【金学案】高中数学（北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第2课时 演绎推理

1、第2课时演 绎 推 理1.了解演绎推理的概念.2.了解演绎推理的推理方式.3.正确运用演绎推理解决问题.重点:理解演绎推理的推理方式,从而掌握演绎推理的概念.难点:如何在实际问题中用演绎推理证明数学问题.某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审.四人的口供如下:甲:案犯是丙.乙:丁是罪犯.丙:如果我作案,那么丁是主犯.丁:作案的不是我.四个口供中只有一个是假的.如果上述断定为真,那么说假话的谁?作案的是谁?问题1:什么是演绎推理?从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. 问题2:演绎推理的一般模式(1)大前提已知的一般原理; (2)小前提

2、所研究的特殊情况; (3)结论根据一般原理,对特殊情况作出判断. 问题3:试分析演绎推理结论的可靠性演绎推理是由一般到特殊的推理,从一般性的原理出发,通过三段论的模式,推出某个特殊情况下的结论,因而只要大前提、小前提、推理形式都正确,结论就一定正确,即演绎推理得出的结论是可靠的. 问题4:合情推理与演绎推理之间的区别和联系是什么?区别:(1)归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理所得结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推

3、理在大前提,小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 联系:演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要是靠合情推理,二者是统一的.自然科学史上第一个思想体系的例子是欧几里得(Euclid,公元前325公元前265)几何学.古希腊的数学家欧几里得是以他的几何原本而著称于世的.欧几里得是第一个将亚里士多德演绎法(用三段论形式表述的演绎法)用于构建实际知识体系的人,欧几里得的几何学正是一门严密的演绎体系,他从为数不多的公理出发推导出众多的定理,再用这些定理去解决实际问题.比起欧几里得几何学中的几何知识,它所蕴含的方法论意义更重大.欧几

4、里得的几何学是人类知识史上的一座丰碑,它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式.1.演绎推理是以()为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法.A.一般的原理B.特定的命题C.一般的命题D.定理、公式【答案】A2.由正方形的对角线互相平分,平行四边形的对角线互相平分,正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是().A.正方形的对角线相等B.平行四边形的对角线相等C.正方形是平行四边形D.其他【答案】A3.设m为实数,求证:方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根.利用三段论证明时,大前提:; 小前提:; 结论:. 【答案】如果一元二次方程

5、ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac>0,那么方程有两个相异的实根一元二次方程x2-2mx+m-1=0的判别式=4m2-4(m-1)=(2m-1)2+3>0方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根.4.写出用三段论证明f(x)=x3+sin x(xR)为奇函数的步骤.【解析】大前提:满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数;小前提:f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x);结论:f(x)=x3+sinx是奇函数.演绎推理的基本形式将下列演绎推理写成三段论的形式:(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数

6、;(2)三角形的内角和为180°,RtABC的内角和为180°(3)菱形的对角线互相平分;(4)通项公式为an=3n+2的数列an是等差数列.【方法指导】分别找到每个推理中的大前提、小前提、结论即可.【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,(大前提)75不能被2整除,(小前提)75是奇数.(结论)(2)三角形的内角和为180°,(大前提)RtABC是三角形,(小前提)RtABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分,(大前提)菱形是平行四边形,(小前提)菱形的对角线互相平分.(结论)(4)在数列an中,如果当n2时,an-an-1为常

7、数,则an为等差数列,(大前提)通项公式an=3n+2,当n2时,an-an-1=3n+2-3(n-1)+2=3(常数),(小前提)通项公式为an=3n+2的数列是等差数列.(结论)【小结】在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.应用三段论证明数列问题已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n(nN+),求证:数列an成等差数列.【方法指导】求出an,an-1,利用等差数列的定义进行判断.【解析】(大前提)当n2时,如果数列an满足

8、an-an-1=d(常数),那么数列an成等差数列.(小前提)当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时,a1=S1=3-2=1,亦满足an=6n-5.所以an=6n-5.当n2时,an-an-1=6n-5-6(n-1)-5=6(常数).(结论)数列an成等差数列.【小结】用演绎推理解决问题的常规模式是“三段论”,“三段论”是演绎推理的一般模式,因此,必须牢记.演绎推理的应用有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b, c,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,26这26个自然数,见如下表格:abcdefghijk

9、lm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下变换公式:X=将明文转换成密文,如8+13=17,即h变成q;如5=3,即e变成c.(1)按上述规定,将明文good译成的密文是什么?(2)按上述规定,若将某明文译成的密文是shxc,那么原来的明文是什么?【方法指导】利用题目的条件,一步步地破译每一个数.再把每一个字母连接起来,那破译就成功了.【解析】(1)g7=4d,o15=8h,d4+13=15o,则明文good的密文为dhho.(2)逆变换公式为x=则有s192×19-26=12l,h82×8-

10、1=15o,x242×24-26=22v,c32×3-1=5e,故密文shxc的明文为love.【小结】本题是一个密码翻译的问题,通过本题的学习,初步了解密码的设置与破译问题.将下面的演绎推理写成三段论的形式:(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),曲线C:+y2=1是椭圆,所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).(2)等比数列的公比都不为零,数列2n(nN+)是等比数列,所以数列2n的公比不为零.【解析】大前提:所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1);小前提:曲线C:+y2=1是椭圆;结论:曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).(2)大前提:等比数列的公比

11、都不为零;小前提:数列2n(nN+)是等比数列;结论:数列2n的公比不为零.数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(nN+).求证:(1)数列是等比数列;(2)Sn+1=4an.【解析】(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(nN+),(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),nSn+1=2(n+1)Sn,=2·(nN+),数列是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知=4(n2,nN+),Sn+1=4(n+1)·=4an(n2,nN+).又a2=3S1=3,S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数,都有Sn+1=4an.若定义在区间D上

12、的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,xn,总满足f(x1)+f(x2)+f(xn)f(),则称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin x在(0,)上是凸函数,则ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是. 【解析】由f(x1)+f(x2)+f(xn)f(),(大前提)因为f(x)=sinx在(0,)上是凸函数,(小前提)得f(A)+f(B)+f(C)3f(),(结论)即sinA+sinB+sinC3sin=,因此,sinA+sinB+sinC的最大值是.【答案】1.推理“正方形是平行四边形;梯形不是平行四边形;所以梯形不是正方形”中的小前提是().A.B

13、.C.D.和【答案】B2.若两个向量a,b共线,则一定存在R使a=b,因为0与任何向量共线,因此对于任何一个向量a,一定有R使a=0.对以上三段论,下列说法正确的是().A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确【解析】若两个向量a,b共线,则一定存在R使a=b,应加上条件“b0”.【答案】B3.把“函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线”写成三段论的形式,即大前提:二次函数的图像是一条抛物线;小前提:; 结论:函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线.【答案】函数y=x2+x+1是二次函数4.用三段论表述下列命题.(1)正方形的对角线互相垂直;(2)满足2a2

14、=a1+a3的三个数a1,a2,a3成等差数列.【解析】(1)菱形的对角线互相垂直,(大前提)正方形是菱形,(小前提)正方形的对角线互相垂直.(结论)(2)如果一个数列从第二项起,后一项与前一项的差都相等,则这个数列是等差数列,(大前提)满足2a2=a1+a3的三个数a1,a2,a3显然有a2-a1=a3-a2,(小前提)满足2a2=a1+a3的三个数a1,a2,a3成等差数列.(结论)(2022年·新课标全国)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.&

15、#160;【解析】由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过A城市.【答案】A    1.用三段论证明函数y=x3是增函数的小前提是().A.增函数的定义B.函数y=x3满足增函数的定义C.若x1<x2,则f(x1)<f(x2)D.若x1>x2,则f(x1)>f(x2)【答案】B2.下列几种推理过程是演绎推理的是().A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180°B.由平

16、面三角形的性质,推测空间四面体性质C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人D.在数列an中,a1=1,an=(an-1+)(n2),由此推出数列an的通项公式【解析】B是类比推理,C、D是归纳推理.【答案】A3.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为. 【解析】a1+a2=a2+a3=a3+a4=a2n-1+a2n(nN+),可见a18=a16=a2=5-a1=3.【答案】34.求证:

17、函数f(x)=为奇函数.【解析】大前提:如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),那么函数f(x)为奇函数.小前提:显然,函数f(x)的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x),即f(-x)=-f(x).结论:所以函数f(x)为奇函数.5.在R上定义运算􀱋:x􀱋y=x(1-y).若不等式(x-a)􀱋(x+a)<1对任意实数x成立, 则().A.-1<a<

18、;1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<【解析】(x-a)􀱋(x+a)<1,(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0,由=1-4(-a2+a+1)<0得-<a<.【答案】C6.在“三段论”推理中有以下三句话:正方形的对角线互相平分,平行四边形的对角线互相平分,正方形是平行四边形.则该“三段论”的结论是().A.B.C.D.其他【解析】.【答案】A7.在推理“因为y=sin x是0,上的增函数,所以sin >sin ”中,大前提为; 小前提为; 结论为. 【答案】y=sinx是0,上的增函数、0,且>sin>sin8.下列推理的结论是否正确,为什么?对于任意的a,bR时,有,(大前提)又-1,-3R,(小前提),即-2.(结论)【解析】题中“三段论”的推理形式虽然正确,但大前提是错误的,因为只有a,b是正实数时,才有,因此所得的结论是错误的.9.对于函数f(x)的定义域中任意的x1,x2(x1x2),有如下结论:f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),>0,f()<.当