18、必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由 x2=4y,对其求导得-,.2 2设A :, B ，则直线 PA, PB 的斜率分别为 kPA=，: 一，kPB=，:2 2由点斜式得 PA, PB 的方程分别为：y-，. ：,.：.、,一=（x-X2）,X1XiXn联立解得P:因为 P 在 I 上，所以所以 kpA?kpB=上-1,所以 PAXPB.反之也成立. 4所以点 P 在 I 上”是“PXPB的充要条件.故选：C.12. (5 分)已知函数 f (x) =1 - 一 (xe, e=2.71828 是自然对数的底数) lnx+1若 f (m) =2l- f (n),则

19、f (mn)的取值范围为()A. ：, 1)B.八，1)C. , 1) D., 147107【解答】解：由 f (m) =2ln - f (n)得 f (m) +f (n) =1? 一 |-,1 nm+11 nn+1f (mn) =1 - - -=1 - - ,ln(mnHl lnn+lnnr+1又 lnn+lnm+2= (lnn +1) +(lnm+1)(-+_-) =4+力口门皿+戈(11!口+1)lnn+1 lnm+llnn+1 lrn+14+4=8, Inn+lnm6, f (mn) =1 ，且 m、ne, lnn+lnm0, f (mn)ln(mn)+l 7=1-vf(mn)v1,故

20、选：B.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. （5 分）：心的展开式中有理项系数之和为32【解答】解：由-,得通项当 r=0、2、4、6时,此时有理项系数之和为故答案为：32.14.（5 分）函数 y=:的单调递增区间是_ 1【解答】 解：化简可得 y=sinxcos +cosxsin =sin （x+ ）,由 2kn二Wx+三 2kn+二可得 2kn二Wx 2kn二,k Z,Tr+i为有理项,2 23=6 62 2X X- -6 6 6 6c+4 4 6 6c c+ +2 2 6 6c-c-+ +c c23266当 k=0 时，可得函数的一个单调递增区间为-丄

21、丄，丄,66由 x 0,可得 x 0,2 6故答案为：0, 一 .615. (5 分)若圆 Oi： x2+y2=5 与圆 O2: (x+m)2+y2=20 (m R)相交于 A, B 两 点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是.【解答】解：由题 Oi(0, 0)与。2： (- m, 0)，根据圆心距大于半径之差而 小于半径之和， 可得-| m|v窗.再根据题意可得 OiA 丄 AO2, m2=5+20=25,二 m= 5,二利用1- _.,解得：AB=4.故答案为：4.16.(5 分)定义域为 R 的偶函数 f (x)满足对？x R,有 f (x+2) =f (x)- f

22、(1),且当 x 2, 3时，f (x) =-2x2+12x- 18,若函数 y=f (x)- loga(| x|+1) 在(0,+x)上至少有三个零点，则 a 的取值范围是(0，二-_ .-1【解答】解： f (x+2) =f (x)- f (1),且 f (x)是定义域为 R 的偶函数，令 x=- 1 可得 f (- 1+2) =f (- 1)- f (1),又 f (- 1) =f (1), f (1) =0 则有 f (x+2) =f (x), f (x)是最小正周期为 2 的偶函数.当 x 2 , 3时,f (x) =-2x2+12x- 18=- 2 (x- 3)2,函数的图象为开口

23、向下、顶点为(3, 0)的抛物线.函数 y=f (x)- loga(|x|+1)在(0, +x)上至少有三个零点，令 g( X)=loga( | x|+ 1)，则 f(X)的图象和 g( X)的图象至少有 3 个交点.If (x) 0,二 g (x)f (2),可得 loga(2+1 )f (2) =-2,即 loga3- 2,A3v，解得vav，又 0vav1 ,二 0vav,25333三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)17.(12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且$=2 為-2.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列丄一

24、的前 n 项和为 Tn,求 Tn.【解答】解：(1)当 n=1 时，a1=S=2a1- 2,解得矽=2.当 n 2 时，Sh-1=2an-1- 2,所以 an=Sn- Sn-1=2an - 2-( 2an-1- 2),即厶=2,%1所以数列an是以首项为 2,公比为 2 的等比数列,故答案为:故 an=2 (n N*).(2)丄_=(n+1)?U )n,an2则 Tn=2?(丄)+3? d )2+4? d ) *+ (n+1) ?(丄)n,22221Tn=2?C )2+3?(1 )3+4?(1 )4+-+(n+1)?f )n+1,22222上面两式相减，可得1Tn=1+ f )2+ d )3+

25、 d ) + d )n-( n+1) ?(丄)n+122 2 2 2 2 丄(1亠)4U9n-l=1+：-(n+1) ? ()n+1,1 丄2化简可得 Tn=3-（ n+3） ?（丄）-18.（12 分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随 机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5, 15，（15, 25，（25, 35，（35, 45，由此得到样本的重量频率分布直方图 （如图）.（1） 求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2） 从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在5，15内的小球个数为 X,求 X 的分布

26、列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）x10=1解得 a=0.03;又由最高矩形中点的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为：0.032a眶1525=0.2X10+0.32X20+0.3X30+0.18X40=24.6 (克)故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克.(2)利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5, 15内的 0.2;19.(12 分)如图，正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所在的平面互相垂直，M,N 分别是 DE, AB 的中点.(1) 证

27、明：MN /平面 BCE(2) 求锐二面角 M - AB- E 的余弦值.【解答】(1)证明：取 AE 中点 P,连结 MP, NP.由题意可得 MP/ AD/BC,因为 MP?平面 BCE BC?平面 BCE所以 MP /平面 BCE同理可证 NP/平面 BCEx=0, 1,2, 3;(X=0) =-x(x=1)-x(X=2)(X=3)=：x3二；2x一 八；5 125x( )2=；51253=125X01123PJ2_丄 X 的分布列为:即E(X)=0 x=圭W n?=因为 MPGNP=P,所以平面 MNP /平面 BCE又 MN?平面 MNP,所以 MN /平面 BCE(2)解：取 CD

28、 的中点 F,连接 NF, NE由题意可得 NE, NB, NF 两两垂直，以 N 为坐标原点，NE, NB, NF 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.令AB=2,则:二 lr所以 J.Y-设平面 MAB 的法向量 V. 二则、LnpAB=2y=0令 x=2,则：-因为二 u :是平面 ABE 的一个法向量V?x2 *7所以锐二面角 M - AB- E 的余弦值为亠.7所以|-.-:|n|AD|CE2220.(12 分)已知椭圆 1，-的左焦点为 F,左顶点为 A.J；V(1) 若 P 是椭圆上的任意一点，求 二“一的取值范围；(2) 已知直线 I: y=kx+m 与椭圆

29、相交于不同的两点 M , N (均不是长轴的端点)，AH 丄 MN，垂足为 H 且！；：5：匕，求证：直线 I 恒过定点.【解答】解：(1)设 P (xo, yo)，又 A (- 2, 0)，F (- 1, 0)所以-匕=，一-一 一，22因为 P 点在椭圆上，432 2 _所以.-，即，_=：-，且-20 得 4+3m2:j 匸士一 一冷【!Y=0,所以(X1+2) (x?+2) +y1y2=0即 I: :- -_/I1 - : ：:： 一，2 2设 M (冷,y1),N (X2, y2),则 K +葢-8km3+4k2Ki4 异-12一O3+4k4k2- 16km+7m2=0,所以:或均适

30、合当厂时，直线|过点 A,舍去，2 当上_时，直线 1;V-：- fk 过定点；.221.(12 分)已知 a R,函数 f (x) =ln (x+1)- x+ax+2.(1) 若函数 f (x)在1, +x)上为减函数，求实数 a 的取值范围；(2) 令 a=- 1，b R,已知函数 g (x) =b+2bx - x2.若对任意 X1(- 1，+x)， 总存在 x2 - 1，+x)，使得 f (X1)=g (X2)成立，求实数 b 的取值范围.【解答】解：(1)函数 f (x)在1，+X)上为减函数？f( x)- 2x+a 0 x+1在1，+x)上恒成立？a0 (或利用增函数减减函数)？h

31、(x)在1，+x+1X)上为增函数？h (x) min=h (1)=，2所以 aw；2(2)若对任意 X1 - 1，+X)，总存在 X2 - 1，+X)，使得 f (xC =g (X2) 成立，贝U函数 f (X)在(-1，+X)上的值域是函数 g (X)在-1，+X)上的 值域的子集.对于函数 f (X)，因为a=- 1，所以 f (x) =ln (x+1)- X2-x+2，定义域(-1，+X9/、1 c_2x-3Kf (x) =- 2x- 1 =K+1X+1令 f( x) =0 得 X1=0X2=二(舍去).当 X 变化时，f ( X)与 f( X)的变化情况如下表：X(-L0)0(何)f(x)+-Z极大值所以 f (x) max=f (0) =2?所以 f (x)的值域为(-乂, 2)对于函数 g (x) =-x2+2bx+b= -(x-b)2