【2020年高考必备】衡水独家秘籍之高中期末复习专题三函数单调性的判断与证明

1、衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习专题三函数单调性的判断与证明【方法综述】1 函数的单调性(1) .增函数：若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量x1、x2，当人 沐2时，都有f x1: f x2，那么就说函数f x在区间D上是增函数；(2) 减函数：若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量Xi、X2，当Xi：X2时，都有f Xif X2，那么就说函数f x在区间D上是减函数.2.复合函数单调性的结论：y=f(t)递增递减t=g(x)递增递减递增递减y=fg(x)递增递减递减递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 不过要注意：单调区间必须注意定

2、义域；要确定t=g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性.3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值T作差T变形T定号.其中变 形是最关键的一步， 合理变形是准确判断f(xi) f(X2)的符号的关键所在常见变形方法有 因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明_ _ 2 _例 1.求证：函数f(x)=x4x在(a,2上是减函数.证明：设Xi,X2是(一a,2上的任意两个实数， 且xivX2，则f(xi) f(X2) = (x1 4xi) (x24x2)=(XiX2)(Xi+X2 4).因为XivX2w2,

3、所以XiX2 0 ,即f(Xi) f(X2).故函数f(X)在(a,2上是减函数.评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(Xi)f(X2)的符号.3例 2.求证：函数f(x) =x+ 1 在 R 上是增函数.证明：设xi,X2是 R 上的任意两个实数，且xiX2,则f(xi) -f(X2)=Xi+ 1 -X2 133=XiX2=(XiX2)(xi+XiX2+x2)fX2、232因为xiX2，所以xiX2 0.所以f(xi) f(X2) 0，即f(xi) f(X2).故函数f(x)在 R 上是增函数.评注 本题极易在(xiX2)(xi+XiX2+X2)处止

4、步”而致误.而实际上当我们不能直接判断xi+XiX2+X2的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”.例 3.已知函数f(x) =x+】，求证：函数f(x)在区间(o,i上是减函数.XiI证明：设Xi,X2是区间(0,i上的任意两个实数，且XiX2,则f(xi)f(X2)=Xi+X2 XiX2jiiX2Xi=(xiX2)+ =(xiX2)+x x凶X2 /XiX2(i )|/XiX2i=(XiX2) i = (XiX2).XiX2XiX2因为xiX2，且xi,X2 (0, i,所以XiX2 0,0 XiX20，即f(xi) f(X2).故函数f(x)在(0,i上是减函数.i评注 同样，

5、我们可以证明f(X)=X+-在区间i,+s)上是增函数.X例 4.已知函数f(x) =x I,求证：函数f(x)在区间I ,+)上是增函数.证明：设Xi,X2是区间i ,)上的任意两个实数，且XiX2,则f(Xi) f(X2)= .Xi I X2 iXiX2=(XiX2)X2232+ 4X2Xi i +X2 i因为xiX2，且xi,X2 i,+B),所以XiX2 0.所以f(xi) f(X2) 0，即f(xi) 0).当x(a, 1)时，t是x的减函数，y是t的减函数,1所以(一a, 1)是y= -2的递增区间；(X+1)当x(1,+a)时，t是X的增函数，y是t的减函数,1 、所以(一 1，

6、+a)是y=2的递减区间.(X + 1 J1综上知，函数y=2的递增区间为(一a, 1)，递减区间为(一 1,+a).(X+ 1 J1例 6.求y=x22x3 的单调区间.解：由X2 2x 3 工 0,得X工一 1 或x丰3,21 令t=x 2x 3(t丰0)，贝 Uy=-,1因为y=t在(a,0),(0，+a)上为减函数，2而t=X2x3 在(a, 1),(1,1)上为减函数，1在(1,3) , (3，+a)上是增函数，所以函数y=i的递增区间为(一a,1) , ( 1,1),X 2X 3 递减区间为(1,3) , (3,+a).【针对训练】1.下列四个函数中，在上为减函数的是()A.B .

7、C.D.-【答案】A【解析】对于选项 A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数所以选f(Xl) f(X2)一，当 x=0 时，没有意义，所以选项D 是错误的.故答案为：A.2.下列四个函数中，在(0，+m)上为增函数的是()2A. f(x) = 3 xB. f(x) = x 3x1C. f(x)=不D. f(x) = |x|【答案】C【解析】当 x0 时，f(x) = 3 x 为减函数；当 x 0, |时，f(x) = x2 3x 为减函数；当当 X (0，+m)时，f(x) = |x| 为减函数.b23若函数y=ax与y在0,壯阳上都是减函数，贝U f x = ax bx在0,

8、壯 Q 上是x()A.增函数B.减函数C.先增后减D .先减后增【答案】B【解析】由函数y = ax与讨二在上都是减函数，可得a- 0,b : 0.则一元二次函数x2fxi；=axbx在上为减函数.故选 B.4.定义在R上的函数f x对任意两个不相等实数a,b，总有丄d 0成立，贝ya b必有()A.f (x)在R上是增函数B.f (x)在R上是减函数C.函数f (x)是先增加后减少D.函数f (x)是先减少后增加【答案】A【解析】于选项 C,在在上为增函数，所以选项C 是错误的对于选项 D,3 3一2 2=X2 3x 为增函数；当X (0，+m)时,f(x)=斗为增函-pmf(x)若a讣则由

9、题意f a一f b0知，一定有f a：f b成立，由增函数的定义知， 该a -b函数f x在R上是增函数；同理若a b，则一定有f a . f b成立，即该函数f x在R上是增函数.所以函数f x在R上是增函数.故应选 A.5.已知，那么()A.在区间上单调递增 B.在上单调递增C.在上单调递增D. 在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时,单调递增，且)而在）不具有单调性， 故A 错误；当时，不具有单调性，故B 错误；当时,单调递增，且)而在）不具有单调性, 故C 错误；当，时,单调递减，且)而在）单调递减，根据 “同增异减”知，D 正确故选：Dax6.试讨论函数 f(x) = (a丰0

10、)在(一 1,1)上的单调性.x 1【答案】见解析【解析】设一 1X1X21 ,仪一 1+1、 f 1 f(x) =aT =a 1 +L，f(x1)-f(x2)=a 1+吕a 1+吕a X2X1,十=.由于一 1X1x20, X1 10, X2 10 时，f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时，f(x1) f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0,函数f(x) = x + x(x)，证明：函数 f(x)在(0 ,a上是减函数，在 a,+ g)上是增函数.【答案】见解析al此时，函数 f(x) = x

11、+ -(a0)在(0 ,a上为减函数；X当 X1X2 a 时，X1 X20,1 -0，有 f(x1) f(x2)0，即卩 f(x f(x2),vX1X2a此时，函数 f(x) = x+ -(a0)在,a,+g)上为增函数；a综上可知，函数 f(x) = x + -(a0)在(0 , a上为减函数，在,a,+)上为增函数.X8.已知函数-的图象经过点(1, 1),(, )(1)求函数 的解析式；) = 7+-(x 工 0).(2)证明：设任意 X1, X2(0+OQ),且 X1X2O,则 f(x1) f(x2) = xi+ x x2+ x = (x1 X2)+xi旦aX1X2aX2 Xi+XiX

12、2当念x1X20 时，X1 X20,1aX1X20,有 f(x1) f(x2)0 ,即卩 f(x1)0,XIX2+20.由 Xi 0 .0，即 f(xL) f(x2).2函数 F(刃=在(0 +OQ)上为减函数.9.已知函数在上满足，且，(1 )求，的值；(2)判断的单调性并证明；【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】(1 )令，即可得到，再令，可得，令即可求得；(2)单调递增，证明：任取且，则因为，所以所以 在上单调递增10.已知定义在区间上的函数满足，且当时,(1 )求的值;(2)证明：为单调增函数；(3 )若-，求在一上的最值【答案】(1) f (1 )=0. (2

13、)见解析(:3)最小值为-2，最大值为 3.【解析】试题分析：(1)利用赋值法进行求()的值；(2)根据函数的单调性的定义判断()在(，)上的单调性，并证明.(3 )根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值.试题解析：(1)：函数 f (X)满足 f (Xi?X2)=f ( Xi) +f (X2), 令 Xi=X2=1，贝Uf (1) =f (1) +f (1),解得 f (1) =0.(2)证明：(2)设 X1, X2( 0, +8)，且 X1X2,则 *2 1,-f 宀) 0,蛊1街二 f ( X1) f ( X2)=f ( X2? f ( X2)=f ( X2)+f C ) 即 f ( X1) f ( X2), f (X)在(0, +8)上的是增