高中数学解三角形讲义整理

1、解三角形1 .解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明,均设 ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,则有以下关系成立:(1)边的关系:角的关系:b, b c aA、B、C(或满足：两条较短的边长之和大于较长边)(3)边角关系:sin A0,sin( AB) sinC,cos(A B) cosC ,A BA B sin2C cos 2正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1.正弦定理：sin A sin B sin C2R ,其中ABC的外接圆半径2 .正弦定理适用于两类解

2、三角形问题：(1)已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 的可能)，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用(1)ABC中，若60tan A 叵4BC 2 ,则 AC(2)ABC中，若301,则C(3)ABC中，若45472, a8,则C(4)ABC中，若csin A,则ab的最大值为 c总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在 ABC中，已知a、b、Ab(1)若A为钝角或直角，则当 a b

3、时， ABC有唯一解；否则无解。(2)若A为锐角，则当a bsinA时，三角形无解；当a bsinA时，三角形有唯一解；当bsinA a b时，三角形有两解；当a b时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1 .余弦定理：在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有余弦定理:2.22a b c 2bccosAb2 a2 c2 2accosB , 其变式为:c2 a2 b2 2ab cosCcosAcosBcosC222b c a2bc222a c b2ac222a b c2ab2 .余弦定理

4、及其变式可用来解决以下两类三角形问题:(1)已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角(或 由余弦定理求第二个角)，最后根据“内角和定理”求得第三个角；(2)已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦 定理求第二个角)，最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3 .三角形的面积公式【例】考查余弦定理的基本应用(1)在 ABC 中，若 a 23, b(2)在ABC中，若a 园,b(3)在ABC中，若a迁 22 , C 45 ,求 c、A、B ；4, c 3,求边AC上的高

5、h ;2病，b 8 , A 60 ,求 c（1）S ABC1 .1 . .1 ,，一-aha -bhb - chc （ ha、hb、hc 分别表小 a、b、c 上的局）； 222（2）S ABC11 ,A 1absin C bcsin A acsin B222（3）S ABC2R2 sin Asin BsinC （ R为外接圆半径）（4） S ABCabc4R（5）S ABCd'p（p a）（p b）（p c）其中 p 1（a b c）2 S ABC1- Ar l (r是内切圆的半径，l是二角形的周长)2【例】（1）13一在 ABC中，若a 7, b 8, cosC 一，则 ABC中最

6、大角的余弦值为(2)（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为.不能作出这样的三角形.作出一个直角三角形13 11 5.作出一个锐角三角形.作出一个钝角三角形111,则（）(3)以3、4、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为14【例】考查正余弦定理的灵活使用(1)在ABC中，若acosB bcosAcsinC ,其面积S4(b2 c2(3)(4)在ABC中，若(3b c) cos AacosC ,贝U cosA（07天津理）在ABC中，若a2b23bc, sinC2< 3 sin B ,（10江苏）在锐角ABC中，若- atanC tanC6 cosc ,贝U

7、tan A tan B【例】判断满足下列条件的三角形形状,.、22a b(1) a tanB b tan A ；(2) sinC 2cosAsinB；(3) cosA cosB ；c(5) b asinC, c acosB(4) (a2 b2)sin(A B) (a2 b2)sin(A B)；板块三：解三角形综合问题【例】（09全国2）3在 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, cos（A C） cosB【例】在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c 2, C3（1）若ABC的面积等于J3,求a、b;(2)若 sinC sin(B A) 2sin2A,求 ABC 的面积【例】(11全国2)设 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A C 90a c 2b ,求 CC【江西理】在 ABC中，角A、B、C的对边分力1J是a、b、c,已知sin C cosC 1 sin 2(1)求sinC的值； (2)