模型设计论文

1、企业模型设计论文一、 问题提出我们在实地考察了某一小城镇的几个主要企业，从中选出了三个关系相对密切，具有典型性的主要企业：煤矿、电厂、铁路。在下面我将从这三个企业的调查数据来研究投入产出问题，做出各个企业的效益分析。调查显示：生产价值1元的煤，需要消耗0.25元的电费和0.35元的运输费，生产价值1元的电，需要消耗0.4元的煤费和0.1元的运输费，还有0.05元的电费。提供1元的铁路运输服务，需要消耗0.45元的煤费和0.1元的电费，还有0.1元的运输费。在2月份，煤矿得到20万元的订单，电厂得到10万元的电量供应要求，铁路得到价值12万元的运输要求。我们下面要做的就是通过调查数据做完成如下问

2、题并作最后的总体分析：1) 求出直接消耗矩阵和完全消耗矩阵，并作出1月份的投入产出表。2) 若在以后的3个月内企业外部需求增长速度是：煤矿，15%；电厂，3%；运输，15%。完成该经济系统（三个厂）4月份的投入产出表。3) 根据调查数据，我们知道该城镇的这三个主要企业在上一年的外部供应量分别约：煤矿300万；电力350万；运输200万。当年外部需求增长率约为：煤矿7.2%；电厂8%；运输，7.5%。根据以上调查数据预测五年内各个企业总产值的年增长率。二、 问题假设我们对以上问题作如下假设：1、 假设该经济系统（三个厂）不受外部企业的影响，为封闭模式。2、 得到订单不包括本经济系统内部投资及消费

3、，为最终使用。3、 投入产出平衡：总投入=总产出。4、 各部门的投入产出系数不变，并只研究经常性的产品流量。5、 投入产出分析中核算产品，是某一单位时间（通常为一年）相联系的流量。6、 各产品部门生产的产品既可作为产品部门需求（中间产品）也可作为最终需求使用，因而不划分为生产资料和消费资料。7、 每个部门仅生产一种产品，而且部门以产品一一对应。三、 模型建立设煤矿、电厂和地方铁路在这个月生产的总产值分别为x1,x2和x3（万元），那么很容易有： （3.1）方程组（3.1）的每个等是以价值形式说明了对一个企业：中间产品（作为系统内部各企业的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品称为分配平衡方程组（

4、或产出平衡方程组）。另一方面若设z1,z2和z3（万元）分别为煤矿、电厂和地方铁路在这个月的新创价值，那么应有 （3.2）方程组（3.2）说明对每一企业：对系统内各企业产品的消耗+新创价值=总产值称为消耗平衡方程组（或投入平衡方程组）。四、 模型分析与求解1， 各需求量和新创价值将方程组（3.1）写成矩阵形式为：其中，在经济学上分别称之为直接消耗矩阵，产出向量和最终需求向量；A中的元素aij称之为直接消耗系数。上述方程组又可写为 (4.1)通过化简我们可以得到 （4.2）其中I时单位矩阵（I-A）成为列昂惕夫（Leontief）矩阵，成为列昂惕夫逆矩阵（或关联系数矩阵）。（关于列昂惕夫逆矩阵我

5、们将在附表中作简单的介绍）我们对方程组（3.1）求解，利用计算机我们很容易求出：就是说在该月，煤矿、电厂和地方铁路的总产值分别为：45.7832万元，26.1584万元和34.0444万元。由于得到了该系统各个企业的总产值（产出向量），我们就可以利用直接消耗系数矩阵A进行计算不难理解，上式右端矩阵的每一行给出了每一个企业分别用于企业内部和其他企业的消耗（中间产品）。进而利用公式（3.2）容易求出各个企业新创造的价值（单位：万元）2， 投入产出表我们将上述计算结果列成下表。该表称为投入产出表，当然这里的形式十分简化。一般来说，在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分析和研究时，首先就是根据统计

6、数字制定投入产出表，进而计算出有关的技术系数（例如直接消耗系数）。对这些系数的分析，可以了解经济系统的结构和各部门之间的数量关系；还可以建立上述的反映分配平衡和消耗平衡关系的代数方程组，通过求解方程组来获知最终需求的变动对各部门生产的影响。表4-1 1月份投入产出表 （万元）中间使用最终使用总产出煤炭电厂运输中间投入煤炭010.463215.320020.000045.7832电厂11.44601.30803.404410.000026.1584运输16.02402.61603.404412.000034.0444增加值劳动报酬  纯 收 入小 计18.313211.767

7、211.9156总投入45.783226.158434.0444  3， 完全消耗在某个企业生产或提供服务时，对任何一个产品的直接消耗事实上还蕴涵着其它产品的间接消耗。例如地方铁路在运输时直接消耗了煤，但他还通过消耗电而间接消耗了煤，因为电的生产需要消耗煤。这样就有了完全消耗系数的概念。完全消耗系数是指某企业生产单位产值的产品而对其他某一企业产品的总消耗值。现在设煤矿、电厂和地方铁路单位产值对煤、电和铁路的总消耗值（即完全消耗系数）分别为bij ，i,j=1，2，3；那么不难理解 （4-3）记成为完全消耗矩阵。这样式（4.3）就可以写成矩阵形式 (4.4)由此可得： (4.

8、5)于是由（I-A）易得：以上矩阵称在经济产出分析中通常称为关联系数矩阵。从而可以得到：与直接消耗系数矩阵A一样，完全消耗系数矩阵B反映了煤矿、电厂和地方铁路在生产需求上的关系，但后者从完全需求的角度揭示了他们在跟深层次上的相互依赖关系。这意味着如果改成真要扩大美的生产而每月增加产值1万元，那就不仅需要相应增产0.25万元的电和0.35万元的运输能力作为直接消耗，事实上而且还建有约0.46万元的煤，0.2万元的电和0.27万元的运输能力作为间接消耗。这对经济部门的计划决策者而言是极其重要的数量依据。在微末企业或部门扩大生产而进行投资等问题上，需要充分考虑其他部门的相应能力。4， 月经济预测根据

9、问题中给出的增长率，可知在4月份，煤、电和铁路运输的外部需求（最终产出）量分别为： 得出：（万元）因此利用分配平衡方程组（4.2），得到4月份的产出向量（万元）即届时这三个企业的总产值将分别达到65.5212万元，33.7945万元和47.9658万元。由于得到了该系统4月份各个企业的总产值（产出向量），我们就可以利用直接消耗系数矩阵A进行计算进而利用公式（3.2）容易求出各个企业新创造的价值（单位：万元）在根据以上数据我们可得到4月的投入产出表：表4-2 4月份投入产出表 （万元）中间使用最终使用总产出煤炭电厂运输中间投入煤炭013.517821.584630.417565.5212电厂16

10、.38031.68974.796610.927333.7945运输22.93243.37954.796616.859147.9658增加值劳动报酬  纯 收 入小 计26.208515.207516.7880总投入65.521233.794547.9658  以1月份的产出向量为基数表4-1，4月份煤、电和运输总产出分别增长：43.1%、29.2%和40.1%。而平均每月递增：12.7%、8.9%和11.9%。在这里我们应该注意，尽管典礼的尾部需求增长率很小，但是它的总产值增长率仍必须有相当的水平，才能保证其他企业为不需求的较高增长率。5， 年增长率预测

11、首先我们可以根据上一年的外部供应量（最终需求量），容易的求出上一年的总产出量：（万元）根据我们调查的这三个企业的上一年的数据。我们可以预测，假设5年内城镇需求水平增长率不变，这是我们有 得出该城镇第五年的预测（计划）总需求量：（万元）因此利用分配平衡方程组（4.2），得到第五年的计划总产出产出向量（万元）通过以上预测数字我们可以得出下表（总产出的五年计划）表4-3 总产出的五年计划 （万元）预测基期数字发展速度第五年预测（计划）数字年平均发展速度五年发展速度年平均增长率煤炭842.495107.49143.517.491209.04电厂655.685107.78145.467.78953.73

12、8运输622.695107.53143.767.53895.157在表中我们可以看出我们以上一年的总产出向量为基数，通过建立的模型预测出五年后的总产出向量，从而我们可以得出五年的发展速度以及年平均增长率。从表中可以直接得出这个城镇未来五年内各个企业的平均年增长率：煤矿：7.49%电力：7.78%运输：7.53%从中我们可以预测在未来五年内这个城镇的三个主要企业的发展速度都见超过7个百分点。也就是说在未来五年内这三个企业的将稳步扩大投入产出，从中也反映出了该城镇居民需求量的增长水平。五、 模型验证由以上建立的模型，显然，如果要作为一个合理的模型，一个经济系统的分配平衡方程组（3.1）对于任何非负

13、的外部需求向量都应该有相应的非负的总产值。这就意味着（4.2）对于任何非负的Y都必须有且仅有唯一的非负解X。此时称这个列昂惕夫模型是可行的。即列昂惕夫尼矩阵存在并且非负（矩阵非负是指其中每个元素都非负）下面我们做一个简单的数学判断，来验证列昂惕夫模型的可行性。假设命题 对于非负矩阵A，若存在一个非负向量X,使得向量是正的（即其中每一个分量都是正的），那么存在且非负。利用这个假设可以得到一个跟为简单常用的数学判断：推论 对于非负矩阵A，若其每行的元素的和均小以1或每列的元素的和均小以1，那么存在且非负。这就是说，在应用投入产出理论时，只要得到的直接消耗矩阵的各行（或列）元素的和都小以1，则相应的

14、列昂惕夫模型就是可行的。我们在讨论上述城镇三个主要企业发展问题中，A显然满足这一条件，所以我们假设的模型是可行的。六、 Matlab程序的实现及图形分析1，第一部分程序及运行结果根据已知数据我们可以求出第一部分数据，A=0 0.4 0.45; 0.25 0.05 0.1;0.35 0.1 0.1;E=eye(size(A);C1=E-A;C=inv(C1)B=C-EY=20;10;12;X=C*Ya1=X(1,1);a2=X(2,1);a3=X(3,1);D=A*a1,0,0;0,a2,0;0,0,a3b1=sum(D(1:3,1);b2=sum(D(1:3,2);b3=sum(D(1:3,3

15、);H=b1;b2;b3;Z=X-H其中计算出的C为列昂惕夫矩阵C = 1.4566 0.6981 0.8059 0.4482 1.2799 0.36630.6162 0.4137 1.4652计算出的B为完全消耗矩阵B = 0.4566 0.6981 0.8059 0.4482 0.2799 0.36630.6162 0.4137 0.4652计算出的X为一月份总产出向量X = 45.7832 26.1582 34.0444计算出的D为一月份中间投入向量D = 0 10.4633 15.3200 11.4458 1.3079 3.4044 16.0241 2.6158 3.4044计算出的Z

16、为一月份新创造的价值向量Z = 18.3133 11.7712 11.91552，第二部分程序及运行结果根据我们已知的数据，级1-4月份最终需求的递增速度，我们可以求出2，3，4月份各企业的需求，并作出1-4月份三个企业需求量的变化曲线：n=4;for i=1:n a(i)=20*(1+0.15).(i-1); b(i)=10*(1+0.03).(i-1); c(i)=12*(1+0.12).(i-1); x(i)=i;endabcx;plot(a,'LineWidth',3);hold onplot(b,'LineWidth',2);plot(c);plot(

17、x,a,'o');plot(x,b,'o');plot(x,c,'o');hold offtitle('1-4月份三个企业总需求的发展曲线');xlabel('月份');ylabel('总需求(单位:万元)');grida = 20.0000 23.0000 26.4500 30.4175b = 10.0000 10.3000 10.6090 10.9273c = 12.0000 13.4400 15.0528 16.8591在下图中，最上一条曲线（最粗的一条）为煤矿1-4月份需求量的变化曲线； 最

18、下一条曲线为电厂1-4月份需求量的变化曲线； 中间一条曲线为运输1-4月份需求量的变化曲线；3，第三部分程序及运行结果m=6;for j=1:m d(j)=842.495*(1+0.0749).(j-1); e(j)=655.685*(1+0.0778).(j-1); f(j)=622.695*(1+0.0753).(j-1); y(j)=j-1;enddefy;plot(y,d,'LineWidth',3);hold onplot(y,e,'LineWidth',2);plot(y,f);plot(y,d,'o');plot(y,e,'

19、o');plot(y,f,'o');hold offtitle('预测五年内三个企业总产出量的变化曲线');xlabel('未来第n年');ylabel('总产出量(单位:万元)');gridd = 1.0e+003 * 0.8425 0.9056 0.9734 1.0463 1.1247 1.2089e = 655.6850 706.6973 761.6783 820.9369 884.8058 953.6437f = 622.6950 669.5839 720.0036 774.2199 832.5186 895.20

20、73在下图中，最上一条曲线（最粗的一条）为煤矿未来五年总产量的预测变化曲线； 中间一条曲线为电厂未来五年总产量的预测变化曲线； 最下一条曲线为运输未来五年总产量的预测变化曲线；在以上第二部分和第三部分程序我们还可以利用以下程序对图中曲线做注释：text(x,y,txt);text(x,y,txt,sec);gtext(txt);其中gtext是用户可以自己指定注释位置的函数。附录一 需求量变化的直接效应和间接效应虽然，部门关联系数已经给除了需要量变化的总效应，但是，由市把这些效应分解成彼此独立的不同部分会是很有用的，通常把这些部分称之为一阶效应，二阶效应，三阶效应等等。现举一例说明之。假设煤炭

21、产品的最终需求增加了1各单位值，而其他部门的最终需求不变。因为一个部门的产出是该部门所对应行中各项数据之和，于是，对煤炭产品的最终需求增加1各单位值必然直接引起煤炭总产出增加1各单位值以满足这个需求。然而，表5.3第（1）列表明，当煤炭产出增加1各单位值时还需要向煤炭部门再投入：（a）0.25单位的电力以及（b）0.35单位的运输要求。如果不考虑最终需要增加所直接造成的那部分产出量的增加，则用投入系数A左乘最终需求向量Y就可得到各部门产出的增加量，即 （1）式中是产出的一阶变化量，其计算式为： （2）如后面的附录2中所述，这个结果是用矩阵A各行去依次左乘最终需求向量Y，然后分别对各项乘积求和而

22、的到的一阶效应又导致二阶效应和更高阶的效应，因为产出的一阶增量要求更多的投入量以生产它们，而这些投入又反过来要求增加更多的产出，并如此无限继续下去二阶效应按前述方法，将投入系数矩阵左乘一阶效应向量可以得到二阶效应式中 是一阶效应向量 是二阶效应向量代入全部数字有： （3）三阶效应按照与前面相同的方法，用投入系数矩阵乘以二阶效应向量可以求出三阶效应 （4）式中 是二阶效应向量 是三阶效应向量我们以此类推因此，各阶效应的总和是：记作于是对于足够大的n求得产出向量,与用关联系数矩阵左乘最终需求向量的结果是一致的。从而我们找到了另一个对矩阵（I-A）求你的方法。即当n足够大时故有这种矩阵求逆方法称之为

23、幂级数展开附录二 关于投入产出表的一些定义附表1 价值形投入产出表中间使用最终使用总产出n中间投入x11x12x1nY1X1x21x22x2nY2X2nxn1xn2xnnYnXn增加值劳动报酬V1V2Vn  纯 收 入M1M2Mn小 计Z1Z2Zn总投入X1X2Xn  表示第j部门在生产过程中消耗第i部门场品的数量根据表3.1我们做如下定义：（1）.为中间产品矩阵。（2）.为劳动新创造价值（劳动）（3）.为最终产品向量。（4）.为总投入向量，根据投入产出表的基本思想：总投入=总产出 ，得出X也为总产出向量。（5）.为直接消耗系数（投入系数），它是指在生产

24、经营过程中第j产品(或产业)部门的单位总产出所直接消耗的第i产品部门货物或服务的价值量。将各产品(或产业)部门的直接消耗系数用表的形式表现就是直接消耗系数表或直接消耗系数矩阵，通常用字母A表示（6）.为完全消耗系数矩阵，它指第j产品部门每提供一个单位最终使用时，对第i产品部门货物或服务的直接消耗和间接消耗之和。其中，（I为单位矩阵）。（7）.为关联系数矩阵。附录三 投入产出分析所需的基本数学知识1， 矩阵，向量，矩阵的等值奖若干个数据按一定的顺序排列成长方形就得到矩阵。一般将m行n列的矩阵写成的矩阵。特别是，（行，列个数相等）的矩阵称为方阵；矩阵或矩阵，既由一列数或以行数组成的矩阵，分别称为m

25、维列向量或n维行向量。像一用图表说明过的那样，m维列向量和n维行向量可分别用m维和n维空间上的一点来表示。另外，构成矩阵的每一个数字称为元素。一般用符号来表示i行j列的元素。对于行和烈的个数分别相等的两个矩阵A,B来说，若两矩阵对应元素分别相等，则称矩阵A和B相等。例如，当A和B是以下的矩阵时，对于全部元素来说，若则称A和B相等。2， 矩阵的和与差；标量与矩阵的积（商）若矩阵A和B都是矩阵，则矩阵的和（或差）一般可用来表示，新矩阵的各个元素等于A,B两矩阵相对应的各元素之和（或差）。拿1中所举的例来说。另外，矩阵A的任意倍，如R倍（或1/R倍），等于将A矩阵的全部元素都扩大R倍（或1/R倍），

26、例如，3， 向量与向量的积（内积）在n维向量后面乘以n维向量，其结果为一个标量，它等于两个向量各对应元素乘积之和，称为内积。根据内积定义可知，维数不同的向量不能相乘。通常为了便于区别行向量和列向量，用（ ）表示行向量，用 符号表示列向量。4， 矩阵与矩阵的乘积若要在B矩阵之前乘上一个A矩阵，A矩阵列的个数必须等于B矩阵行的个数。矩阵A和矩阵B之和AB成为矩阵（即n行R列的矩阵），新矩阵个元素是这样计算的。例如因此，若列向量后面乘上行向量，则成为矩阵。就是说，在矩阵乘法运算中一般不满足交换率（）5， 单位矩阵，矩阵的转置，逆矩阵对角线（从左上到右下）的元素均为1，而非对角线的元素均为零的方阵称为

27、单位矩阵，通常用符号I表示。无论在单位矩阵之前，还是在单位矩阵之后乘以一个与单位矩阵阶数相同的方阵（如A）,其乘积仍然为A矩阵，这就是单位矩阵的性质（读者可根据乘法原则检验一下）。即无论是在方阵A的后面乘上与它阶数相同的方阵（如B），还是在B的后面乘上A，它们的积都是单位矩阵时，称方阵B为A的逆矩阵，记作。即这里，。当然是与A的阶数相同的方阵。所以我们可知逆矩阵与标量的倒数相对应。通常，将矩阵A的第1行变为第1列，把第2行变为第2列的结果，即将所有的行都变为列之后形成的矩阵称为A的转置矩阵，记为。根据转置矩阵定义可知，若将A的转置矩阵在一次转置，就会变为原来的A矩阵。但位居真的转置矩阵仍是单位

28、矩阵。（读者可以自己检验一下）。简单的及逆矩阵的求法如下。6， 行列式，主子式在矩阵和矩阵的逆矩阵公式中出现的一般被称为矩阵A和矩阵B的行列式，通常写成，它们是对应于方阵A和B的实数。2阶（阶数是指行或列的个数）和3阶行列式的值分别用表示。在计算3阶以上的行列式时，如下式所示的那样，我们可以利用将n阶行列式按j阶展开的公式。即n阶行列式等于第j列各元素分别乘以，后的合计。一般称的系数为ij的余子式，它等于在原来行列式中除去第i行和第j列后形成的行列式再乘上。例如，前边给出的3阶行列式B按第1列展开如下。因此，无论是多少级的行列式，我们都可以根据行列式的展开公式，逐步用阶数越来越少的余子式表示，直接计算出行列式的值（显然，一阶行列式就是该元素本身，如）。分别删除掉行列式的某一行和某一列就可得到一个的行列式，一般称它为原行列式的（n-1）阶子式。删除两行和两列后形成的行列式为（n-2）阶子式。特别是，删除的行号和列号相同的子式称作主子式。例如，。7， 顺序矩阵设P为适当改变单位矩阵各向量排列顺序的矩阵，则当在矩阵A左侧乘上P时，A矩阵的行的排列就会改变。例如，这种变换矩阵称为顺序矩阵。当在矩阵A的右侧乘以该顺序矩阵时，则会改变A矩阵列向量的排列。例如。一般来说，由于，