数形结合例题选集

1、数形结合一在一些命题证明中得应用举例:1、证明勾股定理:U!解析止图中四个小三角形阴影局部?得面积加上中间小正方密得面积等于大正 牙形得面积他简后得豹勾股宦理。2证明乘法公式平方差与完全平方 ad 1为bg + 6a解析:在上图中，利用正方形与小走方形面积得转化,能更进一步理解平方養公式 与莞全平方公式禅运算过程以及公式得本质问题3证明根本不等式:. pifT 解析:如上图所示，直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半长度为，根据直角三 角形得相似关系,可以得到直角三角形斜边上得高得长度为显然在直角三角形中, 斜边上得中线得长度会大于等于高，利用这样简洁明了得几何图解，对根本不等式: 得理解也就更

2、加简单了F4、征明正(余)弦定理：i » y(1)如上图所示异即；根扁圆得性质(等弧对等角及 综上,得正磁定理* 根据勾股宦理ABBE- AC2 一CE 即 J-c：cosB2=b'-© ycosB亏整理可得余弦定理:;同理得出cosA. :cosC得余弦定理。5“证明结论解析:如上图所示，根据y nrniXf y=x、y = s inx在上得图像可礁岀t anx>x) sinx、当然，卖际考试作图不可能如此精确挪么转化到右图得单位圆中;当时，角得终边始终在第-象限内根据三角函数线可知蓝线表眾正弦线红线表示正切线、 再根据弧长公式即图中黑色弧线得长度表示褊显而

3、易见红线长度弧线长度 蓝线长度，即t anx> x >； s i nx八 6&证明两角差得余弦公式:解析:如上图所示.根据三角比得定义及单位圆得定义可知单位INH泰。左图中，将B点旋转至1；0处右图所示。此时個为线段AB得长度没有 发生变化，即，化简2当然也可以用向量得方法证明利用向量数量积定义挣证明更 加简洁。如左图 r屯 在 考 试 中 得具7"与函数得综合运用.主要表达在求零点.交点、解得个数及参数范围等方面/ 例1 14奉赏建洪莊R上無函f y=f审涵fc谕瞬戏知瀚=吨时当只 肴四个零点，那么倒得取值范围就是!1!解桩:根据条件f x得周期为4洗画f一个周

4、期图像，当lx<3时沙由此画出 一13得图像，此为一个周期，图像如下，只有四个寒点即fx与丫=只有四个交点, 需SW馄l M0<a1时.有两个界值，如以下图所示：此时5个交点'代入点一瓠一1解得a=此时3个交点.代入点一 0解得2Wa> l时迪有两个界值如以下图所示: 此时3不交点，代入(一3 J),解得a=3祠评注:数形结合体型厂淀要结令图像分析;并且一些用于定位得特殊点要善于把 握；列一方面，必须熟悉初等函数得所有性质及函数图像得变换、.例2 (14闵行诸 4b、. c. d互不相凤且f(n)= f (b)= f (c=f(d),那么abe d得取值 范用就是:蠣

5、厳魏3.霸解麻楫掘题意，如下图所示,ab=l,ab c d= c d=,4<c<5斯以答案就是(32,35)*评注:这类题出现很多,典型得数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关！ 性质沈其就是对称性与周期性;在草稿纸上作图时,虽说就是草图値有必要做出 -些特殊点进行定位泻区间时，务必考虑図间得开闭情沆6变式乜知函数&戸丨Ix-lh-lh假设关于X得方程f(x)=t(tR)恰有四个互不相 等得实数根得取值范围就是JI解析:根据题意,如以下图所示，R * o例3(1 4杨浦)定义一种新运算在函数f(x)u(I+ ，假设函数g(x)=f( X )-k恰有两个零点,那么k得取

6、值范围就是(A(l2 ;BP (l,2);Cr (0,2);D.(OJ)解析汀35"曲彳4么 4i+> log/cmXXlog2x,: log2x<l + iX.4 X如以下图所.(fog2XfO< x < 4毫戟劝二fOAA屍伺鼻亿化为函彙函艇戸M喀踊t療為那么k(l离芦 薛建;此题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题擞衣 结合很容易求解，可以作适省得延伸低如清一个零点,求k得取值范围等.U!例4 (14宝山)关于函数f (xg给出卞列四个命题: 当x>0 Bt?y=f(x)单调递减且无最值； 方程兔翼)*+b(K。) 一定有解；如

7、果方程f( x )-k有解，那么解得个数-定就是偶数： 亦f ( X )就是偶函数且有最小值、 那么其中真命题就 .繭胡含矗对值.分类讨论。先画X>1写0VX1得局部.然后根据偶函数得性质 (关于y轴对称)画出左半局部，函数图像如以下图所示: 明显错误;Z醸解得个数为1；，正緘绝对值得数形结合题型，根据绝对值内得情况，进行分类讨论级画出函数图 像，再结合函数性质厂般就是对称性或奇偶性撚后根据函数图像对各项进行分例5(14奉贤)定义在上得函数f(x)满足'当时箱 (Df(3x)=3f(x)eX得函数F(x)= f d卜1得零点从小到大依次记为鼻wJM解析:结昔条件份析函数性质,画出

8、函数图像如以下图所示,2+4+8+1 0 +26= 50挪注擞学结合最直观咸根据函数得对称性我到对称董系周像就画出来了倍案 也就呼之欲出，这就就是数形結合在宜观呈现方面得快捷。2. 与三角函数得综合运用：.例1 14十三校联考岂知fx=asin2x+bcos2 a s b为常数,假设对于任意:X已R都有f x>> f C菩?$那么方程f 3=o在区间a刃内的解为Ip蘇*.解析液据轸假设对手任；計可知占"时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可 知函数周期为，因为函数得最值横坐标与相邻零点之间相盖个周期脚廝以在区 间0J内得解即在囱间0,内得零点为冀=。ORUU评輕:此题瞧

9、似复朵'因为有学母av氐袒只要理解了衣三角函数得最值横坐标与相 邻零点急间相差不周期哒样得图像性质，结合图像原理，就迎刃乔解7% 例2 14闸北设a >0且& 1启知函数fx=至少有5个零点,那么a得取值范围为解桥：就就是求函数上得交点个数，分两种情况：0<a <1时易在两个函数图像有无数个交点，如平图所示：即2虫0间<Z满足至少有5个交点、评注:这就是亠道典型得数形结合得题型，将零点问题转化成函数交点个数问题 睦意理解题意、审清题意及数与形之间得转化彎例3(14虹口)函数f(x)=2sin与函数得图像所有交点得横坐标之与为買触1 7解析湎出函数f (x

10、)=2sin与函数得图像，如以下图所示,这俩图像都就是关于点(1,0)对称幼所以它们得交点也就是关于点(1Q)对称，即一对 对称交点得横坐标之与为Z总共有&对关于点(“)对称得点，再加上(1点本身§ 即所有交点得横坐标之与为17仔评滋此题首先要熟悉函数得图像变换，精确画出函数图像然后再研究交点得特 性在这道题中、交点关于点(1®对称得，在这个前提下，求横坐标之与就转化成简 单得中点问题。例4函数y= f (x),任取tR,定义集合讣设，记假设函数f(液佔那么h(l)=辺假设函数f( x )=sinjf h(.)得最大值迄緘解箱定义得意思就是函数尸f仪)在以楚点P(点

11、P在函数图像上)为圆心半径为 得圆内得局部狂局部函数图像得值域即定点P(l.l)如以下图所示，蓝色实线段局部为符合定义得图像局部，这局部图像最 大慎为么臺小值为叭所以h(iM对于f(X)=sim函数最太值与最小值之差2,如以下图所示通过理解观察何得出能: 够同时包含最大值与最小值所以h(t)得最大值为2此时=2匕札讦注;这就是一道理解性得定义体型，理解题目得定义很重要，然后结合函数图像I 二： .W 巾行析翻縫亚例5 (14闵行)对于函数f(x)m有以下四个命题：&5取恒成宜； f ( x )=2 K f(x*2k)(k),对于一切X恒成立; 函数y*) I1)有3个零点; 对任恿:疋

12、0,不等式f(x)恒成立侧实数k得取值范围就是 那么其中所有命题得序号就是像至少要满足点()上,解析:根据以下图所示可知:选项就是，选项反比例函数图量做到精确,才能防止过失3. 与解析几何得综合运用:例1 (14闸北j设曲线C:测曲线C所围封闭图形得面积为U!解析咽为图像关于X轴，y轴对称，所以可以先画第一象限得图像，第亠象限X 0冷A 0潍对值直接去掉河得亠段圆弧撚后关手x轴、y轴对称翻折，如以下图所 示，根据题目数据同得於B屯可以先算第一象限得面积角一个扇形与一个四边 器输成淋后再乘以4,全面积为Q邨幽方程图像问题，含绝对值,所以根据象限分类讨论根据相美性质画出方程图 像，割补法求面积.I

13、H I变式由曲线所围成得封闭图形得面积为例214金山直线:4x-3y+6=0,抛物线C:图像上得一个动点P到直线与y轴 得距离之与得最小值就是 餐寨订解析结合题就画出直线与抛物线得草图，找到点P到直线与y轴得距离之与，如下團所示，即 P H+PA二PH+PB1 二PH+PF1 所以答案为1。用点到直线距离i公式求出来等于涎:注意圆锥曲线得相关克义，进行巧妙得转化，如此题中用到了踽抛物线上得点 到焦点得距离僚于这个点到准线得距离s这个性质撚后结合图像迸行转化。 例31 4金山有粕同焦点得椭圆5 A*.;告茶:D解析激一:如以下图所示山题意得:PF严2妬 两式平方相减得：PFr PFmn- Zr所

14、以PF卡+PF?=卿耳十卫卩三尸法二：对于椭圆而誌焦点三角形得面积为，对于取曲线而言焦点三角形面积，而这 就是同一牛三角形，所以，所以1 p评遂熟悉圆锥曲线得定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定得关系故数学 题时，很多时候要辩证思考，透过变化得表象，发现不变得内在联系，动静结令有机 分析、以静制动以不变应万苑例4 14金山设双曲线上动点P到定点得距离兰最小值就是A.;Be ;C;D, 1鸟霧瘀双曲线方程两边同时除以，得到，即方程,即求点得距离,选B諫世这就是一类要考虑极限位置得极限体型连高考中出现过类似得题比一般 雜潑険得位置肩自躺熔解統很爹麟棧6伪蠻有y'WW位置、 而耐就例51

15、4闵行假设曲线上存在两个不同点处得切线重合，那么称这条切线为曲线得自 公切线以下方程得曲线有自公切线得就是JA.;.B °解析:A* B、G D选项图像依次如以下图所示，根据题意选C钾注7利用数形结合得方法，考查了含绝对值曲线方程得画法厂般根据图像得对 称性或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限得图像再结合题意 解题。4. 与向量得运用：.例1 14徐汇如以下图所示启知点两边分别交于生；5/ 解析:法一:M、.G、N三点共线，痂5 =兄不瓦 有天十“十壬，因为AB+Aag 即抵工抄空£丄七丄：=1,化简上1=25：3; 3x 3yx + y 3法二:取特殊值挿雌?

16、作为填空题，此题得第-做法就是法二同时也要知道具体过程注意向量一 些常用知识点及一些转化技巧。例214闵 行 设h 了依次表示平面直角坐癖X轴、y轴上的单位向量，申-M荷需:根据题意，得几何意义为亠个点到得距离加上这个点到得距离等于,如以下图 所示，即到A点得距离加上到B点得距离等壬而，所以这个点得轨迹为线段，而我 们要求得取值范圉得几何意义即转化成线段上得点到点得距离得取值范風最 短距离就是以下图中得长度用点到直线得距离公式或等面积法可求得 夕禅血用代数得方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量得模得几何意义，转化 成图形问题就简明了揚于理解，教爭过程中注意引导数形结合得使用*例3 14徐

17、汇如卞图所示，在边農为2得正六边形中,动圆得串径为1，圆心在线段CD含端点.三上运动,P是圆Q上及内部的动点，设向量解折沏上图所示&鄒禺此题结合动态图像考查了向量得分解烹求能够理解题就此题也可建系分5、与其她知识点得综合运用：例114浦 东 用|S|集合S中的元素的个数,设X B. C为集合*称A. B, C有序三元组。如果集合A* BC满国AcB| = |BcC|=|AcC| = l, HAcBcC=,那么称有序三元组A. Bv为一最小相交.由集 葡1,234的子集构成得 % 所有有序三元组中，最小相交得有序三元组得个数为解析;设如以下图所示r因为|AcB|±|B已C|uAcC|wb所以Mm M2, M冲个容有一个元素，将得元素排入有种方法，由题意得胚剩下得一个元素何排在种方法角分步原理得。J睢:此题要注意分步原理与分类原理得综合运用，抽象出解题模型，从而使问题 得到解决。雪然也可以用亦举法駅显然中A为备< 1个或者4个元素的子集不符合瞬,、A为含有2个或者3个元素的子集冽举即可求解第对于新定义题型淒善于将陌生问题化为熟悉模型拄重根本原理得运用I 例2 也十三技联考集合忑 < 寒Wy恰有1 个成立L假设Cx> y> zeS且 w, peS,那么卞刿选项正确得就是