【2020年高考必备】衡水独家秘籍之高中期末复习专题六异面直线问题求解攻略

1、衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习专题六异面直线问题求解攻略【方法综述】异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中一类最重要的位置关系，它在立体几何中占有重要的地位，是历年考查的重点和热点，围绕异面直线设计的命题，主要有以下类型， 一是概念的辨析，二是判定与证明，三是角的计算下面举例说明.1概念的辨析异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行.要注意把握异面直线的这种不共面特性.应该明确分别在不同平面内的两条直线不一定是异面直线， 在某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线也不一定是 异面直线.例1.若直线和是异面直线，在平面内，在平

2、面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.与都不相交B. 与 都相交C.至多与中的一条相交D. 至少与 中的一条相交 解析在A中，直线与、可以相交，如图,所以选项B错误;在B中，直线 可以与、 中的一个平行，如上图，所以选项B错误;在C中，直线与、可以都相交，如图,所以选项C错误；在D中，“至少与中的一条相交”正确, 假设直线与、都不相交，因为直线与、都共面，所以直线与、都平行，所以，这与直线 和 是异面直线矛盾，所以选项D正确答案D.点评：异面直线的定义强调的是这两条直线不同在任何一个平面内，而不是指在某特定平面内.2异面直线的判定与证明异面直线的判定方法有：定义法，由定义判断两直

3、线不可能在同一平面内；反证法，用此方法可以证明两直线是异面直线.例2.M N E,F,G H, P, Q是正方体ABCDABCD所在棱的中点，贝U PQ EF,GH中与 直线MN异面的直线是_ 分析要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断.解析 首先，我们不难看出PQ/ MN其次，根据平面的基本性质，可得MN EF交于一点,即MNW EF共面；最后，我们可直观地得到GH与MN异面.答案GH点评：判断两条直线是不是异面直线，除了根据定义及平面的基本性质外，直观上的感知也是十分重要的一方面.3求异面直线所成的角求异面直线所成的角的解题思路是：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交

4、直线所成的角，具体的平移过程应视题而定主要有以下四种平移途径：1利用三角形的中位线平移；利用平行线分线段成比例的推论平移；利用平行四边形平移；利用补形平移.例3.如图，在每个面都为等边三角形的四面体SABC中,若点E, F分别为SC AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角.分析 要求异面直线EF与SA所成的角，首先依定义作出其所成角，为此取SB的中点D,连接ED FD根据三角形中位线性质知/EFD是异面直线EF与SA所成的角.解 如图，连接CF SF,设四面体SABC勺棱长为a,则SF=CF-23a.因为E为SC的中点，所以EFL SC1 1在RtSEF中，SE=2SC=qa,所以EF=S

5、FsE=a.取SB的中点为D,连接ED FD因为BC= SA=a,1 1而FD/ SAMFD=qSA ED/ CB且ED=qCB所以FD= ED=2a,于是FCf+ED=EF.故厶DEF是等腰直角三角形，可得/EFD=45 ,即异面直线EF与SA所成的角是45.点评：本题以正四面体为依托，通过求异面直线所成的角，考查了异面直线的有关概念，明确了求异面直线所成角的具体求解方法，即“作一证一求”.【针对训练】1.下列命题中，正确的是（）A.a?a,b?B,则a与b是异面直线B.过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线D.异面直线所成

6、的角的范围是0 ,90【答案】C【解析】分析 根据异面直线有关概念进行判断，将错误的选项逐一排除.解：选项A中，a,b的位置关系有可能相交、平行或异面；选项B中，过平面外一点与平 面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线；选项D中，两条平行或重合的直线所 成的角为0,因此异面直线所成角的范围是（0 ,90，故答案选C.2.正四面体中，分别为棱，的中点，则异面直线 与 所成的角是（）A.【答案】B【解析】取 中点，连结,设正四面体的棱长为，则，且是异面直线与所成的角,取中点，连结则，平面，?平面，异面直线与所成的角为-，故选B .3.如图，多面体直.给出下列四个命题:1三棱锥的体积为定值；

7、2经过四点的球的直径为两两垂3直线 /平面4直线所成的角为 ；其中真命题的个数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，构造长方体，如右图，设OA=x OB=y, OC=z贝H x2+y2=2，X2+Z2=4,y2+z2=4，解得，x=y=1，z=对于，三棱锥O- ABC的体积为-OCX - OAK OB，故对；对于，球面经过点AB、C D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为_,故对；对于，由于OB/ AE AE和平面ACD相交，贝U OB和平面ACD相交，故错.对于，由于OB/ AE则/DAE即为直线AD与OB所成的角，由tan/DAEJ一，则/DAE=60。，故对；底面是侧棱 的

8、C【答案】A设棱长为a，补正三棱柱ABC-AB2C2（如图）.平移AB至A2B,连接A2M/MBA即为AB与BM所成的角，在AB M中，故选：A.5.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABC场正方形，PDC,PBC,PAB,PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为C.直线BE与直线CF共面D. 面PAD与面PBC的交线与BC平行【答案】A折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直,【解析】A.平面BCDL平面PAD直线BE与直线AF是异面直线不正确;【解析】内,直线 不经过点,根据异面直线的定义可知： 直线 与直线 异 面，所以正

9、确；在 中，由，根据三角形的中位线定理可得，又故直线 与直线 共面，所以 正确；面 ，其中正确的结论为()【答案】D【解析】四点不共面，直线 与是异面直线，故错误；直线 与不同在任何平面内，是异面直，故正确；直线 与 不同在任何平面内，是异面直线，故错误；直线 与不同在任何平面内，是异面直，故正确，故选D.7关于异面直线，有下列四个命题:(1)过直线有且仅有一个平面 ，使/(2)过直线有且仅有一个平面 ，使由点不在平面由线面平行的性质可知面与面的交线与平行，正确，故选A.6.如图，在正方中,M N分别为棱GD、CC的中点，有以下四个结论:直线AM与CC是相交直线；直线BN与MB是异面直线;直线

10、AMW BN是平行直线；直线AM与DD是异面直线.A.B.CD.（3） 在空间中存在平面，使/ , /（4） 在空间中不存在平面，使，其中正确命题的序号是 _.【答案】（1） （3） （4）【解析】在直线选一点，过作直线，由公理3的推论可知存在平面 ，使得？，因异面，故，所以，若存在不同的平面，使得？，则，故 ，与 异面矛盾，故（1）正确对于（2），若存在平面，使得，因？，故，所以当不垂直时，（2）就不成立，故（2）错对于（4），如存在平面，使得，则，与异面矛盾，故（4）正确对于（3），在空间中取 ，过 分别作的平行线，设相交直线确定的平面为（如果 中有一条直线在该平面中，可平移该平面使得均在

11、平面外），则，故（3）正确综上，填（1） （3） （4）.&异面直线成角，直线，则直线所成角的范围是【答案】【解析】所有与垂直的直线平移到点组成一个与直线垂直的平面做的平行线，交于点，点是直线 与平面 的交点,在直线上取一点，做垂线平面，交平面于，角 是与面的线面夹角为在平面 中，所有与平行的线与 的夹角都是，为最小角,在平面 内所有与垂直的线（由于垂直于平面，所以该线垂直与，则该线垂直平面，所以该线垂直与）与 的夹角等于，为最大角，故答案为ABCD-ABCD中，M N分别是AB、BC的中点，问:（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由;DB和CC是否是异面直线？说明理由.【答案】（1）不是异面直线（2）是异面直线（1）不是异面直线，理由：连结MN AiC、AC如图，因为M N分别是AB、BC的中点,所以MN/ AC.又因为AiA/DiD, DD/CiC,所以AAg CC，四边形AACC为平行四边形， 所以AC/AC故MN/ AG/AC所以AM N C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直 线.是异面直线，证明如下：假设DB与CC在同一个平面CCD内，贝U B平面CCD,。平 面CCD,所以BC?平面CCD，这显然是不正确的，所以假设不成立，故DB与CC是异面直 线.10已知空