同济大学高等数学教案第五章向量与空间解析几何

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学教学教案第五章 向量与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第一节 向量及其运算课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数量积、向量积、垂直与平行教学难点向量积参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式

2、进行向量运算的方法。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、 空间直角坐标系：过空间一个定点，作三条互相垂直的数轴，它们都以为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设、为空间两个点，通过、各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以、为对角线的长方体，由此可得，即.2、向量的夹角将向量、的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可与另一个向量正向重合，见图5-8， 则称为向量、的夹角，记作，即，3、向量的运算以共起点向量、为平行四边形相邻两边

3、，以向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为, 见图5-14. 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 记为. 设是一个数，向量与数的乘积规定为当时，表示一向量，其大小，方向与同向；当时，是零向量；当时，表示一向量，其大小，方向与反向. 特别地，当时，.4、向量的模、方向角设为任意一个向量，又设、为与三坐标轴正向之间的夹角（），见图5-22，,分别为向量的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有，其中、称为向量的方向余弦，通常用它表示向量的方向.由模的定义，可知向量的模为.或，由此可得，即任一向量的方向余弦的平方和为.5、数量积 给定向量与，

4、我们做这样的运算： 与及它们的夹角与的余弦的乘积，称为向量与的数量积.记为，即 . （1）；（2）； （3）若，则.6、向量积 若由向量与所确定的一个向量满足下列条件：（1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手规则从转向来确定（2）的模 ，(其中为与的夹角)，则称向量为向量与的向量积（或称外积、叉积），记为.7、 向量的混合积定义3 设三向量，先作向量积，再作数量积，记作，称为三个向量，的混合积. 设， ，二、定理与性质：定理1 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦，即.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和. 定理3：.三、主要例题：例 1 证明以点、

5、及为顶点的三角形是等腰三角形.例2 在轴上求与两点和等距离的点.例3 设、为轴上坐标为，的任意两点，又为与轴正向一致的单位向量（见图5-18），则有.例4设和为空间两点，而在直线上的点分有向线段为两个有向线段与，使它们的模的比等于某数，即，求分点的坐标，和. 例5 设 求 在y轴上的分向量.例6 设两已知点和，分别写出向量、的坐标表达式和向表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、单位向量. 例7 求平行于向量的单位向量.例8 已知向量的模为 向量与轴和轴的夹角分别为和, 如果的坐标为(1, 0, 3), 求的坐标.例9 利用向量证明不等式:其中为任意常数,并指出等号成立的条件.例10 已知 求

6、(1) (2) 与的夹角; (3) 与上的投影.例11 已知，试求.例12 液体流过平面上面积为的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（常向量），设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的重量（液体的比重为）.例13 求与都垂直的单位向量.例14 在顶点为和的三角形中, 求边上的高.例15 设向量两两垂直, 符合右手规则, 且 计算例16 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.例17 已知, 计算例18 已知空间内不在同一平面上的四点求四面体的体积.例19 已知, 求一单位向量 使, 且与此同时共面.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第五章

7、 第二节 第二节 平面及其方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面方程教学难点平面方程参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握平面的方程及其求法，会利用平面的相互关系解决有关问题。教 学 基 本 内 容一、基本概念：二、定理与性质：1、平面的点法式方程 2、平面的一般方程 3、平面的截距式方程4、两平面的夹角设平面的方程为，平面的方程为，.5、点到平面的距离设为平面外的一点， .三、主要例题：例1 求过点且与垂直的平面的方程.例2

8、 求过点、及的平面的方程.例3 求通过轴和点的平面方程.例4 设一平面与、轴分别交于点、，求这个平面的方程.例5 研究以下各组里两平面的位置关系:(1) (2) 例6 求平面, 使其满足:(1) 过轴;(2) 与平面夹角为.例7 一平面通过两点和且垂直于平面，求该平面方程.例8 求两平行平面：和： 之间的距离.例9 求平行于平面, 且与球面相切的平面的方程.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第三节 直线及其方程课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点直线方程教学难点线线关系、线面关系参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分

9、武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题教 学 基 本 内 容一、基本概念：二、定理与性质：1、空间直线一般方程2、对称式方程及参数方程给定直线上的一点及一个方向向量，即有，若设，则有参数方程.3、两直线的夹角两直线的方向向量之间的夹角（通常取锐角）称为两直线的夹角，即或两者中的锐角.设：，其中，：，其中，则；4、直线与平面的夹角设直线：，平面：，则，因此.5、平面束通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束，有时候用平面束解题非常方便，现在我们来介绍它的方程.设直线：

10、，其中系数与不成比例，则过该直线的平面束方程为 三、主要例题：例1 （1）求过点且分别与两个平面和平行的平面与的方程.（2）平面与的交线方程.例2 用点向式方程或参数方程表示直线.例3 求过点和的直线方程.例4 求直线：和直线：的夹角.例5 求过点且与两平面和的交线平行于的直线方程.例6 求过点M(2, 1, 3)且与直线垂直相交的直线方程.例7 设直线平面求直线与平面的夹角.例8 过直线作平面, 使它垂直于平面例9 在一切过直线 的平面中找出平面, 使原点到它的距离最长.例10 一平面过直线且与平面成角，求该平面方程.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第四节 曲面与曲线课的类

11、型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二次曲面的方程及其图形教学难点交线的投影参考教材同济版、人大版高等数学；同济版微积分武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标平面上的投影教 学 基 本 内 容一、基本概念：二、定理与性质：1、曲面方程的概念 如果曲面，与三元方，程满足下列关系：（1）曲面上的任一点的坐标都满足方程；（2）不

12、在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称为曲面的方程，而曲面称为方程的图形.2、旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴.设在坐标面上有一已知曲线，将绕轴旋转就得到一个以轴为旋转轴的旋转曲面S: .3、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面. 其中定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线.一般地，设有一柱面，准线是面上的曲线，则其方程为 4、二次曲面我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面.1）、椭球面: 2）、二次锥面（椭圆锥面）由方程、所确定的曲面称为二次锥面（椭圆锥面）.3）、抛物面由方程所确定的曲面称为椭

13、圆抛物面.由方程所确定的曲面称为双曲抛物面（马鞍面）.4）、双曲面由方程,确定的曲面称为单叶双曲面.由方程,所确定的曲面称为单叶双曲面.5、空间曲线及其方程1）、空间曲线的一般方程空间曲线可看作是两个相交曲面的交线，即若设二个相交曲面的方程分别是和，则就表示其交线的方程.2）、空间曲线的参数方程空间曲线也可以将其看作空间点移动的轨迹而形成曲线的参数方程. 即有其中，是连续的.6、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线方程为 消去可得方程， 因此曲线在面上的投影曲线为三、主要例题：例1 建立球心在点，半径为的球面的方程.例2 求与原点O及的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.例3 求到两定点和等距离的点的几何轨迹.例4 方程表示什么样的曲面？例5 方程的图形是怎样的?例6 直线绕另一条与相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角称为圆锥面的半顶角. 试建立