柔韧体摩擦的欧拉公式

1、柔韧体摩擦的欧拉公式(作者:赵夏云)AbstractOulaFormularintheFrictionofSoftandElasticBodiesareintroduced.AmainapplicationoftheOulaFormularinbeltdriveisdiscussed,aswellassomeinterestingphenomenoninourreallife.Keywords:friction,OulaFormular,beltdrive.（一）引例家在漓江边，小时候，常到河边码头玩耍，看一艘艘满载旅客的游船船头都有一缆柱，船靠岸时，船工就将一根很粗的缆绳抛到岸上系绳柱上，这

2、样，挽了一个大圈的缆绳头就套住了岸上的柱子，而船工立即将绳的另一端缠绕在固定在船上的缆柱上，不一会，船稳稳的停在了岸边.一根缆绳绕几圈就拉住一艘船？自己也曾试过，直接拉住系在竹筏上的绳子，竹筏在水波中颠簸，要想拽住竹筏以防它漂离岸边，对小孩来说还得费一番功夫，但若将绳子在岸边柱子上绕几下，就轻而易举的拉住竹筏了，甚至只要在岸上用脚轻轻的踩住绳的一端，竹筏也会乖乖的靠在岸边.是什么魔力产生了这种"四两搏千斤”的“奇迹”？魔力就是“摩力”-缆绳和柱子间的摩擦力！再看一个有趣的例子来感受感受这种摩擦力的魅力吧在儒尔威廉的小说<<马迪亚思山道尔>>中有那么一位大力士，

3、叫马帝夫.他建立了许多功绩，其中有这么一件.一艘不大的双桅梯形帆船正在下水.帆船是用楔子固定在下水滑道上的，木匠们开始从龙骨下把楔子打掉.这时，一只快艇飞速驶进港来.可是帆船已经开始下水滑道向水中冲去.就要扎进快艇船舷了！说时迟，那时快！马帝夫从人群中跳出，抓住靠在帆船船头的绳索，用脚抵住地，开始将绳索往岸边的系绳柱绕，他以“超人”的臂力拽住绳子十来秒钟，绳索终于断了，但是，马帝夫为快艇赢得了宝贵的十秒钟！从以上几个例子都有一个共同点：套在（绕在）柱子上白绳子，一端是“四两”，一端是“千斤”.两者间的关系就是谈到摩擦时不能不提及的欧拉公式！（二）欧拉公式内容及推导a,绳的一端受力为F1,另一端

4、受力为如右图（1）示，假设一根绳绕在轮（柱）上，包角为F2（F2>F1）.（1）下式即为柔韧体摩擦的欧拉公式：f*aF1=F2*E（式1）式中E自然对数的底（E=2.718）;f带和轮缘间的摩擦系数；a传动带在带轮上的包角（rad）。F2图1)(2)式1的推导：如图(1)所示，取一微段传动带dl,以dN表示轮对该微段绳的正压力。微段绳一端的拉力为F,另一端的拉力为F+dF,摩擦力为fdN,f为传动带与带轮间的摩擦系数则由静力学平衡方程得：加F，若+(F+峥*因da很小，所以sin(da/2)=da/2,且略去二阶微量dF*sin(da/2),得dN=F*da又假设绳处于临界条件，即受到最

5、大静摩擦力dFm=f*dN,所以，补充方程.dN+Fc"=+dF)codaJ2)取cos(da/2)=1,得f*dN=dF或，于是可得f*a即F1=F2*E(三)欧拉公式的初步分析及应用(1)由欧拉公式可以看出，绕在柱子上的绳两段的力有指数倍关系，故不难理解”四两搏千斤”的奥妙啦.绳子绕得圈数越多，包角a就越大，F1,F2大小相差就越悬殊.可以简单估算一下.设行使的船以100千牛顿的力在拉缆绳.缆绳和系船柱间的摩擦系数已知为0.35.若水手将绳饶了3圈，此时，a=3*2兀=6兀.代入欧拉公式，即可算出，人拉绳的力F:F=100000/2.720.35*6兀=150牛顿！因而，若船的拉

6、力为100千牛顿，水手只要加150牛顿的力船就不会漂走，其余的99850牛顿力就被摩擦力抵消了！多绕几圈，你也可以成为“马帝夫”！(2)带传动的受力分析欧拉公式的一个非常重要的应用就是机械学中的皮带传动设计应用欧拉公式带传动受力分析带传动安装时，带必须张紧，即以一定的初拉力紧套在两个带轮上，这时传动带中的拉力相等，都为初拉力F0（见图2a）。图2b为带传动的受力情况（图2a）带轮不工作时（初拉力）（图2b）带轮工作时受力当带传动工作时，由于带和带轮接触面上的摩擦力的作用，带绕入主动轮的一边被进一步拉紧，拉力由F0增大到F1,这一边称为紧边；另一边则被放松，拉力由F0降到F2,这一边称为松边（见

7、图2b）。两边拉力之差称为有效拉力，以F表示，即F=F1-F2（式2）有效拉力就是带传动所能传递的有效圆周力。它不是作用在某一固定点的集中力，而是带和带轮接触面上所产生的摩擦力的总和。带传动工作时，从动轮上工作阻力矩T02所产生的圆周阻力F0为F0=2T02d2正常工作时，有效拉力F和圆周阻力F0相等，在一定条件下，带和带轮接触面上所能产生的摩擦力有一极限值，即最大摩擦力（最大有效圆周力）Fmax,当Fmax>F0时，带传动才能正常运转。如所需传递的圆周阻力超过这一极限值时，传动带将在带轮上打滑。由欧拉公式（式1）可得，刚要开始打滑时，紧边拉力F1和松边拉力F2之间存在下列关系，即F1=

8、F2*Efa（式3）如果近似地认为，传动带在工作时的总长度不变，则其紧边拉力的增加量应等于松边拉力的减少量，即或耳+5二%（式4）将（式2）代入（式4）得尸时三盟+了W（式5）将（式5）代入（式3）整理后，可得到带传动所能传递的最大有效圆周力一口加%=2用一5-+（式6）由（式6）可知，带传动最大有效圆周力与F0、a及带和带轮材质等因素有关。F0、a、f等愈大，则最大有效圆周力也愈大。其中F0的影响最大，直接影响到带传动的工作能力，但如F0过大，将使带的使用寿命缩短。所以在带传动设计时必须合理确定F0值。考虑离心力的带传动分析从上面欧拉公式推导过程，我们看出，利用该公式计算皮带传动时，没有考虑

9、带的离心力，即欧拉公式只适用于转速不太高的情况.那么，若轮高速转动，怎样分析呢？带在绕过带轮时作圆周运动，从而产生离心力，并在带中引起离心拉应力Sc。如图3所示，设带的速度为v（m/s）,取微段带dl（m,微段带上的离心力为G则图3.带的离心力式中q-传动带每米长的质量（kg/m）。设离心力在传动带中引起的拉力为Fc,取微段带dl为分离体，则根据平衡条件可得因da很小,可取sin（da/2）=da/2,则得Fc=qv2（N）因此，带中的离心拉应力Sc为%二-r八5（MPa）（式7）上式中A传动带的截面积（mm）。由式（7-13）可知，带的速度对离心拉应力影响很大。离心力虽然只产生在带作圆周运动

10、的弧段上，但由此而引起的离心拉应力却作用于传动带的全长上，且各处大小相等。离心力的存在，使传动带与带轮接触面上的正压力减小，带传动的工作能力将有所降低。打滑问题由欧拉公式，还可看出，当两轮半径不同而不断增加驱动力矩或负载力矩时，由于带在两轮上的包角大小不同：半径大的包角大，带两端的拉力比值范围大；半径小的包角小，带两端的拉力比值范围小；所以，半径小的比半径大的轮先达到临界摩擦力，即小轮先打滑.（四）小结从上分析看出，一个由静力学得出的简单的结论在实际生活生产中却神通广大.欧拉公式的推导其实是课堂上老师的一道例题，稍将其扩展到实际中，就构成了上面一段简单的小小论文，”理论实际相结合可见”，从中也可豹窥一斑了.当然，这样的例子何止一个欧拉公式，理论力学的每一个理论，某个公式，甚至每一道习题都有