【2020年高考必备】广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)及解析

1、广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5 分）已知集合 A=x| - Kx 3 , B=x Z| x20）域的面积为 3 时，z=2x- y 的最大值是（）A. 6 B. 3C. 2 D. 110.（ 5 分）已知三棱锥 S- ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA=SB=SC=1AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A.4 甘上nB.3nC. 8nD.12n2211. （5 分）若圆（x-亦）2+ （y- 1）2=9 与双曲线耳-耳=1 （a0，b0）J

2、 b2经过二、四象限的渐近线，交于 A，B 两点且| AB| =2，则此双曲线的离心率为-3） ? （x-3），且关于 x 的方程 f （x） =k （k R）恰有三个互不相同的实根 X1、X2、X3，则 X1?x2?x3取值范围为（）C. 6 立方丈D. 12 立方丈A.B. C.2D.匸12. （5 分）对于实数 a、b，定义运算？”:设 f (x)A. (0,3)B.(-1,0)C. ( x,0)D.(3,0)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分).13. (5 分)若 sin(o+B)cos cos (a+ sin =,则 cos2B _.514. (5 分)4

3、 名同学去参加 3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 _ 种结果.15. (5 分)已知 f (x) =f (4 - x),当 x0 且满足 an=2S- -丨(n2 2 N*).(I)求数列 an的通项公式；(U)求数列的前 n 项和 Tn.3n18. (12 分)如图，在三棱锥 D-ABC 中,平面 ABC, F 为 AB 的中点.(I)求证：平面 ABD 丄平面 DEFDA=DB=DC E 为 AC 上的一点，DEX面角 A-BD-C 的余弦值.19. (12 分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过 w 立方米的部分

4、 按 4元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调 查了 100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图， 并且前四组频数成等差数列，KM(I)求 a，b，c 的值及居民用水量介于 2 - 2.5 的频数；(U)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应定为多 少立方米？(精确到小数掉后 2 位)(E)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的用水量，将月用水量不 超过2.5 立方米的人数记为 X，求其分布列及其均值.20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的 一个顶

5、点恰好是抛物线 /= - 4y 的焦点.(I)求椭圆 C 的标准方程；(U)若圆 O:x2+y2=r2与椭圆 C 交于 A，B，C，D 四点，当半径 r 为多少时，四 边形 ABCD 的面积最大？并求出最大面积.21. (12 分)设函数 f (x) =xlnx ax+1, g (x) =-2x3+3/-石 x+ .(I)求函数 f (x)在，e上有两个零点，求 a 的取值范围；e(U)求证：f(x)+axg(x).选修 4-4 :坐标系与参数方程选讲22. (10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为|K_C?S (a为参数)，(y=sina曲线 Cl经过坐标变换(也后得到的

6、轨迹为曲线 C2.y二y(I)求 C2的极坐标方程；(H)在以 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线9=与 G 的异于6极点的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求| AB| .选修 4-5:不等式选讲23. 已知函数 f (x) =|x-3| - |x+5| .(I)求不等式 f(x) M 恒成立，求 m 的取 值范围.2018 年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的.1. (5 分)已知集合 A=x| - Kx 3 , B=x Z|

7、 x2 5，则 AHB=()A.0,1 B.-1,0,1,2C.-1,0，1 D.-2，-1，0，1,2 【解答】解：IA=x| -K x 3 , B=x Z x25 =x Z| - VxV = 2,-1,0,1,2, AHB=-1,0,1,2,故选：B.2.(5 分)已知复数z=1 - i，则下列命题中正确的个数为：()| z| =焉=1+i;z 的虚部为-i.A. 0 B. 1C. 2D. 3【解答】解 z=1 - i,I z| =, | 二，.，故正确；.-1】，故正确；z 的虚部为-1,故错误.正确命题的个数为 2 个.故选：C.3. (5 分)向量 a= (1, x+1), b =

8、(1 - x, 2),自丄 b，则(a + 匸)(自-b)=()A. - 15 B. 15 C.- 20D. 20【解答】解：向量 i= (1, x+1),= (1 - x, 2),若 1 丄、贝 U 1? = (1 - x) +2 (x+1) =x+3=0,解可得 x=- 3,则；=(1,-2), b= (4,2),(自+b)=(5,0), (3- b)=(-3,-4);则(，+ ) ( - ) =- 15;故选：A.4.(5 分) ABC 中，tanAW5, AC=3, BC=4 贝 U AB=()A. 2 =- = B.二-二 C. =+ = D. 2 二+ 二【解答】解：已知 tanA

9、= :, 由于：OvAv n,解得：A=,J利用余弦定理：BCACf+AB2- 2AC?AB?cosA解得：AB=；E 二空-（负值舍去）.故选：C.5.（5 分）将一根长为 6m 的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段为（-P (A)=,故选：B.6.（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是（）2 倍的概率A.B. -D.【解答】解：绳子的长度为 6m,折成两段后，设其中一段长度为x,则另一段长度 6- x,记其中一段长度大于另一段长度 2 倍”为事件 A,则 A=x|(6-i)或 =x| 0vxv2 或 4vx log73,2 V5b=log73 应,上=,a=log52v一 匚从

10、, 则 a, b, c 的大小关系为：avbvc.故选：A.X-yO9.(5 分)已知 P (x, y)为平面区域 x+y0内的任意一点，当该区arCsa+l (aS0)域的面积为 3 时，z=2x- y 的最大值是()A. 6 B. 3 C. 2 D. 1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得 A (a, a), D (a, a), B (a+1, a+1), C (a+1, - a- 1)由该区域的面积为 3 时，仁 3,得 a=1. A (1, 1), C (2 , - 2)化目标函数 z=2x- y 为 y=2x- z ,当 y=2x- z 过 C 点时，z 最大，等于 2X2-( -

11、 2) =6.故选：A.10. （ 5 分）已知三棱锥 S- ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA=SB=SC=1AB=BC=AC=：，则球的表面积为（）A.4 吁：nB.3nC. 8nD.12n【解答】 解：三棱锥 S- ABC 中, SA=SB=SC=1AB=BC=AC=,共顶点 S 的三条棱两两相互垂直，且其长均为 1 ,三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为：，半径为外接球的表面积为：4nX（）2=3n故选：B.11. （5 分）若圆（x-V5）2+ （y-

12、1）2=9 与双曲线吉-务=1 （a0，b0）a2b2经过二、四象限的渐近线，交于 A，B 两点且| AB| =2，则此双曲线的离心率为 （ ）A.丄B.C. 2D.32【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=O,|AB|=2 航，圆的圆心为（V3，1），半径为 3，圆心到渐近线的距离为|=, 即二一=匚, 解得 b- a,3 c= 一亠 a.故 xi?x2?X3= - k2, k( 0, 3),3 Xi?X2?X3( - 3,0),双曲线的离心率为e=-a 3故选：A.12. （5 分）对于实数a、b,定义运算？”: a?b=bp a b4 汽 4 设f(x)=

13、(2x-3) ? (x- 3),且关于 x 的方程 f (x) =k（k R）恰有三个互不相同的实XI、血、x3,则 xi?x2?x3取值范围为（A. (0, 3) B. (- 1, 0)C. (-x,0)D. (- 3, 0)【解答】解：a?b=b-a,b2-aab f (x) = (2x- 3) ? (x- 3)=-x,其图象如下图所示:故选：D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分).4713. (5 分)若 sin (a+ cos cos (a+ sina=,则 cos2B二丄 .525 【解答】 解：Tsin (a+Bcosa-cos (aB)sina=sn

14、(a+B-a=sin ,5贝 U cos2B= 2sin2B= 2?=-,P2525故答案为：-.2514. (5 分)4 名同学去参加 3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54 种结果.【解答】解：根据题意，先计算 4 名同学去参加 3 个不同的社团组织的情况数 目,4 个同学中每人可以在 3 个不同的社团组织任选 1 个，即每人有 3 种不同的选法,则 4 人有 3X3x3X3=81 种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有 3 种情况，剩下的 2 人每人有 3 种不同的选法，则剩下的

15、 2 人有 3X3=9 种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有 3X9=27 种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81 - 27=54 种；故答案为：54.15. (5 分)已知 f (x) =f (4-x),当 x2 时，f (x) =ex, f (3) +f (3) = 0【解答】解：由 f (x) =f (4-x)可得，函数 f (x)的图象关于直线 x=2 对称，当 x0 且满足 an=2S- -1(n(I)求数列an的通项公式;(U)求数列的前 n 项和 Tn.【解答】 解：(I)当 n=1 时， -二-，解得 ai=1；由 an=2S-， 整理得-.: .!， 儿.-1

16、 w：-1八:.，-(an+i+an) (an+i an -2)=0，an0，-an+i an 2=0，即 an-1 an=2.数列an是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列, 贝 U an=1+2 (n 1) =2n-1；33232 2n-l2 2n+218.（12 分）如图，在三棱锥 D-ABC 中，DA=DB=DC E 为 AC 上的一点，DE1平面ABC, F 为 AB 的中点.【解答】 证明：（I）：DE 丄平面 ABCAAB 丄 DE,又 F 为 AB 的中点，DA=DBAAB 丄 DF,DFADE=E 且 DF、DE?平面 DEF又 AB?平面 ABD,A平面 ABD 丄平面

17、 DEF解：（U）tDE!平面 ABCAAC 丄 DE,又：DA=DCAE 为 AC 中点, F 是 AB 中点,AEF/ BC,由（I）知 AB!EF,AAB 丄 BC,又/BAC=45,AAABC 为等腰直角三角形，AC=4,AAB=BC=DA=DB=DC=2,取 BD 中点 G,连结 AG CQ 贝 U AG 丄 DB, CG DB,AZAGC 为二面角 A- BD-C 的平面角， 在厶 AGC 中,COSZAGC= ,=- I ,2AG-CG3A二面角 A- BD- C 的余弦值为-.BAC=45，求二面角 A- BD-C 的余弦值.（I）求证：平面 ABD 丄平面 DEF；B19.

18、(12 分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过 w 立方米的部分 按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调 查了 100 位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，cis*)(I)求 a，b，c 的值及居民用水量介于 2 - 2.5 的频数；(U)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应定为多 少立方米？(精确到小数掉后 2 位)(E)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的用水量，将月用水量不 超过 2.5立方米的人数记为 X，求其分布列及其均值.【解答】解

19、：(I)：前四组频数成等差数列，.所对应的频率也成等差数列，设 a=0.2+d, b=0.2+2d，c=0.2+3d, 0.5 (a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1) =1，解得 d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5.居民月用水量介于 22.5 的频率为 0.25.居民月用水量介于 22.5 的频数为 0.25X100=25 人.(U)由图可知，居民月用水量小于 2.5 的频率为 0.7V0.8,为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应定为3=2.5 2.83 立方米.0.3(川)将频率视为概率，设 A 代表居民月用水量，由图知

20、：P(AW2.5)=0.7，由题意 XB (3，0.7)，P (X=0) = =0.027,P (X=1) =-”- I , -=0.189,P (X=2) =L：=0.441,P (X=3) = 一；=0.343. X 的分布列为:X0123P0.0270.1890.4410.343 XB (3，0.7)， E (X) =np=2.1.20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的 一个顶点恰好是抛物线 /= - 4y 的焦点.(I)求椭圆 C 的标准方程；(U)若圆 O:x2+y2=r2与椭圆 C 交于 A，B，C，D 四点，当半径 r 为多少时，四

21、边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【解答】解：(I)：椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=- 4y 的焦点，离心率等于，厶2 2设椭圆方程为I ，a b迈a-2根据题意得：* b 二 1，解得：4b2=l芒二32 “所以椭圆 C 的方程为；(U)设 A (xo, y。)，则矩形 ABCD 的面积 S=4x0yo|21.(12 分)设函数 f (x) =xlnx ax+1, g (x) =-2x3+3/ x+.24(I)求函数 f (x)在一，e上有两个零点，求 a 的取值范围；e(U)求证：f(x)+axg(x).【解答】 解：(I)由 f(x)=

22、xlnx-ax+仁 0，得：a=l nx+，x问题转化为 a=lnx+丄在，e上有 2 个不同的解，x e令 h (x) =lnx+丨，x 1，e，则 h (x)=厂，令 h (x)0，解得：x 1，令 h(x)v0，解得：0vxv1，故 h (乂)在(0，1)递减，在(1，+x)递增，而 h (1) =1， h (丄)=e 1， h (e) =1+ 丄ve- 1，ee故 a 的范围是(1，1+ );(U)要证 f (x) +ax g (x)，只要证明 xlnx+1 g (x)，先证 xlnx+1x，构造函数 F (x) =xInx+1 x，/F(x) =1+1 nx 1=1 nx,x=1 时

23、，F (x) =0,当 Ovxv1 时，F (x)v0, x 1 时，F (x)0,2-十丄；=一(2)2+1时，(：-! )max=1,-Snax=4X1=4,此时2得r2=故 F (x)在0, 1递减，在1 , +x)递增，故 F (x) F (1) =0,即证 xlnx+1 x,等号成立当且仅当 x=1,再证明 x 一，+x)时，g (x) G (丄)=0,即证明 g (x)0,e 2即仪)在(0, 1 )递减，在(丄，1 )递增，ee 2x(0,)时，(x)A ( )=1,2ee1 2g (x) = 6 上三：+1,x( 0,=)时，Vg (x)v1, 又 g( (0)=1v0,g(1)=10,存在 x( 0, *),使得 g (X0)=0,且 g (乂)在(0, X0)递减，在(X0