【2020年】云南省玉溪市高考数学模拟试卷(06)及答案

1、云南省玉溪市高考数学模拟试卷（06）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A=x|x 是菱形或矩形 , B=x|x 是矩形，则 CAB=（）A. x|x 是菱形B. x|x 是内角都不是直角的菱形C. x| x 是正方形 D. x| x 是邻边都不相等的矩形2. （5 分）已知向量 a= （1，1），2 扫+匸=（4，2），贝 U 向量扫，匸的夹角的余弦值为（ ）A百以 B 十 JCD.3. （5 分）设集合 M=x| x- 1|V2，N=x| x （x-3）v0，那么 卞 M是 卞N的（）

2、A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4. （5 分）已知向量 P= （2， -3），q = （x，6），且；门，则|匸+丐|的值为（ ）A.： B.门二 C. 5 D. 135.（5 分）函数/| .：-.:.-:的最小正周期为（）A. B. C.nD.2n426.（5分） 当 - - 7- 时， 函 数 -的最大值和最小值分别是7.（5 分）已知函数 f （x） =x+2x，g （x） =x+lnx，二 l 工-匚-】的零点分别为X1,x2，刈，贝 U X1， x?， x3的大小关系是()A.5:,C.2D.A. X1沁V X3B. X2 X1

3、X3C. X1 X3 X2D. X3 QV X1吕 h-2|.28.(5 分)定义在 R 上的函数 f(x)，若关于 x 的方程 f2(x),15Xi+bf (X)+C=0 恰好有 5 个不同的实数解 X1, X2, X3, X4, X5,贝 U f (X1+X2+X3+X4+X5)=( )A. Ig2 B. Ig4 C. Ig8 D. 1二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.9._ (5 分)在边长为 1的等边三角形 ABC 中，/二_.10.(5 分)_ Jx 1|dx=.11. (5 分)已知 a 为锐角，=_ .4512._(5分)函数f (X)二宀-的定义域

4、为_ .los2(x-lj13. (5 分)平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知两点 A (2，1)，B ( 1,2)，若点 C 满足 OCsOA+tOB，且 s+t=1，则点 C 的轨迹方程是_.14. (5 分)飞机的航线和山顶 C 在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔 h (km )，飞行员先在点 A 处看到山顶的俯角为 a，继续飞行 a (km)后在 点 B处看到山顶的俯角为 B,试用 h、a、a B 表示山顶的海拔高度为 _ (km).三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明，证明过程或 演算步骤.15. (12 分)(1)写出余弦定理.(2)证明

5、余弦定理.16. (12 分)已知集合 A=x| x2 7x+60, x N ，集合 B=x| x 3| 10 的概率；（3）设E为随机变量，E=+,写出E的分布列，并求 EE.17. （14 分）如图所示的长方体 ABC AiBiCiDi中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，0 为 AC 与 BD 的交点，_ , M 是线段 BiDi的中点.（I）求证：BM/平面 DiAC;（U）求证：DiO 丄平面 ABiC;（川）求二面角 B-ABi- C 的大小.i8.（i4 分）设函数 y=f （乂乂）在（a，b）上的导函数为 f（x），f（乂乂）在（a，b） 上的导函数为 f （x），若在（

6、a，b） 上, f （x）v0 恒成立，则称函数 f （x）在（a，b）上为凸函数”.已知 f （i）=y-i4-yjni3-|-X2.（I）若 f （x）为区间（-i，3） 上的凸函数”试确定实数 m 的值；（U）若当实数 m 满足|m| 2 时，函数 f （刈在（a，b）上总为 凸函数”求 b - a的最大值.i9.（i4 分）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水 域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的 船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 匚海里的位置 B,经过 40 分钟又测得 该船已行驶到点 A

7、北偏东 45B（其中 sin ，09= （4，2），贝 U 向量 J E 的夹角的余弦值为( )A，B.亚D玄2 2【解答】解：2(i, 1).2)-:v1 jlb |-2.两个向量的夹角余弦为十龙土故选 C3. （5 分）设集合 M=x| x- 1|V2，N=x| x （x-3）v0，那么 卞 M是 卞N的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：集合 M=刈 x- 1|v2=x| - 1vxv3N=x|x(x- 3)v0=x| 0vxv3 M? N,二 a M 是 a N 必要不充分条件，故选 A.4. (5 分)已知向量 A (2 ,

8、-3),孑(x, 6),且訂,则|7+孑的值为()A. ： B.心 C. 5D. 13【解答】解：由向量：=(2,- 3), : = (x, 6),且？穴，则 2X6-( -3) x=0,解得：x=- 4.所以.q_. | 则，I . ,-1- I. =(- 2,3).所以 2= 三：二厂朋-山:？故选 B.5.(5 分)函数/| .：-.:.-:的最小正周期为()A. B.C. nD. 2 n42【解答】解：函数.-.： ： : =cos(2x+ ) =- sin2x,所以函数的最小正周期是：T=6 7_i2故选 C6.(5 分) 当 ?二八； 时，函 数:. _, . i :的最大值和最小

9、值分别是1口53p 31n33222 22 22解：Isin (2n+x)=sinx, cos(2nx)=cosx, sin (2013 冗+)=-sin6 612 I：,ii - .=sinx+ ；cosx =2sin(x+_) +132ZBTV兀”5兀 - ，得.22636 1 wsin(x+)+w1,得1w2sin(x+)w2233由此可得 f (x)的最小值为-1 + 1 二-丄，最大值为 2+ =2 2 2 2故选：A7. (5 分)已知函数 f (x) =x+2x, g(x) =x+lnx,二工- ：i 的零点分别为 x, x2, x3,贝 U X1, x2, x3的大小关系是()

10、A.X1X2x3B. X2X10自变量 x 须满足：r-l0,解得：x3,+x),故函数 f(x)= 二的定义域为3,+x),los2(x-lj故答案为：3, +X)13. (5 分)平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知两点 A (2, 1), B (- 1, -2),若点 C 满足己;七三一二，且 s+t=1,则点 C 的轨迹方程是 x- y- 1=0【解答】解：C 点满足: + ,且 s+t=1,由共线向量定理可知，A、B、C 三点共线. C 点的轨迹是直线 AB,又 A (2, 1)、B (- 1,- 2),直线 AB 的方程为： 整理得 x- y- 1=0.=(a+BD)tanaBD

11、=CDtan 保CD_atanCltanPtan -tanp故答案为：,asinCt sin P卡、atand tan P .亦或,: :km三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明，证明过程或 演算步骤.15. （12 分）（1）写出余弦定理.（2）证明余弦定理.【解答】解：(1)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两故 C 点的轨迹方程为 x- y-仁 0.故答案为：x- y-仁 0.14. （5 分）飞机的航线和山顶 C 在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔 h（ km），飞行员先在点 A 处看到山顶的俯角为a,继续飞行 a （km

12、）后在a、a、点 B 处看到山顶的俯角为B,试用 h、”手km）.B表示山顶的海拔咼度为rsin( P-口)min口asinQsin bH，在BDC中.asinCLsin (km).:或 CD=ADtaa边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在 ABC 中，a，b，c 为 A, B, C 的对 边，有a2=b2+c2 2bccosA, b2=c?+a2- 2cacosB c?=a2+b2 2abcosC(2)证明：已知 ABC 中 A, B, C 所对边分别为 a, b, c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系， 则 C (bcosA, bsinA), B (c, 0),a2=|

13、 BC|2= (bcosA c)2+ (bsinA)2=b2cos2A 2bccosA+c2+b2sin2AQ*16. (12 分)已知集合 A=x| x2 7x+60, x N ，集合 B=x| x 3| 10 的概率；(3)设E为随机变量，E=+y,写出E的分布列，并求 EE.【解答】解：(1)设从M中任取一个元素是(3, 5)的事件为 B,则 P (B)=丄36所以从 M 中任取一个元素是(3, 5)的概率为(2)设从 M 中任取一个元素，x+y 10 的事件为 C,有(4, 6), (6, 4) , (5 , 5) , (5 , 6), (6 , 5), (6 , 6)则 P (C)，

14、所以从 M 中任取一个元素 x+y 10 的概率为-6 6(3)E可能取的值为 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12E的分布列为23456789101112Phir2iirmr可iir2ro3536353636353635363536+b22abcosC.=b2+c22bccosA DiO?平面 DiAC, BM?平面 DiAC, BM / 平面 DiAC.(U)连接 OBi,：正方形 ABCD 的边长为 2,一,I -,OBi=2,DiO=2，则 OBr+DQBiD/,. OR 丄 DiO.在长方体 ABCD- AiBiCiDi中，AC 丄

15、 BD, AC 丄 DiD,AC 丄平面 BDDiBi，又 DiO?平面 BDDBi,AC 丄 DiO,又 ACAOBi=O,DiO 丄平面 ABC.(川)在平面 ABBi 中过点 B 作 BE 丄 ABi 于 E,连接 EC,TCB 丄 AB,CB 丄 BBi,EE=2x2345壽曲詰曲丽曲丽朴厉321-H1. - -=7+8x17. (14 分)如图所示的长方体 ABC AiBiCiDi中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点，_ , M 是线段 BiDi的中点.求证：BM/平面 DiAC;(K)、M 分别是 BD、BiDi的中点，BDDiB是矩形,四边

16、形 DiOBM 是平行四边形，二 DiO/BM.求证：DiO 丄平面 ABiC; 求二面角 B-ABi- C 的大小.x CB 丄平面 ABB,又 ABi?平面 ABB, CB 丄 ABi，又BE! AB , 且 CBA BE=B AB 丄平面 EBC 而 EC?平面 EBC AB 丄 EC/ BEC 是二面角 B- ABi - C 的平面角.在 RtABEC 中，v _BC=2_:I：工一二工；:,Z BEC=60,二面角 B-ABi- C 的大小为 6018.（14 分）设函数 y=f （乂）在（a, b）上的导函数为 f（x）, f（ 乂）在（a, b）上的导函数为 f （x）,若在（a

17、, b） 上, f （x）v0 恒成立，则称函数 f （x）在（a,b）上为凸函数”.已知 f（垃）二寺/十口芒今直 2 .（I）若 f （x）为区间（-1 , 3）上的凸函数”试确定实数 m 的值；（U）若当实数 m 满足|m| 2恒成立.（8 分） 当 x=0 时，f（x） =- 30,vm 的最小值是-2.从而解得 0 x 1 （11 分）皂(_l)=l+m_30f (3)二9-3 叶30,(U)当| m|=x - mx - 3 0 恒成立？当 | m| x - 3cosZAB2+BC2-AC22AB-B/ X 2+102X 5-12x13二玷?Lr. ： ： i.-=:当 XV0,Vm

18、 的最大值是 2,二，.：,x从而解得-1VXV0. （13 分）综上可得-1VXV1，从而（b- a）max=1 -（ - 1） =2 （14 分）19. （ 14 分）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水 域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的 船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 匚海里的位置 B,经过 40 分钟又测得 该船已行驶到点 A 北偏东 45B（其中 sin9=-, 0v9V90且与点 A 相距2610 .二海里的位置 C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（n）若该船不改变航行

19、方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理 由.由余弦定理得 BC=.；_.所以船的行驶速度为（海里/小时）.T（II）如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在厶 ABC 中，由余弦定理得，【解答】解：（I）如图，AB=40, AC=10；13,由于 0V 9V90所以5姪AQHn(45 -ZABC)210 xiF由于 AE=5540=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE? AQ=15.过点 E 作 EP 丄 BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.从而 td 二寸；一厂.广 7一在厶 ABQ 中，由正弦定理得，丄一亠 F- I

20、:1,.在 RtAQPE 中，PE=QE?siWPQE=QE?siMAQC=QE?sin(45-ZABC二:- -I20.(14 分)已知函数 f (x) =x3-x2+ax- a (a R).3(1) 当 a=- 3 时，求函数 f (x)的极值；(2)若函数 f (x)的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的取值范围.【解答】解：(1)当 a=- 3 时，f (x) =L-.J - x2- 3x+3,f( x) =x2- 2x - 3=( x- 3) (x+1).令 f( x) =0,得 xi=- 1 , X2=3.当 xv-1 时，f(x)0,则 f(乂乂)在(-x,-1上单调递增，当-1vxv3 时，f (x)v0,则 f (x)在(-1, 3)上单调递减，