【2020年】湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷(理科)及解析

1、8.湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.（5 分）已知集合皿=丫卜=公，x0 , N=y|y=，则 M 门 N 等于（）A. ? B. 1 C. y|y 1D . y| y 12 .（5 分）设复数 z=1+ （其中ii 为虚数单位），则：等于（)A.1 - 2iB . 1+2i C. - 2i D . 2i3 .（5 分）卜列说法止确的是（)A.“ f(0)=0”是函数 f (x)是奇函数”的充要条件B. 若 p: ?刈 R, xo2- xo- 1 0，则p： ?x R

2、, x2- x- 1v0C. 若 pAq 为假命题，则 p，q 均为假命题D.若a=，则 sina二”的否命题是若a，则 sina”626 24. （5 分）在等差数列&中，Sn为其前 n 项和，若 as+a4+a8=25，则 S9=（）A. 60 B. 75 C. 90 D. 1055（5 分）为了得到函数7 rr/. ：的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象（）A.向左平移：八个单位 B.向右平移：八个单位1212C向右平移个单位 D.向左平移个单位606.（5 分）已知非零向量，的夹角为 60且|】|=1,| 2J =1,则|=（）A. ； B1C二 D.27. （5 分）函

3、数、厂:丁的图象大致是（）A)A.丄 B. 一 C.D.252525259. (5分)已知偶函数._；-，当一：- 时，-，：.,设a=f(1), b=f (2), c=f (3),则( )A.avbvc B. bvcva C. cvbva D.cvavb10. (5 分)函数 f (x)的定义域为 R, f (- 2) =2018,对任意的 x R,都有 f (x)v2x 成立，则不等式 f (x)v/+2014 的解集为()A. (-2,+x)B.(2,2)C.(-x,2)D.R11. (5 分)过点 P (- 1,1)作圆 C: (x-t)2+ (y-t+2)2=1 (t R)的切线,

4、切点分别为 A, B,则 L? I，的最小值为()A B C 1 D.2 312. (5 分)已知数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn, Tn,且 an0, 6S=an2+3an,，若？n N* ,kTn恒成立，则 k 的最小值是()-1)S49441二. 填空题(本题共 4 小题，共 20 分把答案填写在答题卡相应的横线上)13. (5 分)公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sh,若 a2, a5, ax 成等比数列，-厂，则 a10=_.14. (5 分)在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 sinA=2sinB且 a+b=；c,则角 C

5、 的大小为_ .15. (5 分)已知函数 f (x)=若关于 x 的函数 y=F (x)-bf (x),-6 廿 4,K0+1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是_ .16. (5 分)已知函数 f (x) =-xlnx+ax 在区间(0, e)内是增函数，函数 g (x)2=|ex-a|+?(其中 e 为自然对数的底数)，当 x 0, 1 n3时，函数 g (x)的最 大值M与2%n N* ,bn=_B. 49 C.D.最小值 m 的差为：；.则实数 a=.2三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6、.17. (10 分)已知幕函数 f (x) = (m - 1)2xJ:-在(0, +x)上单调递增， 函数 g (x) =2x- k(I)求 m 的值；(U)当 x 1, 2时，记 f (x), g (x)的值域分别为集合 A, B,设命题 p： x A,命题 q： x B,若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围.18. ( 12 分)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,满足土吾心孵.b sinA-sinC(I)求角 C;(U)求二-的取值范围.c19. (12 分)已知函数 f (x) W3sin3xcosexin2x1 (w0)图象的相邻两

7、 条对称轴之间的距离为2(I)求3的值及函数 f (X)的单调递减区间；(U)如图，在锐角三角形 ABC 中有 f (B) =1，若在线段 BC 上存在一点 D 使得AD=2,且 AC= ：, CD=- 1,求三角形 ABC 的面积.20. (12 分)等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,数列 bn 是等比数列， 满足 a =3, b1=1,b2+S2=1O, a5- 2b2=a3.(1) 求数列an和bn的通项公式；y-i 口为奇数(2)令 Cn- ，设数列cn的前 n 项和 Tn,求 T2n.b, n 为偶数21. (12 分)已知函数 f (x) =x2+ax+1，其中 a R,且

8、a0(I)设 h (x) = (2x- 3) f (x),若函数 y=h (x)图象与 x 轴恰有两个不同的 交点，试求 a的取值集合；(U)当 a- 2 时，求函数 y=|f (X)|在0, 1上最大值.22.(12 分)已知函数 f (x) =ax+xlnx (a R)(1) 若函数 f (x)在区间e, +x)上为增函数，求 a 的取值范围；(2) 当 a=1 且 k Z 时，不等式 k (x- 1)vf (x)在 x( 1, +)上恒成立, 求 k 的最大值.2018 年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题： （共 12 小题，每小题 5 分，共 60

9、 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （ 5 分）已知集合 M=y|y=2x, x0 , N=y|y=，则 M 门 N 等于（）A. ? B. 1 C. y|y 1D. y| y 1【解答】 解：Mylyr/ ， x 0=y| y 1， Nylyr , .=y|y=.,. /=：二 | 0,1=y| 0 y0，则p： ? x R, x2- x- 1V0C. 若 pAq 为假命题，则 p, q 均为假命题D.若a=，则 sina二”的否命题是若a，则 sin 护丄6 2 6 2【解答】解：对于 A, f （0） =0 时，函数 f （x）不一定是奇函数，如 f （x）=

10、x , x R;函数 f （x）是奇函数时，f （0）不一定=0,如 f （x） = ,XM0;x是即不充分也不必要条件，A 错误；对于 B,命题 p: ? x0 R, x02- x0- 1 0, 则p： ?x R, x2-x- 1 0,AB 错误；对于 C,若 pAq 为假命题，则 p, q 至少有一假命题， C 错误；对于。，若a=，则 Sina二的否命题是6 2若口工匹，贝Usin 护丄”，二 D 正确.6 2故选：D.4.(5 分)在等差数列命中，Sn为其前 n 项和，若 a3+a4+a8=25,则 S9=()A. 60 B. 75 C. 90 D. 105【解答】解：等差数列an中，

11、Sh为其前 n 项和，83+84+88=25,-3ai+12d=25，. _.：， = ：. 1,： =9a5=9=75.故选：B.5(5 分)为了得到函数；-1/.的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象()A.向左平移：八个单位 B.向右平移：八个单位1212C向右平移个单位 D.向左平移个单位60【解答】解：由题意 y=cos2x=sin( 2x+),2函数 y=sin (2x+丄)的图象经过向右平移，得到函数 y=sir2 (x )212 12JTJT+ =si n( 2x-)的图象，故选：B.6.(5 分)已知非零向量 ,的夹角为 60且| | =1,|2 | =1,则|=()A.

12、二 B. 1C.: D. 2【解答】解非零向量；，匸的夹角为 60且币=1,二；丄=|；|?1=上丄,2 212 1-=1,|才；=44- - 1 或 XV-1 时，y 0,故排除 A、B;又当 x0时, 函数.二：的值也趋近于 0，故排除 C,lx I故选 D.8 （5 分）已知-1 | 斗，则三；.-；=（【解答】解：T.十_| ：_|，A. B.一D.2425故选：B.丄9.(5分)已知偶函数上一一.，当一：- 时，_ ,： - .，设a=f(1), b=f (2), c=f (3),则( )A.avbvc B. bvcva C. cvbva D.cvavb【解答】解：当-.丄.丄时，y

13、=sinx 单调递增，y=x 也为增函数，2 2丄函数.也为增函数.函数厂二:为偶函数，2门-I ， f(2)=f( n-2)，f(3)=f( n-3)， 0v n-3v1v n-2 工2f( n-3)vf(1)vf( n-2)，即 cvavb，故选：D.10. (5 分)函数 f (x)的定义域为 R，f (- 2) =2018,对任意的 x R,都有 f (x)v2x 成立，则不等式 f (x)v/+2014 的解集为()A. (-2,+x)B.(2,2)C.(-X,2)D.R【解答】解：根据题意，令g(x) =f (x)- x2-2014,贝 Ug(x)=f(x)-2xv0,函数 g (

14、x)在 R 上单调递减，而 f (- 2) =2018,g (- 2) =f (- 2)-(- 2)2-2014=0.不等式 f (x)v/+2014,可化为 g (x)vg (- 2),x- 2.即不等式 f(x)/+2014 的解集为(-2,+x)；故选：A.84944111. (5 分)过点 P (- 1,1)作圆 C: (x-t)2+ (y-t+2)2=1 (t R)的切线， 切点分别为 A, B,则亠,？的最小值为()A. B.C.丄 D. 2- 3334【解答】解：圆 C: (x-t)2+ (y- t+2)2=1 的圆心坐标为(t, t - 2),半径为 1 ,|PC2= (t+1

15、)2+ (t - 3)2=2t2- 4t+10,二 | PA2=| PB|2=| PC|2- 1= ( t+1 )2+ ( t - 3 )2- 1=2t2- 4t+9 , cos / APC=?：忙Ci V2t2-4t+10?cos/ PAB=2coSZAPC- 1=2X(匚 一 -=)-1=丨山=12t2-4t+102t2-4t+10 t2-2t+5_ _ _ 2-？-1=| 八.|?| -lcos/ PAB=( 2t2- 4t+9) ?1 = (t2- 2t+5) + (t2-t -2t+52t+4) 3,_ _ 2则.? l-=f (x) = (x+x+1) ? =,x+1x+12f(x

16、) = 0 恒成立，(x+1 )2f (x)在3, +x)单调递增，f (x)min=f (3)=,二？ I】的最小值为亠4故选：C12. （5 分）已知数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn, Tn,且 an0, 6S=an2+3an,a2nnN* ,bn=,，若？n N* ,k Tn恒成立，则 k 的最小值是849441A.B. 49C.D.(2 J)(2 讯 T)【解答】 解：T6Sn=an2+3an,. 6Sn+i=ai+i2+3an+i,6an+1= ( 3n+计比)(an+1an)+3(an+1an)an+1+an)(an+1-an)=3(an+1+an), an 0 ,an+1

17、+an , -an+i 9n=3,2又 6ai=ai+3ai, ai0,二 ai=3. an是以 3 为首项，以 3 为公差的等差数列,-an=3 n,故选 C.二.填空题(本题共 4 小题，共 20 分把答案填写在答题卡相应的横线上)13.(5 分)公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2, a5, ai4成等比 数列,、.-：；，则 aio=19.【解答】解：设数列的公差为 d, (dM0)TS5=a32，得:5a3=a2,a3=0 或 a3=5; a2,a5,ai4成等比数列，- a =a2?ai4, ( a3+2d)2= (a3- d) (a3+11d)若 a3=0

18、,则可得 4d2=- 11d2即 d=0 不符合题意，若 a3=5,则可得(5+2d)2= (5 -d) (5+11d),解可得 d=0 (舍)或 d=2, aio=a3+7d=5+7x2=19, 故答案为：19.a二 bn=(- 一 )(2a-l) (23tt+1-1)72S,-12a+1-l Tn(一 -一 + 一 -一+ 一 -T 8-182-1 82-183-1 8n-l 8Il_ri-1=(一)v一 - k.497 7 49=1rrH占占,14.(5分)在厶ABC中， 角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若sinA=2sinB 且a+b=*c,则角 C 的大小为 60.【解

19、答】解： sinA=2sinB由正弦定理：可得 a=2b.即 a2=4b2.Ta+b= _;c,即 3b= :c,由余弦定理：2abcosC=a+b2- c2.可得：cosC=L2/ OvCv n C=60 .故答案为：60.15 . (5 分)已知函数 f (x)=若关于 x 的函数 y=F (x)-bf (x)孑-6 垃+4,K0+1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是(2,1.(|lg(-x) 11x00* * ?二 tL16-4b+l0解得，2vbw;4故答案为：(2, .16. (5 分)已知函数 f (x) =-xlnx+ax 在区间(0, e)内是增函数，函数 g (

20、x)2=|ex-a|+?(其中 e 为自然对数的底数)，当 x 0,1 n3时，函数 g (x)的最 大值M与最小值 m 的差为：；.贝 U 实数 a=儿.2-_2_【解答】 解：Tf (x) = -xlnx+ax,. f (x) =- Inx+a- 1函数 f (x) =-xlnx+ax 在(0, e) 上是增函数 f (x) =- Inx+a- 1 0 在(0, e)恒成立 y=-也是(0, e)上的减函数f(x) =- Inx+a+1 的最小值大于等于 0 即可，即-1+a- 1 0a 2 x 0, In3 , ex 1, 32ex=a 时，函数取得最小值为斗2 2 2 2Ix=0 时，

21、：-.i ：I - , ；x=ln3时，一 J -23a2 时，函数 g (x)的最大值 M=八三-函数 g (x)的最大值 M 与最小值 m 的差为暮22 o3a2 时，-a=2a3 时， xo ln3,此时 x 在 0, In3 内单调递减， 所以函数在 f( 0)处取最大值, 在 f (In3)处取最小值，a=T 不符合 a 大于 3,所以舍去.故答案为：2三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)已知幕函数 f(x) = (m - 1)2x-在(0,+x)上单调递增,函数 g (x) =

22、2 - k(I)求 m 的值；(U)当 x 1, 2时，记 f (x), g (x)的值域分别为集合 A, B,设命题 p： x A,命题 q： x B,若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围.【解答】解：(I)依题意得：(m-1)2=1,? m=0 或 m=2,当 m=2 时，f (x) =x2在(0, +x)上单调递减，与题设矛盾，舍去，二 m=0.当 x 1, 2)时,f(x) 1, 4),即 A=1,4),当 x 1, 2)时,g(x) 2 - k, 4- k),即B=2- k , 4- k),若命题 p 是 q 成立的必要条件,则 B? A ,解得：0wk0)图象

23、的相邻两 条对称轴之间的距离为一.2(I)求3的值及函数 f (X)的单调递减区间；(U)如图， 在锐角三角形 ABC 中有 f (B) =1， 若在线段 BC 上存在一点 D 使得 AD=2,且 AC= ：, CD=- 1,求三角形 ABC 的面积.=舄in3xcos帚豪仁sin23x(n)v由(I)可得:B=-A,弦a+b = sinA+sinBc sinCsinA+sin- -A）2定理2 2=23TTcosA+sinA V3sin（A+r-）=2sinT【解答】解：(I)函数 f ( x)亍亡即 T=n图象的相邻两条对称轴之间的距离为7Ty+ycos23+1=sin（23那么：T 二二

24、 I ,可得3=1那么 f (x) =sin (2x由二=2xi.二二厂一刁曰.TT匕2兀_得：-I - 丁63.函数 f (x)的单调递减区间为:i., 丄、.：I. , k乙63(U)由 f(B)=1,即 f(B)=sin(2B 丄)=1m 丄，2: 2B =卞6解得：B=2L.3在 ADC 中，AD=2,且 AC=，CD=二-1 ,利余弦定理：cos.0C- 2 时，求函数 y=|f (x) |在0, 1上最大值.【解答】解：(I)若 f(x)=0 恰有一解，且解不为：,即 a2-4=0,解得 a=2；若 f (x) =0 有两个不同的解，且其中一个解为，二代入得+ a+1=0,42解得 a= - ，检验满足 0;